Clase_4_M3

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Matemáticas III
Clase 4
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Óptimos (extremos) locales
Ejemplos
Objetivos de la clase
I Conocer qué es un óptimo (extremo) local de una función.
I Condiciones necesarias para caracterizar un punto donde óptimo
local, identificando si hay máximo o ḿınimo local.
Idea
Algunas funciones tienen puntos del dominio donde su valor es máximo
desde un punto de vista local, o bien donde su valor es ḿınimo desde
un punto de vista local: extremos locales
Figura: Función que tiene extremos locales en x1 y en x2
Definición
I x1 es un punto donde f (x) tiene un máximo local si existe "1 > 0
tal que para todo x 2]x1 � "1, x1 + "1[ se cumple que
f (x)  f (x1).
I x2 es un punto donde f (x) tiene un ḿınimo local si existe "2 > 0
tal que para todo x 2]x2 � "2, x2 + "2[ se cumple que
f (x2)  f (x).
Figura: f (x) tiene un máximo local en x1 y ḿınimo local en x2
Caracterización de extremos locales
Figura: Puntos donde f tiene extremo local
De la Figura 3:
I En x1 la tangente a la curva es horizontal y, además, la curva es
localmente cóncava.
I En x2 la tangente a la curva en él es horizontal y, además, la curva
es localmente convexa.
Propiedad relevante
Dada f : R ! R, tenemos que:
(a) si se cumple que
f 0(x1) = 0 y f
00(x1) < 0,
entonces x1 es un punto donde f tiene un máximo local, que es
f (x1).
(b) si se cumple que
f 0(x2) = 0 y f
00(x2) > 0,
entonces x2 es un punto donde f tiene un ḿınimo local, que es
f (x2).
Conceptos relacionados: punto cŕıtico
I Uno dice que x̄ es un punto cŕıtico de f : R ! R cuando
f 0(x̄) = 0.
Por lo tanto:
I En un punto cŕıtico x̄ , la función f (x) tiene máximo local cuando
f 00(x̄) < 0.
I En un punto cŕıtico x̄ , la función tiene ḿınimo local cuando
f 00(x̄) > 0.
Figura: Puntos cŕıticos y otros
I Puntos cŕıticos: x1, x2, x3 y x4.
I Máximos locales en x2 y x4. Los valores máximos locales de la
función son f (x2) y f (x4).
I Mı́nimos locales en x1 y x3. Los valores ḿınimos locales de la
función son f (x1) y f (x3).
I a, b, c y d no son puntos cŕıticos: f 0(a) < 0, f 0(b) < 0, f 0(c) > 0
y f 0(d) < 0.
Ejemplo 1
Encontrar los puntos cŕıticos de f (x) = 13 x
3 � 32 x
2 + 2 x e identificar si
en ellos la función tiene máximo o ḿınimo local.
I Puntos cŕıticos:
f (x) =
1
3
x3 � 3
2
x2 + 2 x ) f 0(x) = x2 � 3 x + 2
f 0(x) = 0 ) x1 = 2, x2 = 1.
I “Tipo” de extremo local: necesitamos la segunda derivada
f 00(x) = 2x � 3 ) f 00(x1) = 1 ^ f 00(x2) = �1.
Por lo tanto: en x1 = 2 la función tiene un ḿınimo local y en x2 = 1
tiene un máximo local, que son, respectivamente, f (2) y f (�1).
Figura: Puntos cŕıticos de f (x) = 13 x
3 � 32 x
2 + 2 x
Ejemplo 2
Encontrar los puntos cŕıticos de f (x) = x ex , identificando si se trata de
un punto donde la función tiene máximo o ḿınimo local.
En este caso:
I Punto cŕıtico:
f (x) = x ex ) f 0(x) = xex + ex )
f 0(x) = 0 : xex + ex = 0 ) ex (x + 1) = 0 ) x1 = �1.
I ¿Máximo o ḿınimo local?
f 0(x) = xex + ex ) f 00(x) = (xex + ex) + ex = xex + 2 ex .
Ya que
f 00(�1) = �e�1 + 2e�1 = e�1 > 0,
en el punto x1 = �1 ocurre que la función tiene un ḿınimo local,
que es f (�1) = � 1e .
Figura: Puntos cŕıticos de f (x) = xex
Ejemplo 3
Dados ↵ 2]0, 1[ y r > 0, definamos f : R+ ! R tal que f (x) = x↵ � rx .
• Se tiene que f 0(x) = ↵x↵�1 � r y que f 00(x) = ↵ · (↵� 1)x↵�2.
(a) El punto cŕıtico de f (x) cumple que
f 0(x) = ↵x↵�1 � r = 0 ) x̄ =
⇣ r
↵
⌘ 1
↵�1
.
(b) En este caso, notamos que la función f (x) es cóncava, ya que la
segunda derivada es negativa en el dominio. Por lo tanto, es directo
que x̄ =
�
r
↵
� 1
↵�1 es un punto donde f (x) tiene máximo local.
(c) El valor que alcanza la función en el punto cŕıtico (valor máximo
local) es
f (x̄) =
✓⇣ r
↵
⌘ 1
↵�1
◆↵
� r ·
⇣ r
↵
⌘ 1
↵�1
.
NOTA. Si en lo anterior uno considera ↵ > 1, entonces f (x) tiene
ḿınimo local en x̄ , esto porque en tal caso f (x) es convexa, de modo que
f 00(x̄) > 0.