S4_-_MATE_-_1ERO_PRIM_-_I_B_(MULTIPLICACION_Y_DIVISION_DE_NUMEROS_NATURALES)

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1° AÑO
Prof. RENATO RODRIGUEZ VELARDES 
MATEMÁTICA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE 
NÚMEROS NATURALES
Tema N° 04
MULTIPLICACIÓN Y 
DIVISIÓN DE NÚMEROS 
NATURALES
1. MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS NATURALES
Es la operación que consiste en repetir como sumando una cantidad
denominada multiplicando, tantas veces como lo indica otra cantidad
denominada multiplicador, obteniendo un resultado llamado producto.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
A. PROPIEDAD DE CLAUSURA: ∀ 𝒂, 𝒃 ∈ ℕ: 𝒂 × 𝒃 ∈ ℕ
B. PROPIEDAD ASOCIATIVA: ∀ 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℕ: (𝒂 × 𝒃) × c =𝒂 × (b × c)
C. PROPIEDAD CONMUTATIVA:∀ 𝒂, 𝒃 ∈ ℕ: 𝒂 × 𝒃 = b × a
𝟑 x 4 =12 ∈ ℕ
Ejemplo:
Ejemplo: (𝟓 x 7) x 2 = 5 x (7 x 2)
35 x 2 = 5 x 14
70 = 70
Ejemplo:
𝟒 x 8 = 8 x 4
32 = 32
D. ELEMENTO NEUTRO: ∀ 𝒂 ∈ ℕ: 𝒂 × 𝟏 = 1 × 𝒂= 𝒂
E. ELEMENTO ABSORBENTE: ∀ 𝒂 ∈ ℕ: 𝒂 × 𝟎 = 0 × 𝒂 = 0
Ejemplo:
Ejemplo:
𝟗 x 1 = 1 x 9
9 = 9
𝟒𝟓 x 0 = 0
F. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: ∀ 𝒂, b, c ∈ ℕ: 𝒂 × (𝒃 + c) =𝒂 × b +𝒂 × c
Ejemplo:
𝟒 x (8 + 11) = 4 x 8 + 4 x 11
4 x 19 = 32 + 44
76 = 76
2. DIVISIÓN DE NUMEROS NATURALES
Es la operación que nos permite determinar cuántas veces, una
cantidad llamada divisor (d) está contenida en otra cantidad
denominada dividendo (D). A la cantidad que se va a determinar se le
llama cociente (q).
CLASES DE DIVISIÓN
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN
1. 0 < residuo < 𝑑
2. 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑑 − 1
3. 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 1
4. 𝑟𝑑 + 𝑟𝑒 = 𝑑
01.- En una división inexacta de residuo máximo, el divisor es 42. Si el cociente es 9
unidades menor que el residuo. ¿Cuál es el valor del dividendo?
- Datos del problema:
• Division inexacta: D = dC + r
• rmax = d –
1
• C = r – 9
= 41 – 9 ⇒ C = 32
• Divisor (d)= 42
rmax = 42 – 1 = 41
➢ Luego reemplazando se tendra: D = dC + r
D= 42 (32) + 41
=1344 +41
D = 1385
Resolución
02.- Si el producto de dos números impares consecutivos es 1443. ¿Cuánto suman dichos números?
RESOLUCIÓN
- Sea “ x ” un numero par, luego los números anterior y posterior serán números impares 
x 
par
x – 1
impar 
x + 1
impar 
son impares consecutivos (piden la suma de estos números impares)
Luego por dato del problema: (x - 1)(x + 1) = 1443 
descomponer (1443):
1443 3
481 13
37 37
1
1443 = (37)(13)(3)
(x - 1)(x + 1) = (37)(39) 
x – 1 =37
x + 1 =39
➢ Luego: 37 + 39 = 76
03.- Cuando dos números pares consecutivos se multiplican, determinan un producto igual a 
528. Hallar el numero par que se encuentra antes del menor.
RESOLUCIÓN
- Ahora sean dos pares consecutivos: x; x + 2
- Sea “x” un número par
- Por dato del problema ( x )( x + 2 ) = 528
descomponemos (528):
528 2
264 2
132 2
66 2
33 3
11 11
1
528 = 2(11)(3)(2)(2)(2)
(x )(x + 2) = (22) (24) 
x =22
x + 2 =24
Número menor
➢ Luego el número par antes del número menor = 20 
04.- Se tiene la multiplicación de los números 36 y 45, y al multiplicando lo triplicamos. 
¿Cuántas unidades se deberá restar al multiplicador para que el producto no varíe?
RESOLUCIÓN
- Multiplicación de los números: (36)(45) = 1620 
- Al multiplicando lo triplicamos: 3(36) = 108
- Sea “x” las unidades restadas al multiplicador, se tendrá entonces: 45 - x
El producto no debe variar, es decir:
(108) (45 - x) = 1620
45 - x = 15
30 = x
05.- ¿Cuántos números naturales existen tales que al dividirlos por 29 dejan como residuo un 
número que es el cuádruplo del cociente? 
RESOLUCIÓN
- Divisor (d) = 29
⇒ rmax = 28 (el número máximo que puede tomar el residuo)
- rmax = d – 1
= 29 – 1
- Por dato del problema: r = 4C Por propiedad: 0 < 𝑟 < 𝑑
⇒ 0 < 4𝐶 ≤ 28
⇒ 0 < 𝐶 ≤ 7
➢ Luego C = 1; 2; 3; 4 ; 5; 6 ; 7 , son 7 cocientes para 𝟕 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬
⇒ 0 < 𝑟 ≤ rmax < 𝑑
06. En un número de dos cifras, se divide la cifra de las decenas por la cifra de las unidades, el cociente
resulta ser 4 y el residuo 1. Si la suma de sus cifras es 11, hallar la diferencia de tales cifras
RESOLUCIÓN
- Sea el número de dos cifras: 𝑎𝑏
b
41
𝑎 = 4𝑏 + 1 (*)
- Por dato del problema: 𝑎 + 𝑏 = 11 …………………… . (∗∗)
Reemplazamos (*) en (**) tenemos 4𝑏 + 1 + 𝑏 = 11
en consecuencia a = 9
➢ Luego: 𝑎 − 𝑏 = 9 − 2 = 𝟕
𝑎
5𝑏 = 10
𝑏 = 2
07.- Sabiendo que la suma de los términos de una división exacta es 139; y el dividendo es nueve 
veces el divisor, hallar el dividendo
RESOLUCIÓN
- División exacta: 𝐷=dc
- 𝐷 + 𝑑 + 𝑐 = 139
- D= 9𝑑
9d = 𝑑𝑐
9 = c
- Por dato: D + d + c = 139
9d + d + 9 = 139
10d = 130 ⇒ d = 13
➢ Luego: D= 9𝑑
D = 9(13)⇒ 𝐷 = 𝟏𝟏𝟕
08.- ¿Cuál es el mayor número que dividido por 23 da un residuo igual al doble del cociente?
RESOLUCIÓN
- r= 2𝑐
- d= 23 ⇒ rmax = 23 − 1
rmax = 22
- Como tiene residuo es una división inexacta: D = dc + r
0 < 𝑟 < 𝑑
0 < 𝑟 ≤ rmax
0 < 2𝑐 ≤ 22 ⇒ 0 < c ≤ 11 maximo cociente
➢ Luego como: D = dc + r 
= 23(11) + 22
D = 253 + 22 ⇒ 𝐷 = 𝟐𝟕𝟓
09.- El producto de dos números es igual a 6996. Si al multiplicando se le aumenta 10 unidades, el
producto se incrementa en 1320. Halle el multiplicando
RESOLUCIÓN
- Sean "𝑎 y b” dos números ⇒ 𝑎. 𝑏 = 6996
- Se aumenta en 10 al multiplicando: 𝑎 + 10 . 𝑏 = 6996 + 1320
𝑎. 𝑏 + 10𝑏 = 6996 + 1320
6996 + 10b = 6996 +1320
10𝑏 = 1320 ⇒ 𝑏 = 132
- Luego: 𝑎. 𝑏 = 6996
𝑎. 132 = 6996 ⇒ 𝒂 = 𝟓𝟑
10.- Pepe tiene 4000 soles en su cuenta BCP y Carlos tiene 1500 soles en su cuenta del BBVA, si 
cada uno ahorra 200 soles mensuales. ¿Dentro de cuántos meses, la cantidad que habrá 
acumulado la primera será el doble de la segunda?
RESOLUCIÓN
- Sean el ahorro de cada uno:
Pepe: 4000 + 200x
Carlos: 1500 + 200𝑥
- 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑃𝑒𝑝𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠:
𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎𝒙 = 𝟐 𝟏𝟓𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎𝒙
𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎𝒙 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝟎𝒙
𝟒𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟎𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙
1𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝒙
𝟓 = 𝒙
Sea “x” la cantidad de meses
11.- Manuel es un comerciante que se dedica al negocio de los artículos de cristal, en esta oportunidad
compro 1800 vasos a S/ 2 cada uno. Durante al camino a su local de ventas se da cuenta que se han
roto unos cuantos vasos por lo que decide vender los restantes a S/ 3 cada uno, obteniéndose una
ganancia total de S/ 1620, ¿Cuántos vasos rompió Manuel.
RESOLUCIÓN
- Sea el gasto total: 
Decimos que Ganancia = Ingreso - Gasto
𝐺 = 1800 × 2 = 3600
- Sea el ingreso total: 
𝐼 = (1800 − 𝑥) × 3
Sea “x” la cantidad de vasos rotos
𝐺𝑇 = 𝐼 − 𝐺
1620 = (1800 − 𝑥) × 3 − 3600
1620 = 5400 − 3𝑥 − 3600
1620 = 1800 − 3𝑥
3𝑥 = 1800 − 1620
3𝑥 = 180
𝑥 = 60
12.- En una división inexacta la suma de los cuatro términos es 541. Si el divisor es 13 y el cociente
es el triple del residuo, hallar la suma de las cifras del dividendo
RESOLUCIÓN
- División inexacta: D = d*c + r
d = 13
D + d + c + r= 541
c= 3r
D + d + c + r= 541, remplazando
dc + r + d + c + r =541
13(3r) + r + 13 + 3r + r =541
39r + 5r = 528⇒ 44𝑟 = 528 ⇒ 𝑟 = 12
➢ Luego D = dc + r
D = 13(3.12) + 12
D = 480
Suma de las cifras del dividendo “D” = 4 + 8 + 0 
D = 12
13.- El duplo del mayor de dos números dividido por el menor da 2 de cociente y 4 de residuo. 
El quíntuplo del menor dividido por el mayor da 4 de cociente y 5 de residuo. ¿Cual es el 
mayor de los dos números?
RESOLUCIÓN
- Sean dos números “𝑎 𝑦 𝑏”; además 𝑎 > 𝑏
2(𝑎) 𝑏
24
2 𝑎 = 2 𝑏 + 4
𝑎 = 𝑏 + 2
5(𝑏) 𝑎
45
5 𝑏 = 4 𝑎 + 5
5b = 4 𝑏 + 2 + 5
5𝑏 = 4𝑏 + 8 + 5 ⇒ 𝑏 = 13 𝑦 𝒂 = 𝟏𝟓
14.- En una división inexacta el residuo por defecto es el quíntuplo del residuo por exceso. Calcular el 
dividendo sabiendo que el divisor es 72 y el cociente es la tercera parte del residuo por defecto
RESOLUCIÓN
- División inexacta por defecto: 𝐷 = 𝑑𝑐 + 𝑟𝑑
- 𝑑 = 72 ; 𝑐 =
1
3
(𝑟𝑑)
-Sea 𝑟𝑑: 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 ; 𝑟𝑒: 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑜
- 𝑟𝑑 = 5𝑟𝑒 ⇒
𝑟𝑑
5
= 𝑟𝑒
- 𝑃𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: 𝑟𝑑 + 𝑟𝑒 = 𝑑 5𝑟𝑒 + 𝑟𝑒 = 72
6𝑟𝑒 =72
𝑟𝑒 = 12 ⇒ 𝑟𝑑 =60𝑐 =
1
3
𝑟𝑑 ⇒ 𝑐 =
60
3
⇒ 𝑐 = 20
➢ Luego como: 𝐷 = 𝑑𝑐 + 𝑟𝑑
D = 72(20) + 60 ⇒ D= 𝟏𝟓𝟎𝟎
15.- Martin compró un televisor a S/. 1210 el cual pago con billetes de S/ 20 y S/ 50. Hallar la
cantidad de billetes de S/20, si este es el triple de la cantidad de billetes de SD/ 50
RESOLUCIÓN
Cantidad de billetes
x 20 20x
- Por dato del problema x = 3y
Valor del billete(S/.) Pago en total:
y 50 50y
- Costo del TV: 1210 ⇒ 20x + 50y = 1210
- Reemplazando se tendrá: 20(3y) + 50y = 1210
110y = 1210 ⇒ 𝑦 = 11
➢ Luego como: x = 3y ⇒ 𝑥 = 3 11 ⇒ 𝒙 = 𝟑𝟑
¡ Gracias !