UNIDAD 1c_2020

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Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales
Dr Alfredo Gonzalez
1
UNIDAD N°1cMATEMÁTICA II
Derivadas
Derivada de una función en un punto
2
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, 
si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable 
tiende a cero.
y
x
3
Ejemplos
1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
4
Interpretación geométrica de derivada
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante 
tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β
y
x
5
y
x
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la 
función en ese punto.
mt = f'(a)
Interpretación geométrica de derivada
Interpretación física de la derivada
6
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo 
transcurrido (Δt).
e
t
7
Velocidad instantánea
e
t
e
t
8
Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es 
e(t) = 6t2. Calcular:
1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
Teorema de Lagrange o del valor medio
9
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del 
intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c perteneciente al (a,b)
donde
H) f(x) es continua en [a,b] f(x) es derivable en (a,b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) /
Tal que
Interpretación geométrica
(Lagrange)
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f(b)
f(a)
y
x
El teorema nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela 
a la secante
Teorema de Rolle
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Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y es derivable
en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un 
punto entre a y b llamado c, para el cual (la derivada) f'(c)=0.
H) f es continua en [a,b] f es derivable en (a,b) f(a)=f(b)
T) Existe un punto c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0
Tal que
Interpretación geométrica
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Si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe 
poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.
y
x
Interpretación geométricamente
13
y
x
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, 
en el que f(a) = f(b).
Teorema de Cauchy
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Teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor 
medio de Lagrange
Sean f y g continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Si f ' y g ' no se anulan 
simultáneamente, entonces existe tal que:
El valor del primer miembro es constante:
Interpretación geométrica
(Cauchy)
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Si existe al menos un c en (a,b) se tiene que el cociente de las pendientes
de las rectas tgs a f y g es igual al cociente de las pendientes de las 
secantes a los gráficos de f [por (a;f(a) y (b;f(b)] y de g [por (a;g(a)) y 
(b;g(b)].
Si g(x) = x el T. Generalizado del Valor medio de Couchy se reduce al T. de Lagrange
El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, 
entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital. 
Muy usada para el cálculo de límites de la forma de ó .
Aplicaciones de derivadas
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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 
Crecimiento en un punto
Si f es derivable en a:
f es estrictamente creciente en a si:
f '(a) > 0
Decrecimiento en un punto
Si f es derivable en a:
f es estrictamente decreciente en a si:
f '(a) < 0
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Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1 Derivar la función.
2 Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f '(x) = 0.
3 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de 
discontinuidad de la función original (si los hubiese).
4 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f '(x0) > 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.
Si f '(x0) < 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.
5 Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
18
Ejemplo
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
X=1 (discontinuidad)
Raíces de la derivada 1ra Discontinuidad
Se forman intervalos con las raíces de la d´ 1ra y
los puntos de discontinuidad
Tomamos un valor de cada intervalo y 
vemos el signo que tiene la d´1ra
Si f '(x0) > 0, f es creciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0.
Si f '(x0) < 0, f es decreciente en todos los puntos del intervalo al que pertenece x0
19
y
x
y
x
A.V.  x=1 es A.V.
A.O.  y=x+2
La A.V. es x=a
y = mx + b (m ≠ 0) será una 
asíntota oblicua si: 
A.O. 
EXTREMOS RELATIVOS
20
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
Si f '(a) = 0.
Si f ''(a) ≠ 0.
Máximos relativos
Si f y f ' son derivables en a, a pertenece a un máximo relativo si se cumple:
f '(a) = 0
f ''(a) < 0
Mínimos relativos
Si f y f ' son derivables en a, a pertenece a un mínimo relativo si se cumple:
f '(a) = 0
f ''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos 
relativos
21
Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:
1 Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
2 Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces
de la derivada primera y si:
f''(a) < 0 Existe un máximo relativo 
f''(a) > 0 Existe un mínimo relativo
3 Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
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EJEMPLO
Calcular los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
f '(x) = 3x2 − 3 = 0 Raíces: x1= -1 x2= 1
f ''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo (-)
f''(1) = 6 Mínimo (+)
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4)
Mínimo(1, 0)
23
Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:
1. Un máximo en el punto, de la función, en la que esta pasa de creciente a decreciente.
2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que esta pasa de decreciente a creciente.
EJEMPLO:
Hallar los máximos y mínimos de:
Tenemos un mínimo en x = 3 Mínimo(3, 27/4)
En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la 
función.
y
x
y
x
PUNTO DE INFLEXIÓN
24
Si f y f ' son derivables en a, a es un Punto de inflexión
Si f'' = 0
y
f''' ≠ 0
Cálculo de los puntos de inflexión
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2 Realizamos la derivada tercera, y calculamos que valores toman en ella los ceros de 
derivada segunda y si: f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
3 Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
25
Ejemplo:
Hallar los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
f´(x) = 3 x2 -3 
f ''(x) = 6x6x = 0 x = 0.
f '''(x) = 6 entonces x=0 pertenece a un punto de inflexión.
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:
Puntos de inflexión en los puntos en que esta pasa de cóncava a 
convexa o viceversa.
26
2. Calcular los puntos de inflexión de la función:
Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de 
convexa a cóncava.
Punto de inflexión (0, 0)
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
27
Si f y f‘ son derivables en a, la función es:
Convexa
Si f''(a) < 0
Cóncava
Si f ''(a) > 0
Criterio de concavidad y convexidad
28
Criterio: el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera 
opuesta.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos
(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
y
x
y
x
29
Una funciónes cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento 
que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima 
de la gráfica.
y
x
y
x
f(x2)
f(x1)
Intervalos de concavidad y convexidad
30
Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes
pasos: 
1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de 
discontinuidad (si los hubiese).
3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f ''(x) < 0 es convexa
Si f ''(x) > 0 es cóncava
4 Escribimos los intervalos
Ejemplo
31
convexa
cóncava
32
y
x
convexa
cóncava
FIN
33
	UNIDAD N°1c
	Derivada de una función en un punto
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Interpretación física de la derivada
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Teorema de Lagrange o del valor medio�
	Interpretación geométrica�(Lagrange)
	Teorema de Rolle
	Interpretación geométrica
	Interpretación geométricamente
	Teorema de Cauchy
	Interpretación geométrica�(Cauchy)
	Aplicaciones de derivadas
	Número de diapositiva 17
	Número de diapositiva 18
	Número de diapositiva 19
	EXTREMOS RELATIVOS
	Cálculo de máximos y mínimos relativos
	Número de diapositiva 22
	Número de diapositiva 23
	PUNTO DE INFLEXIÓN
	Número de diapositiva 25
	Número de diapositiva 26
	CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
	Criterio de concavidad y convexidad
	Número de diapositiva 29
	Intervalos de concavidad y convexidad
	Ejemplo
	Número de diapositiva 32
	FIN