Clase_7_M3

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Matemáticas III
Clase 7
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Integral definida
Teorema Fundamental del Cálculo
Integrales definidas de funciones que tienen ramas
Objetivos de la clase
I Entender el concepto de integral definida (área bajo la curva)
I Conocer el Teorema fundamental del cálculo
I Desarrollo de ejemplos
Motivación: problema geométrico, área bajo la curva
• Problema geométrico: encontrar el área encerrada por una curva
(positiva) y el eje horizontal.
Figura: Área bajo una curva de f (x) entre x = a y x = b
• Dicha área, por “alcance de nombre”, se representa como
AREA =
b∫
a
f (x)dx .
Aproximación del área: suma de Riemann
• El área bajo la curva se aproxima por una sumatoria de “áreas” de
“pequeños rectángulos”. Estos se construyen de la siguiente manera:
I Base: dividir el intervalo [a, b] en “pequeños intervalos”.
Figura: Base de los rectángulos: segmentar [a, b] en “n”
subintervalos
I Altura de los rectángulos: evaluar la función en algún punto de
cada uno de los “pequeños intervalos”: para x̄i ∈ [xi−1, xi ], la altura
de cada rectángulo es
f (x̄i ).
• Aproximación del área bajo la curva: suma de las áreas de los
rectángulos que se construyeron. Esa sumatoria se llama Suma de
Riemann.
AREA ≈
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1)︸ ︷︷ ︸
suma de Riemann
.
Figura: Aproximación del área bajo la curva
• Si hacemos “crecer” el número de rectángulos haciendo tender n a
infinito, la aproximación anterior es, finalmente, el área que buscamos. Es
decir
AREA= ĺım
n→∞
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1).
• Problema: ¿cómo calculamos el “ĺımite de la sumatoria anterior”?
Respuesta: hay una estrecha relación entre el área en cuestión y la
primitiva (integral indefinida) de la función f (x). Este resultado se
conoce como Teorema Fundamental del Cálculo.
Preliminares: Teorema de Valor Medio
Dada g : R→ R y dados xi−1 y xi tal que xi−1 < xi , entonces existe
x̄i ∈]xi−1, xi [ tal que
g(xi )− g(xi−1)
xi − xi−1
= g ′(x̄i ) ⇐⇒ g(xi )− g(xi−1) = g ′(x̄i ) · (xi − xi−1).
Figura: TVM
Teorema Fundamental del Cálculo
• Sabemos que:
AREA =
b∫
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1).
• Sea F (x) una primitiva de f (x) (es decir, F ′(x) = f (x)). Haciendo
g(x) −→ F (x) g ′(x) −→ f (x)
por TVM (ver azul anterior) se tiene que
F (xi )− F (xi−1) = f (x̄i ) · (xi − xi−1).
Luego:
Área =
b∫
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1) (1)
= ĺım
n→∞
n∑
i=1
F (xi )− F (xi−1) (2)
= ĺım
n→∞
F (xn)− F (x0) (3)
= F (b)− F (a). (4)
• De (1) a (2) por TVM. De (2) a (3) por telescópica. De (3) a (4) ya
que xn = b y x0 = a.
En resumen: si F (x) es la primitiva de f (x), se tiene que
∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
(
≡ F (x)
∣∣∣b
a
)
.
Ejemplo 1
El problema es encontrar el área de la “siguiente figura:” área encerrada
por la función f (x) = eαx , con α > 0, y el eje X , con x variando entre 0
y b > 0.
Figura: Área bajo la curva: f (x) = eαx con 0 ≤ x ≤ b
El área que buscamos corresponde al valor de la siguiente integral
definida: ∫ b
0
eαx dx .
Para responder, seguimos el esquema a continuación:
• Primitiva (salvo constante):∫
eαx dx =
1
α
eαx︸ ︷︷ ︸
F (x)
.
• Cálculo de integral definida (área):∫ b
0
eαx dx = F (b)− F (0) = 1
α
eαx
∣∣∣b
0
=
1
α
eα b − 1
α
eα 0 =
1
α
eα b − 1
α
.
• El área en la Figura 5 entonces
Área =
1
α
eα b − 1
α
.
Ejemplo 2: funciones que se construyen a partir de
“integrales definidas”
• Dada f (x) = xex , integrando por partes con u = x (de modo que
du = dx) y dv = exdx (de modo que v = ex) se tiene que∫
xex dx = xex −
∫
exdx = xex − ex .
• Por lo tanto, dado t > 0 tenemos que∫ t
0
xexdx = (xex − ex)
∣∣∣t
0
=
(
tet − et
)
−
(
0e0 − e0
)
= tet − et + 1.
• En relación con lo anterior, ocurre que
∫ t
0
xexdx es una expresión que
depende de t, es decir, es una función de “t”. Por lo hecho, si esta
función la denotamos como θ(t), se cumple que
θ(t) =
∫ t
0
xexdx = tet − et + 1.
Propiedad elemental
En la Figura 6, el área entre “a” y “b” es la suma del área entre “a” y
“c” con el área entre “c” y “b”.
Figura: Descomposición del área entre a y b
• Lo anterior corresponde a decir que∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx .
• Esto es útil para calcular integrales definidas de funciones definidas
por ramas.
Ejemplo 3
Calcular ∫ 1
−1
|x |dx .
• Como
|x | =
{
x si x ≥ 0,
−x si x < 0,
se tiene que ∫ 1
−1
|x |dx =
∫ 0
−1
(−x)dx +
∫ 1
0
xdx .
• Ya que ∫
(−x)dx = −1
2
x2,
∫
xdx =
1
2
x2 ⇒∫ 1
−1
|x |dx = −1
2
x2
∣∣∣0
−1
+
1
2
x2
∣∣∣1
0
=
(
0−
(
−1
2
))
+
((
1
2
)
− 0
)
= 1.
• La Figura 7 es ilustrativa de lo anterior.
Figura: Área entre −1 y 1 encerrada por f (x) = |x | y el eje X
Ejemplo 4: integral de una función triangular
Considere la siguiente función: f : [0, 2]→ R tal que
f (x) =
{
x si 0 ≤ x ≤ 1
2− x si 1 < x ≤ 2.
El gráfico de esta función es como sigue:
Figura: Función triangular
A partir de lo anterior, para t ∈ [0, 2] se pide obtener∫ t
0
f (x)dx
Hay dos casos a considerar para obtener esa integral:
I Caso 1 cuando 0 ≤ t ≤ 1: usamos la rama de la izquierda de la
función f (x) para obtener la integral;
I Caso 2 cuando 1 < t ≤ 2: usamos ambas ramas de la función de
f (x) para obtener la integral.
La siguiente figura es ilustrativa del cálculo que queremos hacer.
Figura: Integral definida de una función triangular
Se tiene entonces que
I Caso 1: si 0 ≤ t ≤ 1 entonces∫ t
0
f (x)dx =
∫ t
0
x dx =
1
2
x2
∣∣∣t
0
=
t2
2
.
I Caso 2: si 1 < t ≤ 2 se tiene que (ver Figura 9)∫ t
0
f (x)dx =
∫ 1
0
f (x)dx +
∫ t
1
f (x)dx
• Como ∫ 1
0
f (x)dx =
∫ 1
0
x dx =
x2
2
∣∣∣1
0
=
1
2
,
cuando 1 < t ≤ 2 tenemos (usar rama derecha de f (x) entre 1 y t)∫ t
0
f (x)dx =
1
2
+
∫ t
1
(2− x) dx .
Luego, como ∫
(2− x)dx = 2x − 1
2
x2,
cuando 1 < t ≤ 2 por esto y lo anterior se tiene que∫ t
0
f (x)dx =
1
2
+
∫ t
1
(2− x) dx = 1
2
+
(
2x − 1
2
x2
) ∣∣∣t
1
,
es decir, cuando 1 < t ≤ 2 se tiene que∫ t
0
f (x)dx =
1
2
+
(
2t − t
2
2
)
−
(
2− 1
2
)
= 2t − t
2
2
− 1.
• En śıntesis, combinando todo lo anterior tenemos que∫ t
0
f (x)dx =
{
t2
2 si 0 ≤ t ≤ 1
2t − t
2
2 − 1 si 1 < t ≤ 2.
• Note que cuando t = 2 se tiene que∫ 2
0
f (x)dx = 1.
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