Clase_8_M3

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Matemáticas III
Clase 8
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Integral Impropia
Cálculo de una integral impropia
Cultura general: variables aleatorias continuas
Objetivos de la clase
I Conocer el concepto de integral impropia.
I Calcular integrales impropias sencillas.
Concepto
• Una integral impropia (de primera especie) es una integral definida
donde uno (o ambos) ĺımites de integración son infinito. Corresponde
entonces al cálculo de integrales donde la función tiene alguna aśıntota
horizontal.
• Existen las integrales impropias de segunda y de tercera especie.
I La de segunda especie corresponden a integrales donde la función tiene
aśıntotas verticales.
I La de tercera especie es una combinación de primera y segunda especie.
• En este curso nos concentramos en integrales impropias de primera
especie, que son de la forma:∫ ∞
a
f (x)dx
∫ b
−∞
f (x)dx
• Una integral impropia de la forma
∫∞
−∞ f (x)dx es una “combinación”
de las anteriores.
Definición e interpretación
• Para las integrales impropias que nos interesan, por definición se tiene
que: ∫ ∞
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
∫ n
a
f (x)dx ,
∫ b
−∞
f (x)dx = ĺım
n→∞
∫ b
−n
f (x)dx .
Figura: Integral impropia
∫∞
a
f (x)dx .
• Corresponde al cálculo de una integral definida estándar más el cálculo
de un ĺımite: ∫ ∞
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
∫ n
a
f (x)dx ,
• Aśı:
I Primero, se calcula
∫ n
a
f (x)dx , una expresión que depende de “n”.
I Segundo, al resultado anterior se toma ĺımite haciendo tender n a
infinito.
I Tener presente la regla de L’Hopital si el ĺımite es “complicado”.
Ejemplo 1
Dado � > 0, calcular ∫ +∞
1
1
x1+�
dx .
I Primero (primitiva)∫
1
x1+�
dx =
∫
x−1−�dx = −1
�
x−�.
I Segundo (integral definida):∫ n
1
1
x1+�
dx = −1
�
x−�
∣∣∣n
1
=
(
−1
�
n−�
)
−
(
−1
�
)
=
1
�
− 1
�n�
.
I Tercero (tomar ĺımite)∫ +∞
1
1
x1+�
dx = ĺım
n→∞
(
1
�
− 1
�n�
)
=
1
�
.
Ejemplo 2
Dado r > 0, calcular ∫ ∞
0
e−rxdx .
I Primero (primitiva) ∫
e−rxdx = −1
r
e−rx .
I Segundo (integral definida):∫ n
0
e−rxdx = −1
r
e−rx
∣∣∣n
0
= −1
r
e−rn − (−1
r
e0) = −1
r
e−rn +
1
r
.
I Tercero (tomar ĺımite)∫ ∞
0
e−rxdx = ĺım
n→∞
(
−1
r
e−rn +
1
r
)
= ĺım
n→∞
(
−1
r
e−rn
)
︸ ︷︷ ︸
0
+
1
r
=
1
r
.
Figura: Integral impropia:
∫∞
0
e−rxdx .
Ejemplo 3
Dado r > 0, calcular
∫∞
0
xe−rxdx .
• Primero (primitiva): por partes escogiendo u = x (de modo que
du = dx) y dv = e−rxdx (de modo que v = −1r e
−rx) tenemos∫
xe−rxdx = x · −1
r
e−rx −
(∫
−1
r
e−rxdx
)
,
es decir: ∫
xe−rxdx = −x · 1
r
e−rx − 1
r2
e−rx︸ ︷︷ ︸
F (x)
.
• Segundo (integral definida):∫ n
0
x e−rxdx = F (x)
∣∣∣n
0
=
(
−n · 1
r
e−r n − 1
r 2
e−r n
)
−
(
−0 · 1
r
e−r 0 − 1
r 2
e−r 0
)
es decir:∫ n
0
x e−rxdx =
(
−n · 1
r
e−r n − 1
r2
e−r n
)
+
1
r2
=
1
r2
−
(
n
r ern
+
1
r2 ern
)
.
• Tercero (tomar ĺımite)∫ ∞
0
xe−r xdx =
1
r2
− ĺım
n→∞
(
n
r ern
+
1
r2 ern
)
.
El ĺımite rojo es cero (directo) y, por L’Hopital, el ĺımite azul también es
cero:
ĺım
n→∞
n
r er n
L′Hopital
= ĺım
n→∞
1
r2ern
= 0.
De esta manera: ∫ ∞
0
xe−r xdx =
1
r2
.
Ejemplo 4
Dado µ > 0, expliquemos por qué se tiene lo siguiente∫ ∞
0
x
(1 + µ)x
dx =
1
(ln(1 + µ))2
.
En efecto, uno tiene que este resultado es consecuencia del ejercicio
anterior, del cual sabemos que∫ ∞
0
x e−rxdx =
1
r2
.
• Notando que
1
1 + µ
= e ln(
1
1+µ ) = e− ln(1+µ) ⇒ x
(1 + µ)x
= x e− ln(1+µ) x ,
por el resultado anterior tenemos que∫ ∞
0
x
(1 + µ)x
dx =
∫ ∞
0
xe− ln(1+µ) xdx
r=ln(1+µ)
=⇒ = 1
(ln(1 + µ))2
.
Ejemplo 5
Dado r > 0 y dado n = 0, 1, 2, . . . ,, definamos
In =
∫
xne−rxdx .
Por ejemplo,
I0 =
∫
e−rxdx , I1 =
∫
xe−rxdx , I2 =
∫
x2e−rxdx , I3 =
∫
x3e−rxdx ...
Notemos además que I0 =
∫
e−rxdx = − 1r e
−rx .
• Por la “regla por partes”, definiendo u = xn y dv = e−rxdx se tiene
que du = nxn−1dx y que v = − 1r e
−rx , por lo que
In =
∫
xne−rxdx = xn ·
(
−1
r
e−rx
)
−
∫ (
−1
r
e−rx
)
·
(
nxn−1
)
dx ⇒
In = −
(
xne−rx
r
)
+
n
r
∫
xn−1e−rxdx .
Por lo anterior, como regla general se tiene que
In =
n
r
· In−1 −
xne−rx
r
.
Por ejemplo, cuando n = 1 se tiene que
I1 =
1
r
· I0 −
xe−rx
r
.
Como I0 =
∫
e−rxdx = − 1r e
−rx , tenemos que
I1 =
1
r
·
(
−1
r
e−rx
)
− xe
−rx
r
= −e
−rx
r2
− xe
−rx
r
.
Por otro lado (caso n = 2)
I2 =
2
r
I1 −
x2e−rx
r
=
2
r
(
−e
−rx
r2
− xe
−rx
r
)
− x
2e−rx
r
= −2e
−rx
r3
− 2xe
−rx
r2
− x
2e−rx
r
Usando lo anterior, para obtener∫ +∞
0
x2e−rxdx .
• Para esto, tenemos que∫
x2e−rxdx = −2e
−rx
r3
− 2xe
−rx
r2
− x
2e−rx
r︸ ︷︷ ︸
F2(x)
por lo que ∫ +∞
0
x2e−rxdx = ĺım
n→∞
(F2(n)− F2(0)) =
2
r3
.
Lo anterior porque
F2(0) =
−2e0
r3
− 2 · 0 e
−0
r2
− 0
2 e−0
r
= − 2
r3
y, por la regla de L’Hopital, los ĺımites cuando n tiende a infinito son cero:
ĺım
n→+∞
2e−rn
r3
= ĺım
n→+∞
2ne−rn
r2
= ĺım
n→+∞
n2e−rn
r
= 0.
Conceptos generales
• Variable aleatoria definida en R+ (o en R)
X −→ densidad de la variable aleatoria es f (x)
• Densidad: es una función f (x) ≥ 0 y
∞∫
0
f (x)dx = 1
 ∞∫
−∞
f (x)dx = 1

• Probabilidad de que la variable aleatoria tome valores entre “a” y “b”:
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f (x)dx .
• Esperanza de la variable aleatoria (valor promedio, valor medio)
E(X ) =
∫ ∞
0
x f (x)dx ∈ R.
• Varianza de la variable aleatoria (promedio de las desviaciones al
cuadrado en torno a la media)
V(X ) =
∫ ∞
0
(x − E(X ))2 f (x)dx ∈ R.
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	Cultura general: variables aleatorias continuas