Clase_23_Derivadas_8_

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Matemáticas I
Clase 23: Derivadas (8)
Jorge Rivera
12 de junio de 2021
Apunte de Curso: Págs. 183 a 185
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Agenda
Objetivos de la clase
Óptimo global versus óptimo local
Condiciones para encontrar óptimos globales (si hay)
Ejemplos
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer qué es un óptimo global de una función, y la diferencia con
óptimos locales.
� Conocer las condiciones que garantizan que un punto sea máximo o
ḿınimo global
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Óptimo global versus óptimo
local
Óptimo local
Figura 1: Extremos locales de una función
� f tiene un máximo local en x1: f ′(x1) = 0 ∧ f ′′(x1) < 0.
� f tiene un ḿınimo local en x2: f ′(x2) = 0 ∧ f ′′(x2) > 0.
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Óptimo Local versus global
� ¿Es acaso f (x1) el mayor valor que toma la función? NO.
� ¿Es acaso f (x2) es el menor valor que toma la función? NO.
Figura 2: Extremos locales no nec. optimizan globalmente
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Ejemplo de óptimo local
Ejemplo
Para la función f : R→ R tal que f (x) = x3 − 2x2 + 1.
� Puntos cŕıticos:
f ′(x) = 3x2 − 4x = 0 ⇒ x1 = 0 ∧ x2 =
4
3
.
� ¿Máx - Mı́n local?:
f ′′(x) = 6x − 4 ⇒ f ′′(0) = −4 ∧ f ′′(4/3) = 4.
Luego, x1 = 0 es máximo local y x2 = 4/3 es ḿınimo local.
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Figura 3: Óptimos locales de f (x) = x3 − 2x2 + 1
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Óptimo global
• La función f : R→ R tiene un “máximo local” en x̄ cuando “en torno”
a x̄ alcanza un valor máximo en ese punto, es decir, existe � > 0 tal que
para todo x ∈]x̄ − �, x̄ + �[ se cumple que
f (x̄) ≥ f (x).
• La función f : R→ R tiene un “máximo global” en x̄ cuando en ese
punto alcanza un valor máximo en todo su dominio, es decir, cuando
para todo x ∈ R (el dominio en general) se cumple que
f (x̄) ≥ f (x).
P.D. Análogo con ḿınimo local versus ḿınimo global.
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Óptimo local versus óptimo local
• ¿Siempre existe puntos donde una función alcanza máximo (ḿınimo)
global? En general NO. Por ejemplo, f : R→ R tal que f (x) = x no
tiene ni máximo, ni ḿınimo global.
• ¿Si hay máximo (ḿınimo) local entonces debe haber máximo (ḿınimo)
global? No necesariamente. Por ejemplo, la función
f (x) = x3 − 2x2 + 1 alcanza un máximo local en x = 0, pero en ese
punto no tiene un máximo global. Mismo con x = 4/3, donde f alcanza
un ḿınimo local, que sin embargo no es un valor ḿınimo global.
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Condiciones para encontrar
óptimos globales (si hay)
Esquema de análisis
Consideramos el caso de una función f : R→ R (pudiendo ser otros
dominios).
Paso 1: Puntos cŕıticos
� Si la función f tiene punto cŕıtico (digamos, x̄), entonces
continuar con el siguiente paso.
� Si la función f no tiene punto cŕıtico, entonces terminar: no hay
óptimos globales.
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Esquema de análisis
Paso 2: Análisis de la convexidad
(2.1) ¿Es cierto que f ′′(x) > 0 en todo R (o el dominio)?:
SI ⇒ x̄ es ḿınimo global
(2.2) ¿Es cierto que f ′′(x) < 0 en todo R (o el dominio)?:
SI ⇒ x̄ es máximo global
(2.3) Si el signo de la segunda derivada “depende de x”, entonces x̄ es
solo ḿınimo local cuando f ′′(x̄) > 0, o bien es es máximo local
cuando f ′′(x̄) < 0, pero no es óptimo global.
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Conclusiones
• Si la función es convexa (en todo el dominio) entonces sus puntos
cŕıticos (si los tiene) la minimizan en todo el dominio. Más aún, si la
función es estrictamente convexa, entonces el punto donde se
minimiza es único.
• Si la función es cóncava (en todo el dominio) entonces sus puntos
cŕıticos (si los tiene) la maximizan en todo el dominio. Más aún, si la
función es estrictamente convexa, entonces el punto donde se
minimiza es único.
• De manera “informal”: las convexas se minimizan
y las cóncavas se maximizan.
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Ejemplos
Ejemplo
Para la función f : R→ R tal que f (x) = 2x2 − 7x + 2:
� Punto(s) cŕıticos:
f ′(x) = 4x − 7 = 0 ⇒ x̄ = 7
2
.
� ¿Convexa o cóncava?
f ′′(x) = 4 > 0 ⇒ Estrictamente Convexa.
� Conclusión: ya que f es estrictamente convexa, el punto cŕıtico
x̄ = 7/2 es un punto donde la función se minimiza globalmente, es
decir: ∀x ∈ R se cumple que
f (x) ≥ f (4/7).
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Ejemplo
En general, para la función f : R→ R tal que
f (x) = a x2 + b x + c ,
� Punto(s) cŕıticos:
f ′(x) = 2ax + b = 0 ⇒ x̄ = −b
2a
.
� ¿Convexa o cóncava?
f ′′(x) = 2a,
por lo que si a > 0 entonces f es estrictamente convexa, mientras
que si a < 0 es estrictamente cóncava.
� Conclusión: si a > 0 entonces x̄ = −b2a es un punto donde la función
se minimiza globalmente, mientras que si a < 0 entonces x̄ = −b2a es
un punto donde la función se maximiza globalmente.
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Ejemplo
Para la función f (x) = ex :
� Puntos cŕıticos:
f ′(x) = ex = 0 : no hay solución
La función no tiene puntos cŕıticos, por lo que no tiene ni máximo
global, ni ḿınimo global. Note que esto ocurre a pesar de que la
función es estrictamente convexa:
f ′(x) = ex ⇒ f ′′(x) = ex > 0.
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Ejemplo
Para la función f : R→ R tal que
f (x) = ex − x
� Punto(s) cŕıticos:
f ′(x) = ex − 1 = 0 ⇒ x̄ = 0
� ¿Convexa o cóncava?
f ′(x) = ex − 1 ⇒ f ′′(x) = ex > 0,
por lo que f (x) es estrictamente convexa.
� Conclusión: la función f (x) = ex − x se minimiza globalmente en
x̄ = 0, es decir, para todo x ∈ R se cumple que
ex − x ≥ e0 − 0 ⇒ ex ≥ 1 + x .
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Figura 4: f (x) = ex − x tiene ḿınimo global en x̄ = 0
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Ejemplo
Suponga que R > 0 y p > 0 son cantidades conocidas. Sea f : R++ → R
tal que
f (x) = (R − p x) +
√
x .
• Puntos cŕıticos:
f ′(x) = −p + 1
2
√
x
= 0 ⇒ x̄ = 1
4p2
.
• ¿Convexa o cóncava?:
f ′(x) = −p + 1
2
√
x
⇒ f ′′(x) = − 1
4 x3/2
< 0.
• Conclusión: en el punto x̄ = 14p2 ocurre que la función tiene (alcanza)
un máximo global.
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	Objetivos de la clase
	Óptimo global versus óptimo local
	Condiciones para encontrar óptimos globales (si hay) 
	Ejemplos