Clase_5_M3 (1)

Vista previa del material en texto

Matemáticas III
Clase 5
Profesor:Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Óptimo global versus óptimo local
Condiciones para encontrar óptimos globales (si hay)
Ejemplos
Objetivos de la clase
I Conocer qué es un punto donde una función óptimo global (máximo
o ḿınimo), y la diferencia con ser un punto donde hay óptimo local.
I Conocer las condiciones que garantizan que en cierto punto hay
máximo o ḿınimo global de una función.
Óptimo local
Figura: Extremos locales de una función
I f tiene un máximo local en x1: f ′(x1) = 0 ∧ f ′′(x1) < 0.
I f tiene un ḿınimo local en x2: f ′(x2) = 0 ∧ f ′′(x2) > 0.
Óptimo Local versus global
I ¿Es acaso f (x1) el mayor valor que toma la función en su dominio?
NO. Por ejemplo, de la Figura 2 se tiene que f (x4) > f (x1).
I ¿Es acaso f (x2) el menor valor que toma la función en su dominio?
NO. Por ejemplo, de la Figura 2 se tiene que f (x3) < f (x2).
Figura: Extremos locales no nec. optimizan globalmente
Óptimo global
Recordemos que f : R→ R tiene un “máximo local” en xM cuando “en
torno” a xM alcanza un valor máximo en ese punto, es decir, existe � > 0
tal que para todo x ∈]xM − �, xM + �[ se cumple que f (x) ≤ f (xM).
Sin embargo:
• La función f : R→ R tiene un “máximo global” en xM cuando en ese
punto alcanza un valor máximo en todo su dominio, es decir, para
todo x ∈ R se cumple que
f (x) ≤ f (xM).
P.D. Análogo con ḿınimo local versus ḿınimo global.
Óptimo local versus óptimo local
• ¿Siempre existen puntos donde una función alcanza máximo (ḿınimo)
global? En general NO. Por ejemplo, f : R→ R tal que f (x) = x no
tiene ni máximo, ni ḿınimo global (ni local...).
• ¿Si hay puntos donde la función tiene máximo (ḿınimo) local entonces,
¿debe haber máximo (ḿınimo) global? No necesariamente. Por
ejemplo, para la función f : R→ R tal que f (x) = x3 − 2x2 + 1.
I Puntos cŕıticos:
f ′(x) = 3x2 − 4x = 0 ⇒ x1 = 0, x2 =
4
3
.
I ¿Máx - Mı́n local?:
f ′′(x) = 6x − 4 ⇒ f ′′(0) = −4 < 0, f ′′(4/3) = 4 > 0.
Luego, en x1 = 0 hay máximo local y en x2 = 4/3 hay ḿınimo local.
I Sin embargo, en x1 no hay máximo global y en x2 no hay ḿınimo
global.
Figura: Óptimos locales de f (x) = x3 − 2x2 + 1
Resultado general
Para f : R→ R se tiene lo siguiente:
(a) Si la función es convexa o es cóncava en el dominio, entonces
tiene, a lo más, un único punto cŕıtico.
(b) Si la función es convexa, el punto cŕıtico (si existe) la minimiza
globalmente.
(c) Si la función es cóncava, el punto cŕıtico (si existe) la maxi-
miza globalmente.
Comentarios
(a) Lo anterior NO DICE que una función convexa (cóncava) debe
tener punto cŕıtico: f (x) = ln(x) es cóncava, pero NO TIENE punto
cŕıtico (f ′(x) = 1x nunca es cero).
(b) Lo propiedad en la lámina anterior dice que si la función f (x) es
convexa y tiene punto cŕıtico, este es único y, además, la
minimiza globalmente. Es decir, si f (x) es convexa y xm es tal que
f ′(xm) = 0 entonces para todo x ∈ R se tiene que
f (xm) ≤ f (x).
(c) Lo propiedad en la lámina anterior dice que si la función f (x) es
cóncava y tiene punto cŕıtico, este es único y, además, la
maximiza globalmente. Es decir, si f (x) es cóncava y xM es tal que
f ′(xM) = 0 entonces para todo x ∈ R se tiene que
f (x) ≤ f (xM).
• De manera “informal”: las convexas se minimizan y las cóncavas se
maximizan.
Esquema para estudiar óptimos globales
Consideramos el caso de una función f : R→ R (pudiendo ser otros
dominios).
Paso 1: Puntos cŕıticos
I Si la función f tiene punto cŕıtico (digamos, x̄), entonces
continuar con el siguiente paso.
I Si la función f no tiene punto cŕıtico, entonces terminar: no hay
óptimos globales.
Esquema para el análisis (continuación)
Paso 2: Análisis de la convexidad
(2.1) ¿Es cierto que f ′′(x) > 0 en todo R (o el dominio)?:
Śı ⇒ en x̄ hay ḿınimo global y es f (x̄)
(2.2) ¿Es cierto que f ′′(x) < 0 en todo R (o el dominio)?:
Śı ⇒ en x̄ hay máximo global y es f (x̄)
(2.3) Si el signo de la segunda derivada “depende de x”, entonces en x̄
hay solo ḿınimo local cuando f ′′(x̄) > 0, o bien hay máximo local
cuando f ′′(x̄) < 0, pero no hay óptimo global.
Ejemplo 1
Para la función f : R→ R tal que f (x) = 2x2 − 7x + 2:
I Punto(s) cŕıticos:
f ′(x) = 4x − 7 = 0 ⇒ x̄ = 7
4
.
I ¿Convexa o cóncava?
f ′′(x) = 4 > 0 ⇒ f (x) es convexa.
I Conclusión: ya que f es convexa, el punto cŕıtico x̄ = 7/4 es un
punto donde la función se minimiza globalmente, es decir: ∀x ∈ R se
cumple que
f (7/4) ≤ f (x).
Ejemplo 2
En general, para la función f : R→ R tal que
f (x) = a x2 + b x + c ,
I Punto cŕıtico:
f ′(x) = 2ax + b = 0 ⇒ x̄ = −b
2a
.
I ¿Convexa o cóncava?
f ′′(x) = 2a,
por lo que si a > 0 entonces f es convexa, mientras que si a < 0
entonces f es cóncava.
I Conclusión: si a > 0 entonces x̄ = −b2a es un punto donde la función
f (x) se minimiza globalmente, mientras que si a < 0 entonces
x̄ = −b2a es un punto donde f (x) se maximiza globalmente.
Ejemplo 3
Para la función f (x) = ex :
I Puntos cŕıticos:
f ′(x) = ex = 0 : no hay solución
La función no tiene puntos cŕıticos, por lo que no hay punto
donde f (x) = ex tiene máximo global, ni ḿınimo global. Note que
esto ocurre a pesar de que la función es convexa:
f ′(x) = ex ⇒ f ′′(x) = ex > 0.
Ejemplo 4
Para la función f : R→ R tal que
f (x) = ex − x
I Punto(s) cŕıticos:
f ′(x) = ex − 1 = 0 ⇒ ex = 1 ⇒ x̄ = 0
I ¿Convexa o cóncava?
f ′(x) = ex − 1 ⇒ f ′′(x) = ex > 0,
por lo que f (x) es convexa.
I Conclusión: la función f (x) = ex − x se minimiza globalmente en
x̄ = 0, es decir, para todo x ∈ R se cumple que
e0 − 0 ≤ ex − x ⇒ 1 + x ≤ ex .
Figura: f (x) = ex − x tiene ḿınimo global en x̄ = 0
Ejemplo 5
Suponga que R > 0 y p > 0 son cantidades conocidas. Sea f : R++ → R
tal que
f (x) = (R − p x) +
√
x .
• Puntos cŕıticos:
f ′(x) = −p + 1
2
√
x
= 0 ⇒ x̄ = 1
4p2
.
• ¿Convexa o cóncava?:
f ′(x) = −p + 1
2
√
x
⇒ f ′′(x) = − 1
4 x3/2
< 0.
• Conclusión: en el punto x̄ = 14p2 ocurre que la función tiene (alcanza)
un máximo global.
Ejemplo 6
Dados α ∈]0, 1[ y r > 0, definamos f : R+ → R tal que f (x) = xα − rx .
• Se tiene que f ′(x) = αxα−1 − r y que f ′′(x) = α · (α− 1)xα−2.
(a) El punto cŕıtico de f (x) cumple que
f ′(x) = αxα−1 − r = 0 ⇒ x̄ =
( r
α
) 1
α−1
.
(b) En este caso, notamos que la función f (x) es cóncava, ya que la
segunda derivada es negativa en el dominio. Por lo tanto,
x̄ =
(
r
α
) 1
α−1 es un punto donde f (x) tiene máximo global.
(c) El valor máximo que toma la función en todo su dominio es
f (x̄) =
(( r
α
) 1
α−1
)α
− r ·
( r
α
) 1
α−1
.
NOTA. Si en lo anterior uno considera α > 1, entonces f (x) tiene
ḿınimo global en x̄ , esto porque en tal caso f (x) es convexa.
	Objetivos de la clase
	Óptimo global versus óptimo local
	Condiciones para encontrar óptimos globales (si hay) 
	Ejemplos