Clase_15_M3

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Matemáticas III
Clase 15
Agenda
Objetivos de la clase
Derivada direccional
Gradiente y ortogonalidad a curva de nivel
Derivada impĺıcita
Objetivos de la clase
I Esta clase trata cuestiones complementarias sobre derivadas de
funciones de varias variables.
1. Conocer que es una derivada direccional.
2. Conocer las derivadas impĺıcitas.
3. Conocer que el gradiente de una función en cierto punto es un vector
ortogonal a la curva de nivel por ese punto.
Derivada direccional
• Dada f : R2 → R, sabemos que
∂f (x̄1, x̄2)
∂x1
= ĺım
h→0
f (x̄1 + h, x̄2)− f (x̄1, x̄2)
h
.
Si denotamos e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) los vectores de la base canónica
de R2, y denotamos x̄ = (x̄1, x̄2) ∈ R2, tenemos entonces que
∂f (x̄1, x̄2)
∂x1
=
∂f (x̄)
∂x1
= ĺım
h→0
f (x̄ + he1)− f (x̄)
h
.
• Lo anterior porque
x̄ + he1 = (x̄1, x̄2) + h(1, 0)
= (x̄1, x̄2) + (h, 0)
= (x̄1 + h, x̄2).
• La derivada parcial con respecto a x1 es la derivada direccional de la
función en la dirección del vector e1.
• De manera análoga, la derivada parcial con respecto a la segunda
variable es la derivada direccional en la dirección de e2:
∂f (x̄)
∂x2
= ĺım
h→0
f (x̄ + he2)− f (x̄)
h
.
• En general: dada un vector v ∈ R2, evaluada en x̄ = (x̄1, x̄2), la
derivada direccional de la función “f ” en la dirección v se define como
Dv (x̄1, x̄2) = ĺım
h→0
f (x̄ + h v)− f (x̄)
h
.
• Desde un punto de vista geométrico, “parados” en (x̄1, x̄2), ocurre que
Dv (x̄1, x̄2) es la “pendiente del sendero” sobre la superficie que define
la función, en la dirección v .
• NOTA. Destacamos que, usando notación de derivada direccional, se
tiene que
De1 f (x̄) =
∂f (x̄)
∂x1
, De2 f (x̄) =
∂f (x̄)
∂x2
.
Relación entre derivada direccional y derivadas parciales
El siguiente resultado vincula las derivadas parciales y las derivadas
direccionales.
La derivada direccional de f (x1, x2) en la dirección v = (v 1, v 2) ∈
R2, evaluada en (x̄1, x̄2) ∈ R2, cumple que:
Dvf (x̄1, x̄2) =
∂f (x̄1, x̄2)
∂x1
v 1 +
∂f (x̄1, x̄2)
∂x2
v 2,
es decir (producto interno):
Dv f (x̄1, x̄2) = ∇f (x̄1, x̄2) · v .
NOTA. Cuando la dirección v es un vector unitario (es decir, ‖v‖ = 1),
entonces la derivada direccional Dv(x , y) es la pendiente del “sendero”
que hay en la superficie definida por el gráfico de la función en la
dirección v , a partir del punto (x , y).
Ejemplo 1
Dado v = (1, 3) ∈ R2 (en rigor, v = (1, 3)t ∈ R2), obtener Dv f (1, 1)
cuando f (x , y) = x2y + xey . Interpretar el resultado.
Primero, el gradiente de f (x , y) es
∂f (x , y)
∂x
= 2xy+ey ,
∂f (x , y)
∂y
= x2+xey ⇒ ∇f (x , y) =
2xy + ey
x2 + xey
 .
Luego, ∇f (1, 1) =
2 + e
1 + e
, por lo que
Dv f (1, 1) = (2 + e)︸ ︷︷ ︸
∂f (1,1)
∂x
· 1︸︷︷︸
v1
+ (1 + e)︸ ︷︷ ︸
∂f (1,1)
∂y
· 3︸︷︷︸
v2
= 5 + 4e.
• Normalizando v = (1, 3)t se tiene que ‖v‖ =
√
1 + 9 =
√
10, y aśı
v̂ =
1
‖v‖
v =
(
1√
10
,
3√
10
)t
=
(√
10
10
,
3
√
10
10
)t
• Con esto, parados en el punto (1, 1), la pendiente del sendero en la
superficie que define el gráfico de f (x , y) = x2y + xey en la dirección v̂
(que es la misma dirección que v , pues v̂ y v son paralelos) es dada por
∇f (1, 1) · v̂ = (2 + e, 1 + e)t ·
(√
10
10
,
3
√
10
10
)t
=
(2 + e)
√
10
10
+
(1 + e)3
√
10
10
=
5
√
10 + 4e
√
10
10
.
• Considere f : R2 → R de modo la curva de nivel “h” de esa función
cumple que
f (x , y) = h.
A partir de lo anterior, sabemos que “y” se puede “despejar” en términos
de “x”, con lo cual esa variable es una función de “x”, digamos y(x).
Obviamente se cumple que
f (x , y(x)) = h.
• El gráfico de la función y(x) es la curva de nivel h de la función. A
este respecto, por regla de la cadena tenemos que:
∂f (x , y(x))
∂x
+
∂f (x , y(x))
∂y
· y ′(x) = 0 ⇒ y ′(x) = −
∂f (x,y(x))
∂x
∂f (x,y(x))
∂y
.
• Consideremos entonces un punto (x∗, y∗) de la curva de nivel (punto A
en la Figura 1).
• Ya que la derivada de la curva es lo anterior, la ecuación de la recta
tangente a la curva de nivel por el punto (x∗, y∗) es
y − y∗ = −
∂f (x∗,y∗)
∂x
∂f (x∗,y∗)
∂y
· (x − x∗).
• Lo anterior es equivalente a decir que
(y − y∗) · ∂f (x
∗, y∗)
∂y
+ (x − x∗) · ∂f (x
∗, y∗)
∂x
= 0.
• En la Figura 1, el punto B de coordenadas (x , y) es un punto
cualquiera de la recta tangente.
Figura: A está en la curva de nivel (y en la recta tangente) y B
está en la recta tangente
Finalmente, viendo los puntos en la Figura 1 como flechas, la flecha
(vector) ~AB en la Figura 1 cumple que
~A + ~AB = ~B ⇒ ~AB = ~B − ~A,
por lo que las coordenadas de ~AB son dadas por:
~AB = (x − x∗, y − y∗) ∈ R2.
• Como se cumple que
(y − y∗) · ∂f (x
∗, y∗)
∂y
+ (x − x∗) · ∂f (x
∗, y∗)
∂x
= 0,
se tiene que el vector cuyas coordenadas son las derivadas parciales es
ortogonal al vector cuyas coordenadas son x − x∗ e y − y∗ (producto
interno es cero). Es decir:
El gradiente ∇f (x∗, y∗) ∈ R2 es perpendicular a la recta tangente
a la curva de nivel por el punto (x∗, y∗).
Figura: Gradiente es ortogonal a la curva de nivel
Motivación y ejemplo
Considere la siguiente función: f : R2 → R tal que
f (x , y) = x ey − x2y + y .
• La curva de nivel h de esa función cumple que
xey − x2y + y = h.
En este caso, no podemos despejar “y” en términos de “x” de modo de
conocer de manera expĺıcita la relación y(x). Sin embargo, sigue siendo
cierto que “y” depende de “x”.
• Como no podemos hacer el despeje indicado, y como “y” de todas
maneras depende de “x” (aunque no conozcamos cómo), uno dice que
“y” depende impĺıcitamente de “x”. Es decir, que lo anterior informa
que existe una relación funcional de “y” con “x”, digamos y(x).
• Si uno puede hacer el despeje, lo que es impĺıcito pasa a ser expĺıcito.
Volvamos a la relación
x ey − x2y + y = h
que de manera impĺıcita define una función y(x) (que no conocemos, que
no podemos despejar). A pesar de esto, ¿podemos obtener alguna
relación que nos diga cuál es la derivada de y(x)? Respuesta: śı.
• En efecto, reconociendo que y(x) es una función de x , reescribiendo lo
anterior se tiene que
x ey(x) − x2y(x) + y(x) = h.
• Luego, derivando lo anterior se tiene que (la derivada del lado derecho es 0, y
la derivada a la izquierda debe tener presente que hay “x” en varias partes; por
ejemplo, xey(x) es un producto de funciones que tienen “x”):
x ey(x) − x2y(x) + y(x) = h derivada c.r a x=⇒
ey(x) + x · y ′(x) · ey(x) − 2xy(x)− x2y ′(x) + y ′(x) = 0,
a partir de lo cual se tiene que (despejar la derivada de lo anterior)
y ′(x) =
2x · y(x)− ey(x)
x · ey(x) − x2 + 1
.
Ejemplo 2
Supongamos que “x” e “y” se relacionan de acuerdo con lo siguiente:√
x2 + y2 = 1.
El problema es obtener la derivada de y(x), que se obtiene a partir de la
relación anterior.
• Entendiendo que y(x) es una función de “x”, se tiene que√
x2 + (y(x))2 = 1 ⇒ x2 + (y(x))2 = 1 derivada c.r a x=⇒
2x + 2 · y(x) · y ′(x) = 0 ⇒ y ′(x) = − x
y(x)
.
NOTA. La derivada de (y(x))2 se obtiene por regla del producto, o bien por
regla de la cadena:
Producto: (y(x))2 = y(x) · y(x) ⇒ y(x) · y ′(x) + y ′(x) · y(x) = 2y(x) · y ′(x)
Cadena: (y(x))2 = f (y(x)) con f (x) = x2 ⇒ [(y(x))2]′ = 2y(x) · y ′(x).
Ejemplo 3
Supongamos que
exy − x2y = 0.
Obtener la derivada de y(x).
• Solo por comodidad, escribiendo “y” en vez de y(x) y escribiendo y ′
en vez de y ′(x), se tiene que (derivar lo anterior con respecto a “x”,
aplicar regla de la cadena y regla del producto)
exy − x2y = 0 ⇒ (xy)′exy − 2xy − x2y ′ = 0 ⇒
(y + xy ′)exy − 2xy − x2y ′ = 0 ⇒ y ′ = 2xy − ye
xy
xexy − x2
.
NOTA. Si conociésemos y(x), es decir, si pudiésemos despejar “y” en
términos de “x” a partir de la relación exy − x2y = 0, entonces podŕıamos
obtener la derivada de “y” como una expresión que solo depende de “x”.
Como el despeje no es posible, llegamos a un resultado, para la
derivada, que depende de ambas variables: derivada impĺıcita.
	Objetivos de la clase
	Derivada direccional
	Gradiente y ortogonalidad a curva de nivel
	Derivada implícita