Clase_13_M3

Vista previa del material en texto

Matemáticas III
Clase 13
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Comentario general
Derivada de la curva de nivel
Regla de Euler para funciones homogéneas
Ejemplos adicionales: casos especiales
Objetivos de la clase
1. Complementos sobre la regla de la cadena para funciones de varias
variables a valores reales.
Comentario
¿Cuándo corresponde aplicar la regla de la cadena?
• Ud tiene una función f (x , y). Al “mover x” ocurre que no hay efecto
sobre la variable “y”, de modo que el único efecto que se tiene por ese
“movimiento” es sobre la función:
∂f (x , y)
∂x
.
Las derivadas parciales dan cuenta del efecto que se produce sobre
la función al “mover” las variables, partiendo de la base que dichas
variables no tienen relación entre śı .
¿Qué ocurre si las variables están relacionadas entre śı? Por ejemplo,
supongamos que y depende de x , digamos, y(x).
• En ese caso, al evaluar f (x , y(x)) el resultado solo depende de x , es
decir, es una función de x :
g(x) = f (x , y(x)).
Basado en lo anterior, si “movemos x”
1. se “mueve” g(x), y el efecto es dado por g ′(x).
2. se “mueve” f (x , y(x)), y el efecto es dado por
∂f (x , y(x))
∂x
,
3. se “mueve” y(x), y el efecto es dado por
y ′(x),
4. como se “mueve” y(x), eso afecta a la función f (x , y(x)) y el efecto
es dado por
∂f (x , y(x))
∂x
.
Por la regla de la cadena:
g ′(x) =
∂f (x , y(x))
∂x
+
∂f (x , y(x))
∂y
· y ′(x).
NOTA. De manera directa, note que al “mover x” entonces se “mueve x” y el
efecto es
∂x
∂x
= 1.
En resumen:
uno aplica regla de la cadena para derivar una función cuando las
variables de esa función están relacionadas entre śı, sea por que hay
relación directa entre ellas (como en el ejemplo anterior, donde el
“y” depende del “x”), o bien porque esas variables dependen de
otras variables (por ejemplo, “x” depende de p, q e “y” depende
de p, q).
Resultado general
Dada f : R2 → R, los puntos (x , y) de la curva de nivel h > 0 de esa
función cumplen que
f (x , y) = h.
• Por lo anterior, podemos entender que “y” cumpliendo lo anterior es
una función que depende de x (la relación se obtiene luego de
“despejar” “y” en términos de “x” a partir de la igualdad f (x , y) = h).
Denotamos esa relación como
y(x).
• Usando lo anterior, obviamente se cumple que
f (x , y(x)) = h.
• Derivando con respecto a x , para la parte roja aplica la regla de cadena
según lo visto previamente, mientras que la derivada del lado derecho es
cero (derivada de una constante).
Se tiene entonces que
f (x , y(x)) = h
∂(·)
∂x=⇒ ∂f (x , y(x))
∂x
+
∂f (x , y(x))
∂y
· y ′(x) = 0,
a partir de lo cual se obtiene que (derivada de la curva de nivel, es decir,
derivada de la función y(x)):
y ′(x) = −
∂f (x,y(x))
∂x
∂f (x,y(x))
∂y
.
Ejemplo 1
Dada f (x , y) = x2y , los puntos de la curva de nivel h > 0 de esa función
cumplen que
x2y = h ⇒ y = h
x2
.
• Por lo anterior, es directo ver que la derivada de esa curva de nivel (es
decir, la derivada de la función y(x) = hx2 ) es dada por
y ′(x) = −2h
x3
.
• Veamos si esto coincide con el resultado visto previamente. Ya que
f (x , y) = x2y , tenemos
∂f (x , y)
∂x
= 2xy ,
∂f (x , y)
∂y
= x2 ⇒
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
=
2y
x
.
• Como y(x) = hx2 , reemplazando se tiene que (recuerde que y
′(x) es
menos el cociente de las derivadas parciales):
∂f (x,y(x))
∂x
∂f (x,y(x))
∂y
=
2y(x)
x
=
2 ·
(
h
x2
)
x
=
2h
x3
⇒ y ′(x) = −2h
x3
,
resultado que coincide con lo obtenido previamente (derivada directa de
y(x) usando su expresión).
• La Figura 1 es ilustrativa: en cualquier punto de la curva de nivel h de
la función, la pendiente de la tangente en cada punto de la curva es
“menos el cociente de la derivadas parciales de la función”, evaluadas
en dicho punto:
m = −
∂f (x,y(x))
∂x
∂f (x,y(x))
∂y
.
Figura: Derivada de curva de nivel: pendiente de la tangente
Funciones homogéneas
Definición
Una función f : Rk → R (puede ser otro dominio) se dice ho-
mogénea de grado “r” si para todo t ∈ R+ se cumple que
f (tx1, tx2, · · · , txk) = tr · f (x1, x2, . . . , xk).
• Por ejemplo: dados α, β > 0, la función f : R2+ → R tal que
f (x1, x2) = x
α
1 · x
β
2 es homogénea de grado r = α + β. En efecto:
f (tx1, tx2) = (tx1)
α·(tx2)β = tαxα1 ·tβ ·x
β
2 = t
α+βxα1 ·x
β
2 = t
α+β ·f (x1, x2).
• Otro ejemplo: la función g(x , y) = x2 − xy + 3y2 es homogénea de
grado r = 2:
g(tx , ty) = (tx)2− (tx) · (ty) + 3(ty)2 = t2 · (x2− xy + 3y2) = t2g(x , y).
Identidad de Euler
El resultado lo mostramos para el caso f : R2 → R (dos variables); la
extensión a funciones de más variables es directa.
• Si f (x1, x2) es homogénea de grado r se tiene que
f (tx1, tx2) = t
r · f (x1, x2)
• Derivando ambos lados de la identidad anterior con respecto a la
variable t se tiene que
∂f (tx1, tx2)
∂t
= r · tr−1f (x1, x2). (1)
Ahora bien, por regla de la cadena
∂f (tx1, tx2)
∂t
=
∂f (tx1, tx2)
∂x1
· ∂(tx1)
∂t
+
∂f (tx1, tx2)
∂x2
· ∂(tx2)
∂t
(2)
=
∂f (tx1, tx2)
∂x1
· x1 +
∂f (tx1, tx2)
∂x2
· x2. (3)
• De esta manera, viendo (1) y (3) se concluye que
r · tr−1f (x1, x2) =
∂f (tx1, tx2)
∂x1
· x1 +
∂f (tx1, tx2)
∂x2
· x2.
Haciendo t = 1 en lo anterior, y ordenando los términos, se obtiene la
Identidad de Euler para funciones homogéneas de grado r :
r · f (x1, x2) = x1 ·
∂f (x1, x2)
∂x1
+ x2 ·
∂f (x1, x2)
∂x2
.
NOTA. Expliquemos por qué se tiene el resultado en (2). Primero, estamos
derivando con respecto a “t”, por lo que x1 y x2 son constantes. Para obtener
la derivada ∂f (tx1,tx2)
∂t
Ud. podŕıa plantearse lo siguiente: al mover “t” se mueve
la primera componente donde se evalúa la función, tx1, y eso provoca un
movimiento de la función que, evaluada en tx1, tx2, es dado por
∂f (tx1,tx2)
∂x1
. En
complemento, el efecto de “t” sobre la primera componente es ∂(tx1)
∂t
= x1.
Mismo con la segunda componente, ya que t afecta a ambas.
Ejemplo 2
Verifiquemos la identidad de Euler con la función f (x , y) = xα · yβ , que
es homogénea de grado r = α + β.
• Se tiene que
∂f (x , y)
∂x
= α · xα−1yβ , ∂f (x , y)
∂y
= β · xαyβ−1.
• Usando lo anterior, notamos entonces que
x · ∂f (x , y)
∂x
+ y · ∂f (x , y)
∂y
= x · α · xα−1yβ + y · β · xαyβ−1
= αxαyβ + βxαyβ
= (α + β)xαyβ
= (α + β)f (x , y),
Ejemplo 3
Dada f : R2 → R una función cualquiera, definamos la función
g : R2+ → R tal que
g(x , y) = f (x2ey , x2y +
√
xy).
Se pide obtener la expresión de ∂g(x,y)∂x ,
∂g(x,y)
∂y .
• Primero, la función f depende de dos variables. No conviene llamarlas
“x” e “y”, pues esas son las variables de g . Las llamamos x1 y x2,
pudiendo ser cualquier otro nombre. Lo importante es que f depende de
dos variables, que ahora hemos identificado.
• Por lo anterior, la derivada de “g” con respecto de “x” es la derivada
de f (x1, x2) respecto de su primera variable, resultado que se evalúa en
x1 = x
2ey , x2 = x
2y +
√
xy , todo eso multiplicado por la derivada de
x1 = x
2ey respecto de “x”, más lo correspondiente respecto de la
segunda variable. Es decir:
∂g(x , y)
∂x
=
∂f (x2ey , x2y +
√
xy)
∂x1
·2xey+
∂f (x2ey , x2y +
√
xy)
∂x2
·
(
2xy +
√
y
2
√
x
)
.
• Cuánto “vale”
∂f (x2ey , x2y +
√
xy)
∂x1
?
Respuesta: depende de la función f (x1, x2). Por ejemplo, si
f (x1, x2) = ln(
√
x1 + x
2
2 )
entonces
∂f (x1, x2)
∂x1
=
1
2
√
x1√
x1 + x22
,
por lo que
∂f (
x1︷︸︸︷
x2ey ,
x2︷ ︸︸ ︷
x2y +
√
xy)
∂x1
=
1
2
√
x2ey√
x2ey + (x2y +
√
xy)2
.
	Objetivos de la clase
	Comentario general
	Derivada de la curva de nivel
	Regla de Euler para funciones homogéneas
	Ejemplos adicionales: casos especiales