Clase_21_Derivadas_6_

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Matemáticas I
Clase 21: Derivadas (6)
Junio de 2021
Apunte de Curso: Págs. 160 a 176
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Agenda
Objetivos de la clase
Idea y concepto de convexidad
Caracterización de funciones convexas con segundas derivadas
Funciones cóncavas
Ejemplos
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer qué es una función convexa y qué es una función cóncava.
� Diferencia entre estrictamente convexa y convexa (cóncava)
� Conocer la caracterización de convexidad / concavidad a través de
segundas derivadas.
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Idea y concepto de convexidad
Idea de convexidad
� ¿Qué tienen en común los siguientes cuatro gráficos de funciones?
Figura 1: Funciones convexas
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idea de convexidad
Hecho relevante:
En todos, tomando dos puntos del gráfico, la recta que los une está por
encima de la curva.
Figura 2: Funciones convexas
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Función convexa
¿A qué corresponde que el trazo indicado esté por encima de la curva?
� Tomemos dos puntos del dominio de la función: x1 < x2.
� Construyamos la recta L(x) que pasa por los dos puntos
(x1, f (x1)) y (x2, f (x2)).
� Tomemos x̄ un punto intermedio entre x1 y x2:
x̄ = λx1 + (1− λ) x2,
con λ ∈ [0, 1].
Se tiene entonces que
f (x̄) ≤ L(x̄).
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Figura 3: Función convexa
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Definición de función convexa
� La recta L(x) pasa por los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)):
L(x) = f (x1) +
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
(x − x1).
� Evaluando L(x) en el punto intermedio x̄ = λx1 + (1− λ) x2:
L(x̄) = f (x1) +
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
((λx1 + (1− λ) x2)− x1)
= λf (x1) + (1− λ) f (x2)
Definición
Una función f : R→ R es convexa si para todo x1, x2 ∈ R y para todo
λ ∈ [0, 1] se cumple que
f (λ x1 + (1− λ) x2) ≤ λf (x1) + (1− λ) f (x2).
“f ” en el promedio ponderado es menor o igual que el promedio
ponderado de las imágenes”
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Caracterización de funciones
convexas con segundas derivadas
Problema
� Determinar que una función es convexa a través de la definición es,
en general, un problema complicado.
� Por ejemplo, si queremos probar que la función f (x) = ex es
convexa (cosa que es cierto), uno debeŕıa probar que para cualquier
x1, x2 ∈ R y para cualquier λ ∈ [0, 1] se debe cumplir que
eλx1+(1−λ)x2 ≤ λex1 + (1− λ)ex2 .
� Necesitamos entonces una forma sencilla de estudiar la convexidad
de una función.
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Observación clave
Las funciones convexas tienen derivada creciente.
Figura 4: Derivada creciente
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Caracterización de función convexa
Por lo tanto:
� Si f ′(x) es creciente, es porque su derivada es positiva.
� Es decir, la derivada de la derivada es positiva: segunda derivada
es positiva.
f : R→ R es convexa si y solo si f ′′(x) ≥ 0.
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Función estrictamente convexa versus función convexa
Diferencia entre estrictamente convexa y convexa
Si la segunda derivada es estrictamente positiva entonces la función
es estrictamente convexa.
Si la segunda derivada es solo mayor o igual a cero (es decir, puede ser
cero), la función es solo convexa.
� Diferencia gráfica entre función estrictamente convexa y solo
convexa: las estrictamente convexas no tienen lados rectos. Las
convexas pueden tener lados rectos.
� Para funciones estrictamente convexa, tenemos que para todo
x1, x2 ∈ R, con x1 < x2, y para todo λ ∈]0, 1[ (no incluye los
extremos) se cumple que
f (λ x1 + (1− λ) x2) < λf (x1) + (1− λ) f (x2).
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Geometŕıa
� Donde exista, la segunda derivada de una función estrictamente
convexa es mayor que cero, mientras que para una función convexa
podŕıa ser igual a cero.
Figura 5: Diferencia entre estrictamente convexa y convexa
Estrictamente convexa Convexa
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Funciones cóncavas
Idea
� Una función f : R→ R es cóncava cuando “menos la función”, −f ,
es convexa.
� Por lo tanto, una función f : R→ R es cóncava si para todo
x1, x2 ∈ R y para todo λ ∈ [0, 1] se cumple que
f (λ x1 + (1− λ) x2) ≥ λf (x1) + (1− λ) f (x2).
Lo anterior se traduce en lo siguiente:
f : R→ R es concava si y solo si f ′′(x) ≤ 0.
� Los conceptos “estrictamente cóncava”, solo “cóncava” son
análogos al caso convexa.
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Figura 6: Funciones cóncava: derivada decreciente, e.d. f ′′(x) ≤ 0
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Comentario 1
� Las funciones, ¿o son convexas o son cóncavas?
Figura 7: Función que no es ni convexa ni cóncava
� Donde f ′′(x) > 0 ocurre que f es localmente convexa.
� Donde f ′′(x) < 0 ocurre que f es localmente cóncava.
� x̄ es punto de inflexión: f ′′(x̄) = 0.
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Comentario 2
Hay funciones (a) convexas, (b) decrecientes convexas, (c) “combinado”
creciente-decreciente en algunas regiones y convexa. También se puede
dar el caso de (d) funciones crecientes cóncava, (d) crecientes cóncava y
(f)“combinado” creciente-decreciente en algunas regiones y cóncava.
Figura 8: Creciente y convexa – decreciente y convexa
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
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Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo
Para parábola f (x) = a x2 + b x + c , tenemos que
f ′(x) = 2a x + b ⇒ f ′′(x) = 2a.
Luego:
� f (x) es estrictamente convexa cuando a > 0
� f (x) es estrictamente cóncava cuando a < 0
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Ejemplo 2
Ejemplo
Para la función exponencial f (x) = ex tenemos que
f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex ⇒ f ′′(x) = ex .
Luego f (x) es estrictamente convexa ya que f ′′(x) > 0.
� ¿Qué informa lo anterior? Entre otros, el hecho que f (x) = ex es
estrictamente convexa nos dice que para todo x1, x2 ∈ R, con
x1 6= x2, y para todo 0 < λ < 1, se cumple que
eλx1+(1−λ)x2) < λex1 + (1− λ)ex2 .
� Por ejemplo:
e
1
2 (1+x) <
1
2
(e + ex).
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Ejemplo 3
Ejemplo
Dado b > 0, con b 6= 1, para la función f (x) = bx se tiene que
f (x) = bx ⇒ f ′(x) = ln(b)bx ⇒ f ′′(x) = (ln(b))2bx .
Luego, ya que la segunda derivada siempre es estrictamente positiva,
concluimos que f (x) = bx es estrictamente convexa.
Note que:
� Si 0 < b < 1, entonces f (x) = bx es estrictamente decreciente:
0 < b < 1 ⇒ ln(b) < 0 ⇒ f ′(x) < 0.
� Si b > 1, entonces f (x) = bx es estrictamente creciente:
b > 1 ⇒ ln(b) > 0 ⇒ f ′(x) > 0.
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Ejemplo 4
Ejemplo
Para la función f : R++ → R tal que f (x) = ln(x) se tiene que
f (x) = ln(x) ⇒ f ′(x) = 1
x
⇒ f ′′(x) = − 1
x2
Por lo tanto, el logaritmo natural es una función estrictamente cóncava,
ya que la segunda derivada es estrictamente negativa en todos los puntos
del dominio.
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