SEMANA 13PRE_MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN (2021_2) - Mario Sánchez

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1
MULTIPLICACIÓN 
y DIVISIÓN
2021-2
PREUNIVERSITARIO
13
2
CÁLCULO DE UN ÁREA 
b
h
Á𝑅𝐸𝐴 =
𝑏ℎ
2
CÁLCULO DEL NÚMERO DE LOSETAS
#𝑙𝑜𝑠𝑒𝑡𝑎𝑠 =
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑠𝑒𝑡𝑎
3
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
=
5 55 5 = 4x5
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
4
LA MULTIPLICACIÓN 
Sea “·” una función que asocia a cada par ordenado (𝑴,𝒎) de números
enteros positivos otro entero positivo 𝑴+𝑴+⋯+𝑴 (donde M está
“𝒎” veces), al resultado anterior lo denotaremos con 𝑷.
𝑴 .𝒎 = 𝑷
MULTIPLICANDO MULTIPLICADOR
PRODUCTO
Notación: · (𝑴,𝒎) = 𝑷 y por razones prácticas se denota por 𝑴 ·𝒎 = 𝑷
El dominio de · es ℤ+ x ℤ+ y su rango es ℤ+
5
LA MULTIPLICACIÓN – EN FORMA 
PRÁCTICA 
“𝒎” veces
MULTIPLICANDO MULTIPLICADOR
PRODUCTO
𝐌+𝐌+𝐌+𝐌+⋯+𝐌 =
FACTORES
SUMA 
ABREVIADA
𝑴 .𝒎 = 𝑷
6
MULTIPLICACIÓN
Producto parcial, es el
producto de una cifra
del multiplicador por el
multiplicando.
P R O D U C T O
El primer producto
parcial es del primer
orden, el segundo es del
segundo orden y el
tercer producto parcial
es del tercer orden.
𝑚𝑛𝑝𝑞(𝑧) x
𝑎𝑏𝑐(𝑧)
𝑚𝑛𝑝𝑞(𝑧)x 𝑐
𝑚𝑛𝑝𝑞(𝑧)x 𝑏
𝑚𝑛𝑝𝑞(𝑧)x 𝑎
+
PRODUCTOS 
PARCIALES
7
Aplicación 1 
Se sabe que la suma de productos parciales de multiplicar 𝑨 y 845
es 43 299. Calcule el producto de 𝑨 y 
𝑨
𝟗
Resolución:
Los 3 productos parciales son: 8𝑨 ; 4𝑨 y 5𝑨
Dato: 8 𝐴 + 4 𝐴 + 5 𝐴 = 43 299
𝐴 = 2 547
Efectuamos la multiplicación: 𝑨 x 
𝑨
𝟗
= 2547x283 = 720 801
8
Propiedades de la multiplicación 
Propiedad conmutativa: 𝒙 . 𝒚 = 𝒚 . 𝒙
Propiedad asociativa: 𝒙 . 𝒚 . 𝒛 = 𝒙 . (𝒚. 𝒛)
(𝒙 . 𝒚). (𝒛 .𝒘) = 𝒙 . (𝒚. 𝒛) .𝒘
Propiedad distributiva: 
𝒙. (𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒅) = (𝒙. 𝒂 + 𝒙. 𝒃 + 𝒙. 𝒄 − 𝒙. 𝒅)
𝒙. 𝒂 + 𝒃 = 𝒙. 𝒂 + 𝒙. 𝒃
Consecuencias: 
En el conjunto de los números reales.
Propiedad de clausura : el producto de dos números reales es un real.
Si: 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+∪ 𝟎 ⟹ 𝒙 .𝒚 ∈ ℝ+ ∪ 𝟎
9
Propiedades de la multiplicación 
Propiedad de existencia del elemento neutro multiplicativo: 
existe un único elemento real denotado por 1 (elemento neutro de la
multiplicación) tal que:
Si: 𝒙 ∈ ℝ ⟹ 𝒙. 𝟏 = 𝟏. 𝒙 = 𝒙
Propiedad de existencia y unicidad del inverso multiplicativo de un
racional diferente de cero:
Si: 𝒙 ∈ ℝ, 𝒙 ≠ 𝟎 ⟹ ∃ un único elemento de ℝ denotado por 𝒙′tal que
𝒙′. 𝒙 =1
Propiedad: Si: 𝒙 ∈ ℝ, 𝒙 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒙′ =
𝟏
𝒙
Si: 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ
𝒂 = 𝒃
𝒄 = 𝒅 𝒂. 𝒄 = 𝒃. 𝒅y
En el conjunto de los números reales (ℝ)
Propiedad:
10
Propiedades de la multiplicación 
Propiedad de la multiplicación de desigualdades en ℝ+
𝒂 < 𝒃
𝒄 < 𝒅 𝒂. 𝒄 < 𝒃. 𝒅
𝒎 < 𝒙 < 𝒏
𝒑 < 𝒛 < 𝒒 𝒎.𝒑 < 𝒙. 𝒛 < 𝒏. 𝒒
𝒂 ≤ 𝒃 < 𝒄
𝟏
𝒄
<
𝟏
𝒃
≤
𝟏
𝒂
𝟏
𝒄𝒏
<
𝟏
𝒃𝒏
≤
𝟏
𝒂𝒏
11
Aplicación 2 
Multiplicar: 𝟐𝟓𝟒𝟑(𝟖) × 𝟒𝟓𝟑(𝟖)
Resolución:
𝟒𝟓𝟑(8)
𝟐𝟓𝟒𝟑(8) X
𝟏𝟎𝟎𝟓𝟏(8)
𝟏𝟓𝟑𝟓7(8)
𝟏𝟐𝟔𝟏𝟒(8)
𝟏𝟒𝟒𝟓𝟐𝟒𝟏(8)
3x3 = 1(8) + 1
3x4 + 1 = 13 = 1(8) +5
3x5 + 1 = 16 = 2(8) + 0
3x2 + 2 = 8 = 1(8) + 0 = 𝟏𝟎(𝟖)
5x3 = 15 = 1(8) + 7
5x4 + 1 = 21 = 2(8) + 5
5x5 + 2 = 27 = 3(8) + 3
5x2 + 3 = 13 = 1(8) + 5 = 𝟏𝟓(𝟖)
4x3 = 12 = 1(8) + 4
4x4 + 1 = 17= 2(8) + 1
4x5 + 2 = 22 = 2(8) + 6
4x2 + 2 = 10 = 1(8) + 2 =𝟏𝟐(𝟖)
12
Aplicación 3 
Determinar la suma de cifras
del multiplicador de dos cifras
en la multiplicación incompleta
en el sistema de numeración
decimal.
5 6
Resolución En las unidades:
1 x 7 , 3 x 9 , 7 x 1 , 9 x 3 
3
7
9
8
4
70
4
752
567
2
En las decenas: 9( a ) +2 = ..8, a = 4 
También: ( b )(3) = ..2, b = 4 
5
2
0 7
5 6
5
2
0 72
13
Aplicación 4 
La suma de los términos de una multiplicación es 5 485, y al aumentar
3 unidades a cada factor el producto se incrementa en 1 308 unidades,
determine la suma de cifras del mayor factor.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolución
La multiplicación tiene 3
términos:
(M)(m) = P
𝑀 +𝑚 + 𝑃 = 5 485
𝑀 + 3 𝑚 + 3 = 𝑃 + 1 308
3𝑀 + 3𝑚 +𝑀𝑚 + 9 = 𝑃 + 1 308
𝑀 +𝑚 = 433
433 + 𝑃 = 5 485 ∧ P = 5 052
𝑀 +𝑚 = 433
𝑀 +𝑚 2 − 𝑀 −𝑚 2 = 4𝑃 = 20 208
4332 − 𝑀 −𝑚 2 = 20 208
𝑀 −𝑚 = 167 281 = 409
𝑀 = 421 ∧ 𝑚 = 12
Suma de cifras = 7
14
EL producto (A).(525) termina en 675 y el producto (A).(874) termina en 
238, calcular la cifra de las centenas del número A.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Las 3 últimas cifras de A: …𝑎𝑏𝑐
a b c
5 2 5
5
a b c
478
8
c(5)=..5, c(4)=..8
b = 8
832576
Unidad 2° producto parcial:
2(c) = 2(7) = 14 y 7(c) = 7(7) = 49
4 9
3 4
decena 1er producto parcial:
5(b)+3=..3, 4(b)+2=..4
decena 2° producto parcial:
2(8) +1 =17 y 7(c) = 7(8)+4 = 60
07
65
4 5
centena 1er producto parcial:
5(a)+4=..4, 4(a)+3=..5 a = 8
c = 7
Aplicación 5 
Resolución
15
LA DIVISIÓN EXACTA EN ℕ
Sean 𝑫 y 𝒅 dos números naturales, se dirá que la división de 𝑫 entre 𝒅
es exacta si existe un número natural 𝒒 tal que 𝑫 = 𝒅𝒒.
Dividendo: 𝑫 ; divisor: 𝒅 ; cociente exacto: 𝒒𝑫 𝒅
− 𝒒
LA DIVISIÓN INEXACTA EN ℕ
Sean 𝑫 y 𝒅 dos números naturales, se dirá que la división de 𝑫 entre 𝒅
es inexacta cuando no existe un número natural 𝒒 tal que 𝑫 = 𝒅𝒒.
𝑫 ≠ 𝒅𝒒
16
ESQUEMA DE LA DIVISIÓN INEXACTA POR 
DEFECTO Y POR EXCESO EN ℕ
Dividendo: D
divisor: d
Cociente por 
defecto: q
Resto por 
exceso: Re
Dd.q d.qe
𝑹 𝑹𝒆
Dividendo: D
Resto por 
defecto: R
Cociente por 
exceso: qe
divisor: d
17
Límites del residuo
En la división de números naturales, el valor del residuo de la división
inexacta tiene como valor mínimo la unidad y valor máximo una
unidad menos que el divisor.
D d
qR
18
Al dividir un número mayor a 1 400 pero menor a 1 500 entre otro
número, el cociente es 98 y el residuo es máximo, calcular la suma de
cifras del dividendo.
A) 12 B) 17 C) 14 D) 15 E) 16
Sea dividendo: D, divisor: d,
cociente: 98
D d
98R
D=98d +R
𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝑑 − 1 D= 99d -1
1400 < 𝐷 < 1500
1200 < 99𝑑 − 1 < 1300
1201
99
< 𝑑 <
1301
99
14,15 < 𝑑 < 15,16
𝑑 = 15 ∧ 𝐷 = 99 15 − 1 = 1484
Suma de cifras = 17
Aplicación 6 
Resolución
19
El dividendo de una división de números naturales es un número de 3
cifras que tiene raíz cuadrada exacta, el cociente es el quíntuplo del
divisor y el residuo es la mitad del divisor, calcule la suma de cifras del
dividendo.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 18
dividendo: D, divisor: d, cociente: 5d
Residuo o resto: 
𝑑
2
D d
𝑑
2 5d
D=(d)(5d)+
𝑑
2
100 ≤ 5𝑑2 +
𝑑
2
< 1000
El valor de d, es par, d = 6, 8, 
10, 12, 14, cumple con d=8
El dividendo D = 5(8)2 +
8
2
= 324
Suma de cifras = 9
Aplicación 7 
Resolución
20
Propiedades de la División 
La división no cumple la propiedad de clausura en los naturales, es decir
el cociente de 2 naturales no siempre es natural.
La división no cumple la propiedad conmutativa ni la propiedad asociativa.
Propiedad distributiva.- Si el dividendo es una suma o resta, el divisor se
distribuye para cada sumando.
𝑨 + 𝑩 − 𝑪
𝒅
=
𝑨
𝒅
+
𝑩
𝒅
−
𝑪
𝒅
Ejemplo.- 510 680
17
=
510 000
17
+
680
17
=
30 000 + 40 = 30 040
Propiedad de la división de igualdades 
Si: 𝑨,𝑩, 𝑪, 𝑫 ∈ ℕ, 𝑨 = 𝑩 y 𝑪 = 𝑫⟹
𝑨
𝑪
=
𝑩
𝑫
21
Propiedades de la División 
Si se multiplica o divide al dividendo
y al divisor por una misma cantidad
natural, el cociente no cambia, pero
el resto queda multiplicada o
dividida por dicha cantidad.
D d
qR
Dk dk
qRk
D = dq + R Dk = (dk)q + Rk
22
Propiedades de la División 
Propiedades de las alteraciones de la división 
Sean dos divisiones exactas con un mismo dividendo, entonces al
dividir dicho dividendo entre el mínimo común múltiplo de los
divisores, la división es exacta.
D N
q
D M
k
D m
Q
El mínimo común múltiplo
de N y M es: m
23
Propiedades de la División 
Propiedades de las alteraciones de la división 
Sea el dividendo: 𝑫 , el divisor: 𝒅 , el
cociente 𝒒, el resto: 𝑹, se agrega 𝒙 al
dividendo y el cociente nuevo aumenta
en 𝒏 unidades, entonces:
𝒅𝒏 − 𝑹 ≤ 𝒙 ≤ 𝒅 𝒏 + 𝟏 − 𝑹 − 𝟏
𝑫 𝒅
𝒒𝑹
𝑫 + 𝒙 𝒅
𝒒 + 𝒏𝑹𝟏
𝑫 = 𝒅𝒒 + 𝑹 𝑫 + 𝒙 =𝒅(𝒏 + 𝒒) + 𝑹𝟏
𝒅. 𝒒 + 𝑹 + 𝒙 = 𝒅. (𝒏 + 𝒒) + 𝑹𝟏
𝒙 = 𝒅. 𝒏 − 𝑹 + 𝑹𝟏
𝒙𝒎𝒊𝒏 = 𝒅. 𝒏 − 𝑹
𝒙𝒎𝒂𝒙 = 𝒅. [𝒏 + 𝟏] − 𝑹 − 𝟏
24
Se sabe que en una división de enteros positivos, el divisor es 80 y el
residuo es 23. ¿Cuántas unidades como mínimo se le debe disminuir al
dividendo, para que el cociente disminuya en 15 unidades?
A) 614 B) 1300 C) 1144 D) 1244 E) 618
D 80
23 q
D=(80)(q)+23
D - x 80
q - 15R
D – x =(80)(q - 15)+R
80q + 23 – x = 80(q - 15)+R
x = 1223 - R
x es mínimo cuando R es
máximo
𝒙𝒎𝒊𝒏 = 1223 − 79 = 𝟏𝟏𝟒𝟒
Aplicación 8 
Resolución
25
Si un número de 4 cifras se divide entre su complemento aritmético da
4 de cociente por defecto y un residuo por defecto menor en 2000 que
el divisor, determine la suma de las cifras del complemento aritmético
del número.
A) 10 B) 7 C) 8 D) 2 E) 5
D 10 000 - D
d – 2 000 4
D=(10 000 - D)(4) + (d – 2 000)
6D = 48000
d = 10 000 - D 
𝐷 = 40 000 − 4𝐷 + 10 000 − 𝐷 − 2000
D = 8000, CA(D) = 2000
Suma de cifras: 2
Aplicación 9 
Resolución
26
LA DIVISIÓN ENTERA: D d
Dividendo divisor
cocienteResto
D d
q
R
Ddq dqe
R 𝑹𝒆
27
LA DIVISIÓN ENTERA: caso d > 0
Dividendo divisor
cocienteResto
-329-351 -324
R 𝑹𝒆
Ejemplo: -329 27
-13
27(-13) 27(-12)
22
28
LA DIVISIÓN ENTERA: caso d < 0
Dividendo divisor
cocienteResto
-448-511
-438
R 𝑹𝒆
Ejemplo: -448 -73
7
(-73)(7) (-73)(6)
63
29
Al dividir 𝑎𝑏𝑐𝑑 entre 29 se obtienen 3 residuos parciales máximos, al
dividir -𝑎𝑏𝑐 entre -25 calcular el cociente por defecto más el residuo
por exceso, 𝑎 es par.
A) 37 B) 38 C) 39 D) 54 E) 41
29
2 8
2 8
5 8 2
2 8
68
9
2 6 1
9
9
2 6 1
9
9
9
-869 -25
- 869 -850- 875
R 𝑹𝒆
-25(34)-25(35)
𝒒𝒅 + 𝑹 = 𝟑𝟓 + 𝟏𝟗 = 𝟓𝟒
Aplicación 10 
Resolución
30
Cantidad de cifras del producto y la división 
10𝑛−1 ≤ 𝐴 < 10𝑛
10𝑚−1 ≤ 𝐵 < 10𝑚
102𝑛−2 ≤ 𝐴2 < 102𝑛
103𝑚−3 ≤ 𝐵3 < 103𝑚
102𝑛+3𝑚−5 ≤ 𝐴2𝐵3 < 102𝑛+3𝑚
Como mínimo: 𝟐𝒏 + 𝟑𝒎− 𝟒
Como máximo: 𝟐𝒏 + 𝟑𝒎
𝐴2
𝐵3
102𝑛−2 ≤ 𝐴2 < 102𝑛
10−3𝑚 <
1
𝐵3
≤ 103−3𝑚
102𝑛−3𝑚−2 <
𝐴2
𝐵3
< 102𝑛−3𝑚+3
Como mínimo: 𝟐𝒏 − 𝟑𝒎− 𝟏
Como máximo: 𝟐𝒏 − 𝟑𝒎+ 𝟑
31
Cantidad de cifras de un entero positivo
Si el número A entero 
positivo cumple que: 10
𝑛 ≤ 𝐴 < 10𝑚
la cantidad de cifras de A: Como mínimo: (𝒏 + 𝟏) cifras 
Como máximo: 𝒎 cifras
Si el número B entero 
positivo cumple que:
10𝑛 < 𝐵 ≤ 10𝑚
la cantidad de cifras de B: Como mínimo: (𝒏 + 𝟏) cifras 
Como máximo: (𝒎 + 𝟏) cifras
32
Si A x B tiene 15 cifras y B x C tiene 10 cifras. ¿Cuántas cifras tiene F?
F = A x B2 x C
A) 9 o 10 B) 23 o 25 C) 18 o 20 D) 24 o 25 E) 18 o 19
1014 ≤ 𝐴𝐵 < 1015
109 ≤ 𝐵𝐶 < 1010
MULTIPLICANDO
1023 ≤ 𝐴𝐵2𝐶 < 1025
La cantidad de cifras de:
F = 𝐴𝐵2𝐶
Como mínimo: 24 cifras 
Como máximo: 25 cifras
Aplicación 11 
Resolución
33
PROBLEMAS DEL 
AULA VIRTUAL
34
En una multiplicación, una cifra 3 del multiplicador , por error se
tomo como 6 y el producto aumento en 7350. Calcule la suma de
todos los multiplicandos que cumplen esta condición y dar como
respuesta la suma de las cifras de esta cantidad.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
PROBLEMA 1 
Resolución
Sea el multiplicando: M
Sea el multiplicador: 𝑥𝑦…3
𝑃1 = 𝑀 𝑥10
𝑛 + 𝑦10𝑛−1+. . +3
𝑃2 = 𝑀 𝑥10
𝑛 + 𝑦10𝑛−1+. . +6
𝑃2 − 𝑃1 = 3𝑀, 7350 = 3𝑀
𝑀 = 2450
Si la cifra 3 es de las decenas:
𝑃2 − 𝑃1 = 30𝑀= 7350
𝑀 = 245
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 = 𝟐𝟔𝟗𝟓
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 = 𝟐𝟐
CLAVE C
35
En la multiplicación de un número por 183 se observa que la 
multiplicación de los productos parciales es 44660808, entonces el 
producto de las cifras del multiplicando.
A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24
PROBLEMA 2 
Resolución
Sea el multiplicando: M
el multiplicador: 183 
Productos parciales: M, 8M, 3M
𝑀 8𝑀 3𝑀 = 44660808
24𝑀3 = 44660808
𝑀3 =
44660808
24
= 1860867
𝑀 =
3
1860867 = 123
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 = 𝟔
CLAVE A
36
Si 𝑁 = 444. . 443 9 (2008 cifras).Calcule NxN y dar como respuesta la suma 
de las cifras de expresar 4xNxN en base 3.
A) 8 019 B) 8 030 C) 8 031 D) 8 033 E) 8 037
PROBLEMA 3 
Resolución
2𝑁 = 888…888 9 − 2
2𝑁 = 92008 − 3
2𝑁 2𝑁 = 92008 − 3 2
4 × 𝑁 × 𝑁 = 94016 − 2 × 3 × 92008 + 32
= 38032 − 2 × 34017 + 32
1000…0000000100 3 −
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎…𝟎𝟎𝟎 𝟑
෍𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 = 2 8032 − 4018 + 2 = 𝟖𝟎𝟑𝟎
CLAVE B
8033 cifras
4018 cifras
222…100…000100 3
8032 cifras
37
Si el número 1𝑎𝑏 se multiplica por el complemento aritmético de 𝑎𝑏 se
obtiene un producto que termina en 751 , entonces el valor de ( 𝑎 + 𝑏 )
es
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
PROBLEMA 4
Resolución
1𝑎𝑏 × 𝐶𝐴 𝑎𝑏 = ⋯751
100 + 𝑎𝑏 × 100 − 𝑎𝑏 = ⋯751
100000 − 𝑎𝑏 × 𝑎𝑏 = ⋯751
𝑎𝑏 × 𝑎𝑏 = ⋯249
𝑎 𝑏 ×
𝑎 𝑏
2 4 9
𝑏 × 𝑏 =. . 9
𝑏 = 7
9 7 × 𝑎 + 4 + 7 × 𝑎 = .4
𝑎 = 5
57 × 57 = 3249
3 9
8 5
𝑎 + 𝑏 = 12
CLAVE C
38
PROBLEMA 05
Resolución
El producto de 2 enteros positivos, no varía si uno de los factores aumenta 1 unidad
y el otro disminuye 1 unidad ¿Qué sucederá con dicho producto si al menor de los
factores le aumentamos 2 unidades y al mayor le quitamos 2 unidades?
A) Disminuye 2 B) Aumenta 2 C) Disminuye 6
D) Aumenta 6 E) Disminuye 4
𝐴 𝑥 𝐵 = 𝑃
Clave A 
(𝐴 + 1) 𝑥 (𝐵 − 1) = 𝑃
𝐴 𝑥𝐵 + 𝐵 − 𝐴 − 1 = 𝑃
(𝐴 + 2) 𝑥 (𝐵 − 2) =
𝐵 − 𝐴 = 1
𝐴 𝑥𝐵 + 2(𝐵 − 𝐴 − 2)
= 𝑃 + 2(−1)
1
(𝐴 + 2) 𝑥 (𝐵 − 2) = = 𝑃 − 2
39
Sabiendo que: …𝑎𝑏𝑐7x 2227=…4267 Calcular: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
PROBLEMA 6 
Resolución
…𝑎𝑏𝑐 7 × 666 7 = 3 × …426 7
…𝑎𝑏𝑐 7 × 666 7 = …614 7
…𝑎𝑏𝑐 7 × 1000 7 − 1 = …614 7
…𝑎𝑏𝑐000 7 − 𝑎𝑏𝑐 7 = …614 7
…𝑎 𝑏 𝑐 0 0 0 7 −
𝑎 𝑏 𝑐 7
…6 1 4 7
7 − 𝑐 = 4
6 − 𝑏 = 1
6 − 𝑎 = 6
19 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 11
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟖
CLAVE D
40
PROBLEMA 07
Resolución
Al multiplicar 𝑎𝑏.𝑎𝑏 Se obtiene 𝑐𝑏𝑎𝑑 formado por 4 cifras consecutivas no
necesariamente ordenadas de modo que c y d están comprendidas entre a
y b. Calcule a + b.
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
𝑎 𝑦 𝑏
𝑐 𝑦 𝑑
𝑏 𝑥 𝑏 =. 𝑑
𝑏 = 4 𝑑 = 6𝑐 = 5 𝑎 = 7
𝑎𝑏 . 𝑎𝑏 = 𝑐𝑏𝑎𝑑 ∶Verificando 74 𝑥 74 = 5 476
𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟏
Clave D 
41
PROBLEMA 08
Resolución
Si se cumplen: 𝑒𝑎 2𝑏 𝑎 = 𝑑𝑎 . 𝑏𝑎𝑒 ; d + a = c ; b + a + e = 𝑏𝑏.
Calcule: a + b + c + d
A) 9 B) 11 C) 12 D) 15 E) 17
b + a + e = 𝑏𝑏 a + e = 𝑏0 𝑏 = 1 ∧ 𝑎 + 𝑒 = 10
𝑎 + 𝑒 = 10 𝑑 𝑎 . 𝑏 𝑎 𝑒 = 𝑒 𝑎 (2𝑏) 𝑑 𝑑 + 𝑎 = 𝑐
7 3 1 8
𝑑𝑎 . 𝑏𝑎𝑒 = 𝑒𝑎(2𝑏)𝑑
17 . 173 = 2941
4 6 4 8 44 . 146 = 6424
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 4 + 1 + 8 + 4 = 𝟏𝟕
Clave E 
42
Problema 9
Resolución
El producto de un número de tres cifras por su complemento aritmético da
como resultado 6 951. La suma de las cifras del número es:
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 21
CLAVE: E
𝑎𝑏𝑐 × 𝐶𝐴 𝑎𝑏𝑐 = 6951= 993 × 7
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑎𝑏𝑐 = 993
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 = 𝟗 + 𝟗 + 𝟑 = 𝟐𝟏
43
CLAVE: A
Problema 10 
Resolución 
En N.99 =…2 617 se indican las últimas cuatro cifras del producto,
entonces las últimas cuatro cifras del producto N.11 suman:
A) 11 B) 13 C) 15 D) 21 E) 22
𝒔𝒖𝒎𝒂 = 𝟏𝟏
Sea 𝑁 = …𝑎𝑏𝑐𝑑
𝑁. 99 = …𝑎𝑏𝑐𝑑 . 100 − 1 = ⋯2617
…𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 0 −
…𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
…𝟐 𝟔 𝟏 𝟕
𝒅 = 𝟑
𝒄 = 𝟖
𝟗 𝟏𝟎𝟐𝟏𝟕
𝒃 = 𝟔
𝒂 = 𝟓
𝑵 = ⋯𝟓𝟔𝟖𝟑
Por lo tanto
𝑵. 𝟏𝟏 = …𝟓𝟔𝟖𝟑 𝟏𝟏 = ⋯𝟐𝟓𝟏𝟑
44
Determine la suma de las cifras del producto de 𝑎𝑏𝑐 por 31 sabiendo
que la suma de sus 2 productos parciales es 10 𝑐 − 𝑏 𝑎.
A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34
PROBLEMA 11
Resolución
Los productos parciales: 3M, M
4× 𝑎𝑏𝑐 = 10 𝑐 − 𝑏 𝑎
4× 2𝑏𝑐 = 10 𝑐 − 𝑏 2
4× 𝑐 =. . 2
𝑐 = 8
4× 2𝑏8 = 10 8 − 𝑏 2
4× 𝑏 + 3 = 20 + 8 − 𝑏
5 × 𝑏 = 25, 𝑏 = 5
𝑎𝑏𝑐 × 31 = 258 × 31 = 7998
Suma de cifras = 33
CLAVE D
45
El número de cifras de A es el quíntuplo del número de cifras de C, y el
número de cifras de Bes el doble de las de C. Si D tiene 7 cifras, ¿Cuántas
cifras enteras puede tener la expresión :
𝐴3 .𝐵6.𝐷2
𝐶27
?
A) De 4 a 41 B) De 3 a 40 C) De 3 a 41 D) De 4 a 40 E) De 5 a 40
PROBLEMA 12
Resolución
C tiene n cifras
A tiene 5n cifras
B tiene 2n cifras
D tiene 7 cifras
10𝑛−1 ≤ 𝐶 < 10𝑛
105𝑛−1 ≤ 𝐴 < 105𝑛
102𝑛−1 ≤ 𝐵 < 102𝑛
106 ≤ 𝐷 < 107
1015𝑛−3 ≤ 𝐴3 < 1015𝑛
1012𝑛−6 ≤ 𝐵6 < 1012𝑛
1012 ≤ 𝐷2 < 1014
10−27𝑛 < 𝐶−27 ≤ 1027−27𝑛
103 <
𝐴3𝐵6𝐷2
𝐶27
≤ 1041
De 4 a 41cifras CLAVE A
46
Si 2𝑎3𝑛 𝑥 4𝑏4𝑛 = …5𝑛 y 𝑎𝑏𝑐𝑛−1 𝑥 555𝑛−1 = …312𝑛−1, entonces (a + b + c)
es:
A) 5 B) 7 C) 11 D) 8 E) 10
PROBLEMA 13
Resolución
…𝟑 𝐱 𝟒 = 𝟏𝐱𝟕 + 𝟓 𝐧 = 𝟕
𝐌 = 𝐚𝐛𝒄𝟔 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟔 = ⋯𝟑𝟏𝟐𝟔 = 𝒂𝒃𝒄𝟔 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟔 − 𝟏 = ⋯𝟑𝟏𝟐𝟔
…𝐚𝐛𝐜𝟎𝟎𝟎 −
…𝐚𝐛𝐜
…𝟑𝟏𝟐
6−𝐜 = 𝟐 𝐜 = 𝟒
5 −𝐛 = 𝟏 𝐛 = 𝟒
5 −𝐚 = 𝟑 a = 𝟐
a + b + c = 𝟏𝟎
47
Si: 𝑎𝑏𝑐𝑑 x 9992 =…6578 , entonces (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) es:
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
PROBLEMA 14
Resolución
𝐌 = 𝐚𝐛𝐜𝐝 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟏 = ⋯𝟔𝟓𝟕𝟖 (𝟏)
…𝐦𝐧𝐩𝐪
…𝐦𝐧𝐩𝐪𝟎𝟎𝟎 −
…𝐦𝐧𝐩𝐪
…𝟔𝟓𝟕𝟖
𝟏𝟎 − 𝐪 = 𝟖 𝐪 = 𝟐
9 − 𝐩 = 𝟕 𝐩 = 𝟐
9 −𝐧 = 𝟓 𝐧 = 𝟒
𝟏𝟎 + 𝐪 − 𝟏 −𝐦 = 𝟔 𝐦 = 𝟓
𝐄𝐧 𝟏
𝐌 = 𝐚𝐛𝐜𝐝 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟏 = ⋯𝟓𝟒𝟐𝟐
…𝐚𝐛𝐜𝐝𝟎𝟎𝟎 −
…𝐚𝐛𝐜𝐝
…𝟓𝟒𝟐𝟐
𝐝 = 𝟖
𝐜 = 𝟕
𝐛 = 𝟓
a = 𝟐
a+𝐛 + 𝐜 + 𝐝 = 𝟐𝟐
48
Si 𝑎𝑏𝑐𝑐 x 𝑏𝑎 = 7..71 donde cada punto representa una cifra. ¿Cuál es el 
valor de a + b + c si sabemos que las tres cifras son diferentes?
A) 10 B) 12 C) 13 D) 16 E) 18
PROBLEMA 15
Resolución
𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 ×
𝑏 𝑎
7 7 1
𝑎 = 3 ∧ 𝑐 = 7
13
𝑏 × 𝑐 =. . 4
4
𝑏 = 2
89
56 5
3277 X 3 = 9831 
3277 X 2 = 6554 
𝟑𝟓
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 + 2 + 7 = 𝟏𝟐
CLAVE B
49
La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 41
veces el residuo y la diferencia de los mismos es 31 veces el residuo.
Calcule el cociente.
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
PROBLEMA 16
Resolución
𝐷 + 𝑑 = 41𝑅
𝐷 − 𝑑 = 31𝑅
𝐷 = 36𝑅
𝑑 = 5𝑅
𝐷 = 𝑑 𝑞 + 𝑅
36𝑅 = 5𝑅 𝑞 + 𝑅
36 = 5 𝑞 + 1
35 = 5 𝑞
𝒒 = 𝟕
CLAVE B
50
La suma de los cuatro términos de una división inexacta por defecto
es 835, pero si la división se hubiera realizado por exceso, la suma de
sus términos seria 869.Si los cocientes suman 27, entonces la suma
de las cifras del dividendo es:
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
PROBLEMA 17
Resolución
𝐷 + 𝑑 + 𝑞 + 𝑅 = 835
𝐷 + 𝑑 + 𝑞𝑒 + 𝑅𝑒 = 869
𝑞𝑒 + 𝑞 = 27
𝑞𝑒 − 𝑞 = 1
𝑞𝑒 = 14
𝑞 = 13
𝐷 + 𝑑 + 13 + 𝑅 = 835
𝐷 + 𝑑 + 14 + 𝑅𝑒 = 869
2𝐷 + 3𝑑 = 1677
𝑅𝑒 − 𝑅 = 33
𝑅𝑒 + 𝑅 = 𝑑
𝑅 =
𝑑 − 33
2
1677 − 3𝑑
2
= 13𝑑 +
𝑑 − 33
2
, 𝑑 = 57,
𝐷 = 57 × 13 + 12 = 753
CLAVE C
𝑅 = 12
51
PROBLEMA 18
La suma de dos números es 166, los cocientes obtenidos al dividir estos
dos números entre un tercero son 5 y 7, obteniéndose en ambos casos
residuos máximos. Determine la diferencia de dichos números.
A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
A C
5C - 1
𝐴 = 5𝐶 + 𝐶 − 1 = 6𝐶 − 1
B C
7C - 1
𝐵 = 7𝐶 + 𝐶 − 1 = 8𝐶 − 1
𝐴 + 𝐵 = 14𝐶 − 2 = 166
𝐶 = 12
𝐴 = 6𝐶 − 1 = 71
𝐵 = 8𝐶 − 1 = 95
𝑩 − 𝑨 = 𝟐𝟒
CLAVE C
Resolución
52
PROBLEMA 19
Calcule la suma de todos los números de tres cifras que cumplan la
condición que al ser dividido entre un cierto número de siempre 19 de
cociente y un resto máximo.
A) 24 345 B) 25 155 C) 25 725 D) 26 215 E) 27 365
N d
19d - 1
𝑁 = 19𝑑 + 𝑑 − 1
100 ≤ 20𝑑 − 1 ≤ 999
101 ≤ 20𝑑 ≤ 1000
𝑆 = ෍
𝑑=6
𝑑=50
20𝑑 − 1
𝑠𝑒𝑎: 𝑖 = 𝑑 − 5
𝑑 = 𝑖 + 5
CLAVE B
6 ≤ 𝑑 ≤ 50
𝑆 = ෍
𝑖=1
𝑖=45
20𝑖 + 99
𝑆 = 20
45 × 46
2
+ 45 × 99
𝑺 = 𝟐𝟓 𝟏𝟓𝟓
Resolución
53
PROBLEMA 20
En una división entera inexacta la suma de sus cuatro términos es 105
Si al dividendo y al divisor se les multiplica por 4, la suma de los cuatro
términos de la nueva división es 399. Calcule el cociente inicial.
A) 7 B) 9 C) 11 D) 12 E) 15
D d
qR
𝐷 = 𝑑𝑞 + 𝑅
4D 4d
q4R
4𝐷 + 4𝑑 + 𝑞 + 4𝑅 = 399
4𝐷 + 4𝑑 + 4𝑞 + 4𝑅 = 420
3𝑞 = 21
𝒒 = 𝟕
CLAVE A
𝐷 + 𝑑 + 𝑞 + 𝑅 = 105
Resolución
54
Al dividir 𝑎𝑏59 entre 92, el residuo que se obtiene es el CA del cociente.
¿Por cuánto, como mínimo, debemos multiplicar al dividendo para que
al realizar la división se obtenga un residuo máximo?
A) 7 B) 11 C) 9 D) 5 E) 13
PROBLEMA 21
Resolución
𝑎𝑏59 92
𝑐𝑑100 − 𝑐𝑑
𝑎𝑏59 = 92 × 𝑐𝑑 + 100 − 𝑐𝑑
𝑑 = 9
𝑎𝑏59 = 91 × 𝑐𝑑 + 100
𝑎𝑏 × 100 + 59 = 910𝑐 + 919
𝑎𝑏 × 10 = 91𝑐 + 86, 𝑐 = 4
𝑎𝑏 × 10 = 450, 𝑎𝑏 = 45
4559× 𝑁 = 92𝑄 − 1,
92𝑞 + 51 × 𝑁 = 92𝑄 − 1,
51𝑁 = 92𝑘 − 1, 𝑵 = 𝟗
CLAVE C
55
En una división inexacta, al residuo le faltan 10 unidades para ser
máximo; pero, si se triplica al dividendo y se realiza nuevamente la
división, se obtiene de residuo 14. Calcule el dividendo original.
A) 1275 B) 400 C) 1258 D) 1500 E) 1246
PROBLEMA 22
Resolución
D d
q
𝑑 − 11
𝐷 = 𝑑𝑞 + 𝑑 − 11
3D d
Q
14
3𝐷 = 𝑑𝑄 + 14
3𝐷 = 3𝑑𝑞 + 3𝑑 − 33
𝑑𝑄 + 14 = 3𝑑𝑞 + 3𝑑 − 33
𝑑𝑄 = 3𝑑𝑞 + 3𝑑 − 47
𝑑𝑄 = 3𝑑𝑞 + 3𝑑 − 47
𝑑 = 47
𝑄 = 3𝑞 + 2
𝐷 = 47𝑞 + 36
𝐷 = 1258
CLAVE C
56
En una división inexacta, el residuo por defecto y por exceso son entre
sí como 23 es a 14, respectivamente. Calcule dividendo si es un
número de 4 cifras significativas y el menor posible. De cómo
respuesta la suma de cifras.
A) 11 B) 8 C) 14 D) 16 E) 17
PROBLEMA 23
Resolución
𝑑𝑎𝑡𝑜:
𝑟𝑑
𝑟𝑒
=
23
14
𝐷=dq+𝑟𝑑=dq+23k
𝐷=d(q+1)+𝑟𝑒=d(q+1)-14k
𝑟𝑒 + 𝑟𝑑 = 𝑑 = 37k
𝑟𝑑 = 23𝐾
𝑟𝑒 = 14𝐾
Dmin=𝑎𝑏𝑐𝑑
D=37k*q+23k
D= k(37q+23)
1000  D < 10000
1000  37q+23 <10000
26,9  q< 269,64
q=30
D=1133
Suma es 8Para Dmínimo, k=1
Luego:
Clave B
57
Si un número A posee n+1 cifras, B posee n-1 cifras y C posee n cifras, calcule
la suma de la máxima y mínima cantidad de cifras que puede tener
𝐴3𝑥𝐵2
𝐶2
A) n+28 B) 2n+32 C) n+29 D) n+20 E) 6n
PROBLEMA 24
Resolución
10 𝑛+1 −1 ≤ 𝐴 < 10𝑛+1
10𝑛−1 ≤ 𝐶 < 10𝑛
10 𝑛−1 −1 ≤ 𝐵 < 10𝑛−1
103[ 𝑛+1 −1] ≤ 𝐴3 < 103[𝑛+1]
102[ 𝑛−1 −1] ≤ 𝐵2 < 102[𝑛−1]
102[𝑛−1] ≤ 𝐶2 < 102𝑛
1
102𝑛
<
1
𝑐2
≤
1
102[𝑛−1]
105𝑛−4 ≤ 𝐴3𝐵2 < 105𝑛+1
103𝑛−4 <
𝐴3𝐵2
𝐶2
< 103𝑛+3
Mínimo: 3n-4+1=3n-3
Máximo: 3n+3 Suma : 6n
Clave E
58
Problema 25
Si se sabe que AxB puede tener como mínimo 21 cifras y A/B puede tener 
como máximo 13 cifras. Calcule cuantas cifras puede tener como mínimo 
𝐴3
𝐵2
A) 39 B) 38 C) 40 D) 42 E) 43
Resolución: 
𝐀 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐦 𝐜𝐢𝐟𝐫𝐚𝐬 𝟏𝟎𝒎−𝟏 ≤ 𝑨 < 𝟏𝟎𝒎
𝐁 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐧 𝐜𝐢𝐟𝐫𝐚𝐬 𝟏𝟎𝒏−𝟏 ≤ 𝑩 < 𝟏𝟎𝒏
𝟏𝟎𝒎+𝒏−𝟐 ≤ 𝑨.𝑩 < 𝟏𝟎𝒎+𝒏
𝟏
𝟏𝟎𝒏
<
𝟏
𝑩
≤
𝟏
𝟏𝟎𝒏−𝟏
𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐨 𝟐𝟏 𝐜𝐢𝐟𝐫𝐚𝐬
𝐦+ 𝐧 − 𝟐 +𝟏 = 𝟐𝟏 𝒎+ 𝒏 = 𝟐𝟐
𝟏𝟎𝒎−𝒏−𝟏 <
𝑨
𝑩
≤ 𝟏𝟎𝒎−𝒏+𝟏 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐨 𝟏𝟑 𝐜𝐢𝐟𝐫𝐚𝐬
𝐦 − 𝐧 + 𝟏= 𝟏𝟑 𝒎− 𝒏 = 𝟏𝟐
𝒎+𝒏 = 𝟐𝟐
𝒎−𝒏 = 𝟏𝟐 𝒏 = 𝟓
𝒎 = 𝟏𝟕 𝟏𝟎𝟏𝟔 ≤ 𝑨 < 𝟏𝟎𝟏𝟕 𝟏𝟎𝟒𝟖 ≤ 𝑨𝟑 < 𝟏𝟎𝟓𝟏
𝟏
𝟏𝟎𝟓
<
𝟏
𝑩
≤
𝟏
𝟏𝟎𝟒
𝟏
𝟏𝟎𝟏𝟎
<
𝟏
𝑩𝟐
≤
𝟏
𝟏𝟎𝟖
𝟏𝟎𝟑𝟖 ≤
𝑨𝟑
𝑩𝟐
< 𝟏𝟎𝟒𝟑
𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐜𝐨𝐦𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐨 𝟑𝟗 𝐜𝐢𝐟𝐫𝐚𝐬
59
Problema 26
Se dividió cierto número entre d y el residuo fue 7. Si al dividendo se le 
aumenta 65, la división es exacta y el cociente aumenta en dos unidades al 
menos. Calcule la suma de los valores de d.
A) 190 B) 184 C) 107 D) 163 E) 179
Resolución: 
𝐃 𝐝
𝐪𝟕
𝐃 = 𝐝. 𝐪 + 𝟕
𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟔𝟓 𝒂𝒍 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒚 𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
𝐃 + 𝟔𝟓 𝐝
𝐪 + 𝐱
𝐃 + 𝟔𝟓 = 𝐝. (𝐪 + 𝐱)
(𝒙 ≥ 𝟐)
𝐝. 𝐪 + 𝟕
𝐝. 𝐪 + 𝟕 + 𝟔𝟓 = 𝐝. 𝐪 + 𝐝. 𝐱
𝐝 . 𝐱 = 𝟕𝟐 (𝐝 > 𝟕)
𝟖 . 𝟗
𝟗 . 𝟖
𝟏𝟐 . 𝟔
𝟏𝟖.4
𝟐𝟒. 𝟑
(𝒙 ≥ 𝟐)
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅
𝟖 + 𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 =𝟏𝟎𝟕
𝟑𝟔. 𝟐
60
Problema 27
Al dividir un número de 3cifras significativas, diferentes entre su complemento 
aritmético, se obtuvo como cociente 3 y como residuo, la última cifra de dicho 
complemento aritmético. Calcule la suma de cifras del número inicial. 
A) 13 B) 14 C) 15 D) 17 E) 16
Resolución: 
𝒂𝒃𝒄 𝐂𝐀(𝒂𝒃𝒄)
𝟑(𝟏𝟎 − 𝐜)
𝒂𝒃𝒄 = 𝑪𝑨(𝒂𝒃𝒄). 𝟑 + (𝟏𝟎 − 𝐜)
(𝟗 − 𝒂)(𝟗 − 𝒃)(𝟏𝟎 − 𝒄)
𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝒂𝒃𝒄
𝟒. 𝒂𝒃𝒄 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 + (𝟏𝟎 − 𝐜)
𝟒. 𝒂𝒃𝒄 = 𝟑𝟎𝟎(𝟏𝟎 − 𝒄)
𝟐 8𝟕𝟓
𝒂𝒃𝒄 = 𝟕𝟓𝟐
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
𝟕 + 𝟓 + 𝟐 =𝟏𝟒
61
Problema 28
Resolución: 
Clave D 
Al dividir - 213754 entre - 403 por defecto y por exceso se obtiene: cocientes
por defecto (𝑞𝑑) , cociente por exceso (𝑞𝑒 ), resto por defecto (𝑅𝑑) y resto
por exceso (𝑅𝑒). Calcule: 𝑅𝑑 + 𝑅𝑒 + 𝑞𝑒 - 𝑞𝑑
A) – 404 B) – 403 C) – 402 D) 402 E) 403
- 21375 4 - 403 = d
531 = 𝑞𝑑
Luego:
𝑅𝑑 + 𝑅𝑒 + 𝑞𝑒 - 𝑞𝑑 = (𝑅𝑑 + 𝑅𝑒) + (𝑞𝑒 - 𝑞𝑑)
= 𝑑 + (−1)
= 402
= −403 + (−1)
-213754(-403)(531) (-403)(530)
62
Problema 29
Resolución: 
Clave B 
.- La suma de los cuatro términos de una división es 203 .Si el residuo, el
cociente y el divisor son números consecutivos, entonces la suma de las
cifras del dividendo es:
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
D d
R q
Dato: D + d + q + R = 213
Sea R = x-1 ; q = x ; d = x+1
Reemplazando : 
𝑥2 + 5𝑥 − 204 = 0
(d.q + R) + d + q + R = 213
D = d.q + R
(x+1)x + 2(x-1) + (x+1) + x = 213
x = 12
Luego D = d.q + R = 13 (12) + 11= 167 ෍𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝐷 = 14
63
Problema 30
Resolución: 
Clave D 
Al dividir un número de 3 cifras entre su complemento aritmético se obtiene
como cociente 2. Calcular la suma del mayor y menor número de 3 cifras
que cumple esta condición.
A) 1 413 B) 1 414 C) 1 415 D) 1416 E) 1 417
D 1 000-D = d
R 2
D=(1 000 - D)(2) + R
Sea D un número de 3 cifras
Para R máximo:
D=(1 000 - D)(2) + R
Para R mínimo:
D=2 000 – 2D + (1 000-D) - 4
D=(1 000 - D)(2) + R 
(d-4)
4D= 3000-4 = 2996 D = 749
1
D = 667
S=1416