Clase_22_Derivadas_7_

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Matemáticas I
Clase 22: Derivadas (7)
Junio de 2021
Apunte de Curso: Págs. 176 a 183
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Agenda
Objetivos de la clase
Óptimos (extremos) locales
Ejemplos
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer qué es un óptimo (extremo) local de una función.
� Condiciones necesarias para caracterizar un óptimo local,
identificando si es máximo o ḿınimo local.
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Óptimos (extremos) locales
Idea
Algunas funciones tienen puntos del dominio donde su valor es máximo
desde un punto de vista local, o bien donde su valor es ḿınimo desde
un punto de vista local: extremos locales
Figura 1: Función que tiene extremos locales
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Idea
Figura 2: Extremos locales de f
� para todo x ∈]x1 − ε1, x1 + ε1[ se cumple que
f (x1) ≥ f (x).
� para todo x ∈]x2 − ε2, x2 + ε2[ se cumple que
f (x2) ≤ f (x).
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Caracterización de extremos locales
Figura 3: Puntos de extremo local de f
En la Figura 3:
� El punto x1 es tal que la tangente a la curva en él es horizontal y,
además, la curva es localmente cóncava.
� El punto x2 es tal que la tangente a la curva en él es horizontal y,
además, la curva es localmente convexa.
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Propiedad relevante
Proposición
Dada f : R→ R una función dos veces derivable, se tiene entonces que:
� si se cumple que
f ′(x1) = 0 y f
′′(x1) < 0
entonces x1 es un punto donde f tiene un máximo local,
� si se cumple que
f ′(x2) = 0 y f
′′(x2) > 0
entonces x2 es un punto donde f tiene un ḿınimo local.
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Conceptos relacionados: punto cŕıtico
Un concepto sencillo:
� Uno dice que x̄ es un punto cŕıtico de f : R→ R cuando
f ′(x̄) = 0.
Por lo tanto:
� Un punto cŕıtico x̄ es tal que la función tiene máximo local cuando
f ′′(x̄) < 0.
� Un punto cŕıtico x̄ es tal que la función tiene ḿınimo local cuando
f ′′(x̄) > 0.
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Figura 4: Puntos cŕıticos y otros
� Puntos cŕıticos: x1, x2, x3 y x4.
� Máximos locales: f (x2) y f (x4)
� Mı́nimos locales: f (x1) y f (x3).
� a, b, c y d no son puntos cŕıticos: f ′(a) < 0, f ′(b) < 0, f ′(c) > 0
y f ′(d) < 0.
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Ejemplos
Ejemplo 1
Ejemplo
Encontrar los puntos cŕıticos de f (x) = 13 x
3 − 32 x
2 + 2 x e identificar si
en ellos la función tiene máximo o ḿınimo local.
� Puntos cŕıticos:
f (x) =
1
3
x3 − 3
2
x2 + 3 x ⇒ f ′(x) = x2 − 3 x + 2
f ′(x) = 0 ⇒ x1 = 2 ∧ x2 = 1.
� “Tipo” de extremo local: necesitamos la segunda derivada
f ′′(x) = 2x − 3 ⇒ f ′′(x1) = 1 ∧ f ′′(x2) = −1.
Por lo tanto: en x1 = 2 la función tiene un ḿınimo local y en x2 = 1
tiene un máximo local.
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Figura 5: Puntos cŕıticos de f (x) = 1
3
x3 − 3
2
x2 + 2 x
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Ejemplo 2
Ejemplo
Encontrar los puntos cŕıticos de f (x) = x ex , identificando si se trata de
un punto donde la función tiene máximo o ḿınimo local.
En este caso:
� Punto cŕıtico:
f (x) = x ex ⇒ f ′(x) = xex + ex ⇒
f ′(x) = 0 : xex + ex = 0 ⇒ ex (x + 1) = 0 ⇒ x1 = −1.
� ¿Máximo o ḿınimo local?
f ′(x) = xex + ex ⇒ f ′′(x) = (xex + ex) + ex = xex + 2 ex .
Ya que
f ′′(−1) = −e−1 + 2e−1 = e−1 > 0,
en el punto x1 = −1 ocurre que la función tiene un ḿınimo local. 12
Figura 6: Puntos cŕıticos de f (x) = xex
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Ejemplo 3
Si Ud. estudia t horas para cierto curso, la nota que obtiene es
N(t) = 5e · t e−t . ¿Qué cantidad de horas es el punto cŕıtico de la función? A
esa cantidad de horas, ¿obtengo nota máxima o nota ḿınima? ¿Cuánto debeŕıa
estudiar? ¿Qué nota obtendŕıa si hago lo que el “cálculo” me informa?
• El punto cŕıtico de N(t) se obtiene cuando N ′(t) = 0, es decir, cuando
N ′(t) = (5e) · (e−t − te−t) = 0 ⇒ e−t (1− t) = 0 ⇒ t = 1.
• Para saber si la función tiene máximo o ḿınimo local en t = 1:
N ′′(t) = (5e) (−e−t − (e−t + te−t) = (5e) (−2e−t − te−t)
en t=−1
=⇒ N ′′(−1) = (5e) (−e1) = −5 e2 < 0 : maximo local.
• Estudiando t = 1 horas se obtiene un máximo local, y la nota lograda es
N(1) = (5e) (1 · e−1) = 5.
¿Conviene estudiar más horas? No sabemos: se debe investigar si el máximo
local es un máximo global: próxima clase...
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