Clase_10_M3

Vista previa del material en texto

Matemáticas III
Clase 10
Profesor:Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Gráfico de funciones de varias variables: aspectos generales
Curvas de nivel
Objetivos de la clase
1. Conocer qué es el gráfico de una función de varias variables (valores
reales).
2. Conocer el gráfico de una función de dos variables a valores reales.
3. Conocer qué es una curva de nivel y conocer la curva de nivel para
funciones de dos variables.
4. Conocer, someramente, qué son “regiones” en R2 definidas por una
desigualdad.
Idea
• Gráfico de f : R→ R: para x ∈ R se obtiene la imagen, f (x), y el
punto (x , f (x)) ∈ R2 se “dibuja” en el plano cartesiano. “Recorriendo”
los valores de “x” y dibujando el punto (x , f (x))t ∈ R2 se obtiene el
gráfico de la función f .
• ¿Cómo se extiende lo anterior para f : Rk → R? Dado
(x1, x2, · · · , xk)t ∈ Rk , uno obtiene f (x1, x2, · · · , xk) ∈ R y se “dibuja” el
punto
(x1, x2, · · · , xk , f (x1, x2, · · · , xk)︸ ︷︷ ︸
y
)t ∈ Rk+1.
I Si k = 1: (x1, f (x1)) ∈ R2.
I Si k = 2, (x1, x2, f (x1, x2)) ∈ R3.
I Si k = 3 ocurre que (x1, x2, x3, f (x1, x2, x3))t ∈ R4, vector que no
podemos dibujar.
En resumen...
Sobre la base de lo anterior, se tiene que:
Los gráficos de funciones se pueden ilustrar
cuando k = 1 o cuando k = 2 (funciones de
una variable o funciones de dos variables). Para
funciones de tres o más variables, no pode-
mos realizar el gráfico.
Gráfico de una función de dos variables (valores reales)
• (1) Las (dos) variables de la función se “despliegan” en el piso:
Figura: R2 puesto en el “piso”
• (2) El valor de la función en el punto (x1, x2), dado por f (x1, x2) ∈ R,
es una altura, que junto con (x1, x2) define un punto de R3
(x1, x2, f (x1, x2)) ∈ R3
Figura: Imagen de (x1, x2) por f : punto en el espacio
• (3) Recorriendo los valores en el dominio, evaluando la función en cada
uno de ellos, y dibujando los puntos correspondientes en el espacio, se
obtiene una superficie (“alfombra voladora”) en el espacio:
Figura: Gráfico de f : R2 → R
Ejemplo 1
Figura: Gráfico de f (x1, x2) =
1
2
x1 + 2x2 + 10
Ejemplo 2
Figura: Gráfico de f (x1, x2) =
10x21+x
2
2
x21+x
2
2
Ejemplo 3
Figura: Gráfico de f (x1, x2) = x
2
1 + x
2
2 + x1 · x2
Ejemplo 4
Figura: Gráfico de f (x1, x2) = x
2
1 − x22 − x1 · x2 + x1
Comentarios
• Los gráficos de funciones de dos variables (a valores reales) son
superficies en el espacio (R3).
• Identificar si una superficie en R3 corresponde al gráfico de alguna
función de dos variables es directo: las funciones de dos variables asocian
un vector con una cantidad (real) única.
• En la superficie que se analiza debe ocurrir que trazando una ĺınea
vertical por un punto cualquiera del dominio, la intersección con la
superficie debe darse en un único punto.
• Las superficies que representan funciones no se “voltean” o
“retuercen”, de modo de no tener varios “pliegues” o “capas”
superpuestas.
• Graficar funciones de dos variables es un ejercicio complicado. Sin
embargo, hay software para eso (por ejemplo,
https://www.geogebra.org/3d).
Motivación
• Para fabricar bombones se usa chocolate y relleno. Con c cantidad de
chocolate y r cantidad de relleno (ambas variables en R+), se fabrican
B(c , r) = cαrβ
bombones (α > 0 y β > 0 parámetros conocidos).
• ¿Cuáles son las “mezclas” de chocolate y relleno que nos permiten
fabricar 14 bombones? La respuesta es que son todas las combinaciones
de insumos c y r tal que B(c , r) = 14.
• ¿Cuáles son las mezclas de chocolate y relleno que nos permiten
fabricar h > 0 bombones? La respuesta es que son todas las
combinaciones de insumos c y r tal que B(c , r) = h.
(1) Las combinaciones de chocolate y relleno que permiten fabricar 14
bombones son los puntos de la curva de nivel 14 de la función B(c, r).
(2) Las combinaciones de chocolate y relleno que permiten fabricar h
bombones son los puntos de la curva de nivel h de la función B(c, r).
Motivación
• Si utilizamos c = 4 (cuatro unidades de chocolate), ¿cuántas unidades
de relleno se necesitan para fabricar 14 bombones? Para responder, las
combinaciones de c y r que permiten fabricar 14 bombones cumplen que
B(c , r) = 14, es decir,
cαrβ = 14.
• Por lo tanto, si usamos c = 4, para obtener r con el fin de fabricar 14
bombones se debe cumplir que
4αrβ = 14 ⇒ r = 14
1/β
4
α
β
.
• En general, si usamos c cantidad de chocolate, para fabricar h
bombones ocurre que la cantidad correspondiente de relleno cumple que
cαrβ = h ⇒ r = h
1/β
c
α
β
.
Definición e interpretación de curva de nivel
Dada f : R2 → R y dado “h” en su recorrido, la curva de nivel h
de la función f es el conjunto de puntos (x1, x2) ∈ R2 tal que
f (x1, x2) = h.
Hay dos formas equivalentes de ver (entender) las curvas de nivel: (1)
desde un punto de vista geométrico y (2) desde un punto de vista
algebraico.
Curva de nivel: geometŕıa
Consideremos la función
f (x1, x2) = e
x21−2x1+ 14 x2
Figura: Gráfico de f (x1, x2) = e
x21−2x1+
1
4
x2
• Dado un nivel h > 0, los puntos del gráfico de la función que están a
la altura h son los que están en la curva punteada en la Figura 9. Esos
puntos “están en el espacio”, R3.
Figura: Puntos del gráfico de f (x1, x2) = e
x21−2x1+
1
4
x2 a altura h
• La curva de nivel h de la función f (x1, x2) son los puntos del piso
cuya imagen “está a la altura” h. Por ejemplo, en (x̄1, x̄2) de la Figura 10
se cumple que f (x̄1, x̄2) = h.
Figura: Curva de nivel h de f (x1, x2) = e
x21−2x1+
1
4
x2
Curva de nivel: álgebra
Del ejemplo anterior, si h es el nivel, entonces los puntos de la curva en
el piso en la Figura 10 cumplen que
f (x1, x2) = h ⇒ ex
2
1−2x1+ 14 x2 = h
por lo que
x21 − 2x1 +
1
4
x2 = ln(h) ⇒ x2 = −4x21 + 8x1 + 4 · ln(h).
• De esta manera, la curva de nivel h de la función
f (x1, x2) = e
x21−2x1+ 14 x2 está conformada por todos los puntos (x1, x2) tal
que x2 = −4x21 + 8x1 + 4 · ln(h).
• Es decir, esos puntos definen una función que relaciona x2 con x1: esa
función la denotamos como x2(x1), y su expresión es dada por lo
anterior. Note que x2(x1) es una parábola.
• En el sistema coordenado X1 − X2, “ejes del piso”, el gráfico de la
función x2(x1), la parábola anterior, es la curva de nivel.
Ejemplo 5
Dado α > 0, obtener la curva de nivel h > 0 de la función
f (x1, x2) = −x21 + xα2 .
Para esto, la curva de nivel “h” de la función f (x1, x2) = −x21 + xα2 está
conformada por los puntos (x1, x2) tal que −x21 + xα2 = h. Luego,
“despejando” x2 en términos de x1 se obtiene
−x21 + xα2 = h ⇒ xα2 = h + x21 ⇒ x2 =
(
h + x21
)1/α
.
¿Cuál es la lectura de lo anterior? Dado x1 ∈ R, el valor de x2 para que
f (x1, x2) = h es dado por
x2 =
(
h + x21
)1/α
.
• Complemento: dado α, el gráfico de x2(x1) =
(
h + x21
)1/α
, que es una
función de una variable, depende del valor del nivel h: haciendo variar el
nivel se obtienen curvas de nivel que se van “desplazando”.
Figura: Curva de nivel h = 1, h = 10, h = 20 de f (x1, x2) = −x21 + xα2 con
α = 4
En la Figura 11, la curva de nivel h = 1 es la de abajo, la curva de nivel
h = 10 es la del medio, la curva de nivel h = 20 es la de arriba.
¿Se pueden cortar curvas de nivel de distinto nivel?
NO: para f (x1, x2), dados niveles distintos, digamos, h1 6= h2, las curvas
de nivel correspondientes de esa función no se intersectan.
• Si las curvas se intersectan corresponde a decir que hay un punto
(x̄1, x̄2) tal que f (x̄1, x̄2) = h1 (está en la curva de nivel h1) y, además,
f (x̄1, x̄2) = h2 (está en la curva de nivel h2).
• Como h1 6= h2, lo anterior dice que el punto (x̄1, x̄2) tiene dos
imágenes, contradiciendo el hecho que f (x1, x2) es función (un punto
tiene una única imagen).
NOTA: regiones definidas por una desigualdad
Dado α > 0, para encontrar la curva de nivel h de la función f : R2+ → R
tal que f (x , y) = xyα, imponemos la condición xyα = h, a partir de lo
cual, despejando, se obtiene que
xyα = h ⇒ y(x) = h
1/α
x1/α
.
• En la siguientefigura, el punto (x̄ , ȳ) está en la curva de nivel h que se
ha indicado, mientras que (x∗, y∗) no está en esa curva.
Figura: Curva de nivel h de f (x , y) = xyα
Lo anterior informa que:
f (x̄ , ȳ) = h y que f (x∗, y∗) 6= h.
• Ahora bien, notemos que evaluando la función bajo análisis en (x∗, y∗)
se obtiene un resultado que es mayor que h:
f (x∗, y∗) > h.
• Más aún, observamos que en todo punto sobre la curva de nivel
anterior ocurre que la función evaluada en cualquiera de ellos es mayor
que h.
• Sobre la base de lo anterior, si uno quiere dibujar la región de puntos
donde la función es mayor que h se obtiene una figura como la siguiente:
Figura: Región donde f (x , y) = xyα > h
Notar que si uno desea dibujar la región donde f (x , y) ≥ h, basta con
agregar (“pegar”) la curva de nivel h a la región que hay en la Figura 13.
	Objetivos de la clase
	Gráfico de funciones de varias variables: aspectos generales
	Curvas de nivel