Clase_9_Funciones_4_

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Matemáticas I
Clase 9: Funciones (4)
Abril de 2021
Apunte de Curso: Págs. 76 a 84
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Agenda
Objetivos de la clase
Gráfico de funciones importantes (continuación)
Complementos
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Análisis de los gráficos de funciones importantes (continuación).
� Temas complementarios: funciones por tramos (ramas) y polinomios.
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Gráfico de funciones importantes
(continuación)
Función cuadrática
f : R→ R tal que f (x) = a x2 + bx + c .
� Convexa cuando a > 0
� Cóncava cuando a < 0
� Corta el eje vertical en (0, b)
Figura 1: Parábola convexa (a > 0) o cóncava (a < 0)
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Función exponencial f (x) = ax con a > 1
� Dominio: R
� Recorrido: R++
Figura 2: Gráfico de f (x) = ax con a > 1
5
Función exponencial f (x) = a−x con a > 1
� Dominio: R
� Recorrido: R++
Figura 3: Gráfico de f (x) = a−x con a > 1
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¿Cómo es el gráfico de g : R→ R++ tal que g(x) =
(
1
2
)x
?
Ya que
g(x) =
(
1
2
)x
=
1
2x
= 2−x
el gráfico de g corresponde al caso anterior cuando f (x) = a−x con
a > 1: exponente negativo con base mayor que uno.
Figura 4: Gráfico de g(x) =
(
1
2
)x
7
Funciones potencia: exponente positivo y dominio R+
� Dominio: R+
� Recorrido: R+
Figura 5: Gráfico de función f (x) = xa: exponente positivo
8
Funciones potencia: exponente positivo y dominio R+
� Cuando el dominio es R+, el gráfico de f (x) = ax según el valor de
“a” es como sigue:
Figura 6: Gráfico de f (x) = xa: exponente positivo (caso geneal)
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Funciones potencia: exponente negativo y dominio R++
� Dominio: R++
� Recorrido: R++
Figura 7: Gráfico f (x) = x−a = 1
xa
: exponente negativo
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Complementos
Funciones por ramas
Funciones definidas por “ramas”(o tramos) son aquellas que tienen cierta
“expresión” cuando el argumento toma valores en determinada región, y
tiene otra “expresión” cuando el argumento toma valores en otra región.
Ejemplo
Sea f : R→ R tal que
f (x) =
2x + 1 si x ≤ 12x si x > 1 .
Se tiene que:
� f (4) = 24 = 16 pues la rama que se considera es aquella “cuando x > 1”.
� f (0) = 1 pues la rama que se considera es aquella “cuando x ≤ 1”.
� f (1) = 3 pues la rama que se considera es aquella “cuando x ≤ 1”.
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Gráfico de una función por ramas
Para la función del ejemplo anterior, es decir,
f (x) =
{
2x + 1 si x ≤ 1
2x si x > 1
,
se tiene que:
� Cuando x ≤ 1 (es decir, x ∈]−∞, 1]) el gráfico es una recta.
� Cuando x > 1 (es decir, x ∈]1,+∞]) el gráfico es una exponencial.
� Cuando x = 1 ocurre que la rama de la izquierda es aquella que se
utiliza para mostrar la imagen del punto. Se destaca usando • en ese
punto. Por este hecho:
f (1) = 3.
� La rama de la derecha no aplica para evaluar en x = 1. Se destaca
usando ◦ en ese punto. Por este hecho, no se debe usar la rama
exponencial para evaluar f en x = 1.
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Figura 8: Gráfico de función por ramas
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Funciones polinómicas: concepto
� Un polinomio de grado “k” evaluado en “x” es una expresión de la
forma:
a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + · · ·+ akxk ,
donde a0, a1, a2, · · · , ak son constantes reales.
� Se dice que f : R→ R es una función polinómica de grado “k” si
evaluada en el argumento es un polinomio de grado k, es decir,
evaluada en x ocurre que f (x) tiene la forma:
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 + · · ·+ akxk ,
donde a0, a1, · · · , ak son constantes.
� Por ejemplo, las funciones lineales son funciones polinómicas de
grado 1, mientras que una función cuadrática (parábola) es una
función polinómica de grado 2.
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	Objetivos de la clase
	Gráfico de funciones importantes (continuación)
	Complementos