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Matemáticas III
Clase 3
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
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Agenda
Objetivos de la clase
Funciones convexas
Caracterización de funciones convexas con segundas derivadas
Funciones cóncavas
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer qué es una función convexa y qué es una función cóncava.
• Conocer la caracterización de convexidad / concavidad a través de
segundas derivadas.
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Funciones convexas
Convexidad
• ¿Qué tienen en común los siguientes cuatro gráficos de funciones?
Figura 1: Funciones bajo análisis
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Hecho relevante
En los gráficos anteriores, tomando dos puntos de él ocurre que la recta
que los une está arriba de la curva (gráficos (1), (3) y (4)), o en algunas
partes está arriba y en otras coincide (gráfico con tramo recto en (2)).
Figura 2: Recta que une dos puntos del gráfico está “arriba” del
gráfico (o coincide)
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Desigualdad que define la convexidad
¿A qué corresponde que el trazo esté “arriba” de la curva en los casos
(1), (3) y (4)? Dados x1 < x2 dos puntos en el dominio de la función:
• La recta L(x) que pasa por los puntos (x1, f (x1)), (x2, f (x2)) tiene
ecuación
L(x) = f (x1) +
f (x2)� f (x1)
x2 � x1
(x � x1).
• Tomemos x̄ un punto entre x1 y x2, sin considerar los extremos:
x̄ = �x1 + (1� �) x2, con � 2]0, 1[.
• Evaluando L(x) en el punto intermedio x̄ :
L(x̄) = f (x1) +
f (x2)� f (x1)
x2 � x1
((�x1 + (1� �) x2)� x1)
= �f (x1) + (1� �) f (x2)
• Finalmente, si la recta está arriba del gráfico es porque f (x̄) < L(x̄).
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Figura 3: Función convexa
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Definición de función convexa
Una función f : R ! R se dice “convexa” si para todo x1, x2 2 R
y para todo � 2]0, 1[ se cumple que
f (� x1 + (1� �) x2) < �f (x1) + (1� �) f (x2).
NOTAS.
• Las “funciones” (1), (3) y (4) de la Figura 1 cumplen lo anterior:
son funciones convexas.
• El gráfico de la función (2) en la Figura 1 tiene un tramo recto, por
lo que la “recta” L(x) coincide con la “curva” para ciertos puntos
del gráfico. Se dice entonces que (2) es una función débilmente
convexa.
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Caracterización de funciones
convexas con segundas derivadas
Problema
• Determinar que una función es convexa a través de la definición es,
en general, un problema complicado.
• Por ejemplo, si queremos probar que la función f (x) = ex es
convexa (cosa que es cierto), uno debeŕıa probar que para cualquier
x1, x2 2 R y para cualquier � 2]0, 1[ se cumple que
e�x1+(1��)x2 < �ex1 + (1� �)ex2 .
• Necesitamos entonces una forma sencilla de estudiar la convexidad
de una función.
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Observación clave
Las funciones convexas tienen derivada creciente
Figura 4: Derivada creciente
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Caracterización de función convexa
Por lo tanto:
• Si f 0(x) es creciente, es porque su derivada es positiva.
• Es decir, la derivada de la derivada es positiva: segunda derivada
es positiva.
f : R ! R es convexa () f 00(x) > 0.
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Funciones cóncavas
Idea
• Una función f : R ! R es cóncava cuando “menos la función”, �f ,
es convexa (el gráfico de f se “da vuelta con respecto al eje
horizontal” para obtener el gráfico de �f ).
• Por lo tanto, una función f : R ! R es cóncava si para todo
x1, x2 2 R y para todo � 2]0, 1[ se cumple que
f (� x1 + (1� �) x2) > �f (x1) + (1� �) f (x2).
Lo anterior se traduce en lo siguiente:
f : R ! R es cóncava () f 00(x) < 0.
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Figura 5: Cóncava: derivada decreciente, f 00(x) < 0 en (1), (3) y (4)
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Resumen
Sobre la base de todo lo expuesto, la convexidad de una función
se puede ver desde tres puntos de vista equivalentes, de modo que
(a), (b) y (c) a continuación informan lo mismo:
(a) para todo x1, x2 2 R, y para todo � 2]0, 1[ se cumple que
f (�x1 + (1� �)x2) < �f (x1) + (1� �)f (x2).
(b) para todo x1, x2 2 R, con x1 < x2, el segmento de recta que
une los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) está arriba del gráfico
de f (x) (no lo toca) cuando x vaŕıa entre x1 y x2, sin
incluirlos,
(c) f 00(x) > 0.
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Resumen
Sobre la base de todo lo expuesto, la concavidad de una función
se puede ver desde tres puntos de vista equivalentes, de modo que
(a), (b) y (c) a continuación informan lo mismo:
(a) para todo x1, x2 2 R, y para todo � 2]0, 1[ se cumple que
f (�x1 + (1� �)x2) > �f (x1) + (1� �)f (x2).
(b) para todo x1, x2 2 R, con x1 < x2, el segmento de recta que
une los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) está bajo el gráfico de
f (x) (no lo toca) cuando x vaŕıa entre x1 y x2, sin incluirlos,
(c) f 00(x) < 0.
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Comentario 1
• Una función cualquiera, ¿debe ser convexa o debe ser cóncava? NO
necesariamente.
Figura 6: Función que no es ni convexa ni cóncava
• Donde f 00(x) > 0 ocurre que f es convexa de manera local.
• Donde f 00(x) < 0 ocurre que f es cóncava de manera local.
NOTA. x̄ se llama punto de inflexión si cumple que f 00(x̄) = 0.
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Comentario 2
Hay funciones que son (a) convexa y creciente, (b) convexa y decreciente, (c)
convexa y “mixto” creciente-decreciente. También se puede dar el caso (d)
cóncava y creciente, (e) cóncava y decreciente y (f) cóncava y “mixto’
creciente-decreciente.
Figura 7: Creciente y convexa – decreciente y convexa
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
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Ejemplo 1
Para parábola f (x) = a x2 + b x + c , tenemos que
f 0(x) = 2a x + b ) f 00(x) = 2a.
Luego:
• f (x) es convexa cuando a > 0
• f (x) es cóncava cuando a < 0
• La parábola es creciente en cierta región, y decreciente en otra.
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Ejemplo 2
Para la función exponencial f (x) = ex tenemos que
f (x) = ex ) f 0(x) = ex ) f 00(x) = ex .
Luego f (x) es convexa ya que f 00(x) > 0.
• ¿Qué informa lo anterior? Entre otros, el hecho que f (x) = ex es
convexa nos dice que para todo x1, x2 2 R, con x1 6= x2, y para todo
0 < � < 1, se cumple que
e�x1+(1��)x2) < �ex1 + (1� �)ex2 .
• Nota. La función g(x) = e�x también es convexa:
g(x) = e�x ) g 0(x) = �e�x ) g 00(x) = e�x > 0.
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Ejemplo 3
Dado b > 0, con b 6= 1, para la función f (x) = bx se tiene que
f (x) = bx ) f 0(x) = ln(b)bx ) f 00(x) = (ln(b))2bx .
Luego, ya que la segunda derivada siempre es positiva, concluimos que
f (x) = bx es convexa.
Por otro lado, note que:
• Si 0 < b < 1, entonces f (x) = bx es decreciente:
0 < b < 1 ) ln(b) < 0 ) f 0(x) < 0.
• Si b > 1, entonces f (x) = bx es creciente:
b > 1 ) ln(b) > 0 ) f 0(x) > 0.
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Ejemplo 4
Para la función f : R++ ! R tal que f (x) = ln(x) se tiene que
f (x) = ln(x) ) f 0(x) = 1
x
) f 00(x) = � 1
x2
Por lo tanto, el logaritmo natural es una función cóncava, ya que la
segunda derivada es negativa en todos los puntos del dominio. Notemos
además que f (x) = ln(x) es creciente (derivada positiva).
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Ejemplo 5
Dado � 2 R y dada f : R++ ! R tal que f (x) = x� , se tiene que:
f 0(x) = �x��1 ^ f 00(x) = � · (� � 1) x��2.
Por lo tanto (tener presente que x > 0):
(a) Si � > 0 ocurre que f (x) es creciente. Además, viendo la segunda
derivada:
(a1) Si 0 < � < 1 entonces f (x) es cóncava.
(a2) Si � > 1 entonces f (x) es convexa.
(b) Si � < 0 ocurre que f (x) es decreciente. Por otro lado, como
�(� � 1) > 0, tenemos que f (x) = x� es convexa cuando � < 0.
Por ejemplo:
(a1) : f (x) =
p
x , (a2) : f (x) = x3/2, (b) : f (x) =
1
x2
= x�2.
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