S5_-_MATE_-_1ER_ANO_-_I_B_(TEORIA_DE_LA_NUMERACION)

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1°AÑO
Prof. Renato Rodríguez Velardes 
MATEMÁTICA
TEMA: TEORÍA DE NUMERACIÓN
Tema N° 05
TEORÍA
DE LA
NUMERACIÓN
NUMERACIÓN
Es la parte de la aritmética que estudia la correcta 
formación, representación, escritura y lectura de 
los números.
CONCEPTOS PREVIOS
Número. Es un ente o abstracción matemática que nos 
da una idea de cantidad.
Numeral. Es la representación de un número 
mediante símbolos.
Cifra. Son símbolos que convencionalmente se utilizan 
en la formación de los numerales
Es el conjunto de principios, reglas y convenios 
que rigen la formación y representación de 
números con una cantidad limitada de 
símbolos (cifras o dígitos).
SISTEMA POSICIONAL DE 
NUMERACIÓN
Lugar :
PRINCIPIOS DE UN SISTEMA NUMERAL
1. Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado 
un orden y un lugar.
Orden:
Se cuenta de derecha a izquierda a partir de uno.
Se cuenta de izquierda a derecha a partir de uno.
Ejemplo:
2. Todo numeral quedará expresado en una 
determinada base (𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨 ≥ 𝟐)
La cual nos indica de cuánto en cuánto 
agrupamos las unidades de un cierto orden 
para obtener unidades del orden inmediato 
superior.
Ejemplo: Expresar 25 unidades en las bases 4 y 7.
En base 4
En base 7
Lugar 1° 2° 3° 4° 5°
Núme
ro 
3 4 7 6 2
Orden 5to 4to 3er 2do 1er
Cantidad de cifras
de un numeral
+ 𝟏 =
Orden de una
cifra
+
Lugar de dicha
cifra
3. Toda cifra que conforma un numeral, es menor que 
la base.
Consideraciones:
Sistemas de numeración más utilizados
c) El número de cifras que se puede utilizar 
para la formación de numerales en cierta 
base es igual a la base.
a) En una igualdad de numerales, a mayor 
numeral aparente le corresponde menor 
base; y, análogamente, a menor numeral 
aparente le corresponde mayor base.
b) Las cifras permitidas en la base n son:
0; 1; 2; ...; (n - 1).
Ejemplo:
4236 7
−
+
= 1141 11
+
−
• Valor absoluto (VA). Es el valor que 
representa la cifra por la forma que tiene.
4. Toda cifra que forma parte de un numeral 
tiene dos valores:
• Valor relativo (VR). Es el valor que 
representa la cifra por la posición u orden 
que ocupa dentro del número.
Ejemplo: Sea el numeral 4236(7); entonces:
VA(6) = 6 VR(6) = 6 x70
VA(3) = 3 VR(3) = 3 x71
VA(2) = 2 VR(2) = 2 x72
VA(4) = 4 VR(4) = 4 x73
Cada cifra de un numeral puede ser representada por una 
letra minúscula; todas ellas cubiertas por una barra 
horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas.
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO
Ejemplos:
• 𝑎𝑏4(6): representa cualquier número 
de tres cifras en base 6 que
termina en 4.
• 𝑎𝑏(𝑛): representa cualquier número de dos cifras en base n.
• 𝑎𝑏𝑐: representa cualquier número de tres cifras en base 10.
2552(7); 35153(8); aba(9); 𝑎𝑥𝑦𝑥𝑎
Numeral capicúa.
Es aquel número cuyas cifras equidistantes son iguales
Ejemplos: 
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Todo numeral se puede descomponer como un polinomio, es decir, como la suma de los valores 
relativos de las cifras que conforman dicho numeral.
Base 10: 5479 = 5 x103 + 4 x 102 + 7 x 101 + 9
Base 4: 2031 4 = 2 x 4
3 + 0 x 42 + 3 x 41 + 1
Base n: 324ab n = 3 x n
4 + 2 x n3 + 4 x n2 + a x n1 + b
Ejemplos: 
1. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de cuarto orden ocupa el quinto lugar?
SOLUCIÓN
Orden + lugar = # cifras + 1
PRÁCTICA DE CLASE 5
4 + 5 = # 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 + 1
𝟖 = # 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔
Clave e) 8
2.- Si 𝑎05(6) = 30(𝑎 − 2)(7), hallar “a”
SOLUCIÓN
Descomposición polinómica
𝑎. 62 + 0.6 + 5 = 3. 72 + 0.7 + 𝑎 − 2
𝒂 = 𝟒
𝑎05(6) = 30(𝑎 − 2)(7)
36𝑎 + 5 = 147 + 𝑎 − 2
35𝑎 = 140
Clave a) 4
3.- Hallar ”n”, si 23 𝑛 + 14(𝑛) = 42(𝑛)
SOLUCIÓN
2𝑛 + 3 + 𝑛 + 4 = 4𝑛 + 2
23 𝑛 + 14(𝑛) = 42(𝑛)
Descomposición polinómica
3𝑛 + 7 = 4𝑛 + 2
𝟓 = 𝒏
Clave a) 5
4.- Un numeral decimal esta formado por tres cifras en el cual la cifra de mayor orden es el doble de la cifra de
menor orden y la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas. ¿Cuántos números cumplen dicha
condición?
SOLUCIÓN
Sea el numeral decimal(base 10)= 𝑎𝑏𝑐
La cifra “c” es la de menor orden, entonces:
Por dato del problema:
La cifra de mayor orden es el doble de la cifra de menor: 𝑎 = 2𝑐
La cifra central es igual a la suma de las cifras extremas: 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 ⇒ 𝑏 = 3𝑐
Luego: 𝑎𝑏𝑐 = (2𝑐)(3𝑐)𝑐
Dando valores a “c”
c=0
c=1
c=2
c=3
⇒ 𝑎𝑏𝑐 = 000 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎)
⇒ 𝑎𝑏𝑐 = 231 (𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎)
⇒ 𝑎𝑏𝑐 = 462 (𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎)
⇒ 𝑎𝑏𝑐 = 693 (𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎)
Cumplen dicha
condición 
solo 3 números
Clave e) 3
5.- ¿Cuánto suman los posibles valores de “a” en
(𝑎 − 1)(2𝑎)(𝑎
2
)(12)
SOLUCIÓN
0 < 𝑎 − 1 < 12
Analizando las cifras se tiene:
1 < 𝑎 < 13
0 ≤ 2𝑎 < 12
0 ≤ 𝑎 < 6
𝑎
2
⇒ " 𝑎 " 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟
Se tendrá:
𝑎 = 2; 3; 4; 5 ⇒ 𝑎 = 2; 4
Luego: 2 + 4 = 𝟔
Clave d) 6
6.- Hallar 𝑥3, 𝑠𝑖 𝑥𝑥𝑥𝑥(8) = 2𝑥(225(7))
SOLUCIÓN
𝑥. 83 + 𝑥. 82 + 𝑥. 8 + 𝑥 = (2.10 + 𝑥)(2. 72 + 2.7 + 5)
512𝑥 + 64𝑥 + 8𝑥 + 𝑥 = (20 + 𝑥)(98 + 14 + 5)
Descomposición polinómica
𝑥𝑥𝑥𝑥(8) = 2𝑥(225(7))
585𝑥 = (20 + 𝑥)(117)
585𝑥
117
= 20 + 𝑥
5𝑥 = 20 + 𝑥
4𝑥 = 20 ⇒ 𝒙 = 𝟓
𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓
Clave e) 125
7.- Dado el numeral capicúa: (𝑎 + 1)(𝑏 + 1)(2𝑏 − 1)(2𝑎 − 3)
Hallar 𝑎𝑏
.SOLUCIÓN
𝑎 + 1 𝑏 + 1 2𝑏 − 1 (2𝑎 − 3)
Un número capicúa es el que se lee exactamente igual de izquierda a derecha o viceversa.
𝑎 + 1 = 2𝑎 − 3
4 = 𝑎
𝑏 + 1 = 2𝑏 − 1
2 = 𝑏
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 :
𝒂𝒃 = 𝟒𝟐 Clave a) 42
8.- Si el numeral siguiente es capicúa:: 𝑎 + 1 𝑐 + 1 𝑏(2𝑏)(6 − 𝑎)(7 − 𝑎)
Hallar el valor de (a + b + c)
.SOLUCIÓN
𝑎 + 1 = 7 − 𝑎
2𝑎 = 6
𝑐 + 1 = 6 − 𝑎
c = 2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 :
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 + 0 + 2
𝑎 + 1 𝑐 + 1 𝑏 2𝑏 6 − 𝑎 (7 − 𝑎)
𝑎 = 3
𝑐 + 1 = 6 − 3
𝑏 = 2𝑏
0 = 𝑏
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟓
Clave d) 5
9.- Si se cumple que 35(𝑛) = 26(𝑛+3), 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑛(9) 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 10
SOLUCIÓN
Descomposición polinómica:
35(𝑛) = 26(𝑛+3)
3𝑛 + 5 = 2 𝑛 + 3 + 6
3𝑛 + 5 = 2𝑛 + 6 + 6
3𝑛 − 2𝑛 = 12 − 5
𝑛 = 7
𝑛𝑛(9) 𝐵(10)
77(9) 𝐵(10)
77(9) = 7.9 + 7
77(9) = 𝟕𝟎
Clave d) 70
10. Si Frank tiene 𝑎𝑏 años y dentro de “6a” años tendrá 66 años, hallar “a x b”.
SOLUCIÓN
𝑎𝑏 + 6𝑎 = 66
10𝑎 + 𝑏 + 6𝑎 = 66
16𝑎 + 𝑏 = 66
4 2
Luego:
𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2 ⇒ 𝒂 𝒙 𝒃 = 𝟖
Clave c) 8
11.- Si se cumple: 𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2) 5 = 1(𝑎 + 3)(𝑎 + 1)(6) .Hallar el valor de: “3a-5”
SOLUCIÓN
Descomposición polinómica:
𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2) 5 = 1(𝑎 + 3)(𝑎 + 1)(6)
𝑎. 52 + 𝑎 + 1 . 5 + 𝑎 + 2 = 1. 62 + 𝑎 + 3 6 + (𝑎 + 1)
25𝑎 + 5𝑎 + 5 + 𝑎 + 2 = 36 + 6𝑎 + 18 + 𝑎 + 1
31𝑎 + 7 = 7𝑎 + 55
24𝑎 = 48 ⇒ 𝑎 = 2
Luego:
3𝑎 − 5 = 3 2 − 5
= 1
Clave a) 1
12.- Si la edad de María es igual al valor que toma “a” en el siguiente numeral:
𝑎𝑎𝑎(8) =
𝑎
2
(2𝑎 + 1)
𝑎
2
Hallar la edad que María tendrá dentro de 3 años.
SOLUCIÓN
13.- Si la el dinero que le dan de propina a Clara es igual al valor que “a” toma en el siguiente numeral:
𝑎𝑎𝑎𝑎(5) = (𝑎 + 2) 𝑎 − 2 𝑎
Hallar cuanto dinero tendria en una semana si en lo único que a gastado es en un libro valorizado en 20
soles.
SOLUCIÓN
14.- Se tiene un número de dos cifras, si se agrega un 2 a la izquierda del número se convierte en un número
igual a 5 veces el número original. Halla la suma de las cifras de dicho número.
SOLUCIÓN
Sea el numero de dos cifras: 𝒂𝒃
𝟐𝒂𝒃 = 𝟓(𝒂𝒃)
𝟐𝟎𝟎 + 𝒂𝒃 = 𝟓(𝒂𝒃)
𝟐𝟎𝟎 = 𝟒𝒂𝒃
5𝟎 = 𝒂𝒃
𝒂 = 𝟓
𝒃 = 𝟎
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 :
𝒂 + 𝒃 = 𝟓 + 𝟎
= 𝟓
Clave a) 5
15.- Si a un numeral de dos cifras en el sistema quinario de le agrega la suma de sus cifras se
obtiene 28. Hallar el producto de cifras de dicho numeral aumentado en 2
SOLUCIÓN
Sea el numero de dos cifras: 𝒂𝒃𝟓
𝒂𝒃𝟓 + 𝒂 + 𝒃 = 𝟐𝟖
𝒂. 𝟓 + 𝒃 + 𝒂 + 𝒃 = 𝟐𝟖
𝟔𝒂 + 𝟐𝒃 = 𝟐𝟖
3𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟒
𝟒 𝟐
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 :
𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2
𝑎. 𝑏 + 2 = 4 2 + 2
𝒂. 𝒃 + 𝟐 =10
Clave a) 10
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