Clase_21_M3 (1)

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Matemáticas III
Clase 21
Profesor:Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Condiciones (de optimalidad) para resolver el problema
Interpretación geométrica de las condiciones de optimalidad del problema
Objetivos de la clase
I Conocer el problema de optimización de una función no lineal con
restricción lineal de igualdad (dos variables)
I Conocer las condiciones de optimalidad del problema en cuestión.
I Interpretar geométricamente las condiciones de optimalidad.
Intuición: problema del consumidor
• Hay dos bienes de consumo, el bien 1 y el bien 2. Las cantidades de
esos bienes son x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0.
• Si consume x1 de bien uno y x2 de bien dos, la utilidad (satisfacción)
que logra es u(x1, x2), donde u : R2+ → R es la función de utilidad.
• Cada unidad de bien uno “cuesta” p > 0 y cada unidad de bien dos
cuesta q > 0; p y q son los precios de los bienes de consumo.
• El individuo tiene R recursos (dinero, riqueza) para comprar los bienes
que consume.
• Se asume que en la compra de bienes gasta todos los recursos que
dispone. Por esto, que debe cumplir que
px1 + qx2 = R.
• Los consumos factibles de bienes 1 y 2 son aquellos que cumplen con
lo anterior.
• El problema de optimización del individuo es buscar la combinación
de bienes factibles que hacen máximo el valor de utilidad. Es decir,
dentro de las opciones de consumo que hay, debe buscar aquella que
entrega la mayor satisfacción posible.
• Lo anterior se escribe diciendo que el problema del individuo es
máx u(x1, x2)
s.a
px1 + qx2 = R
• Este problema de optimización se lee como: “buscar dentro de los
puntos factibles aquel que hace máximo el valor de la función de
utilidad”, o bien, “maximizar la función de utilidad, sujeto que a que los
consumos satisfacen la restricción” (de gasto) que se ha indicado.
Interpretación geométrica del problema del consumidor
• La “restricción” px1 + qx2 = R es una recta en el piso, que corta a los
ejes X1 y X2 en los puntos (R/p, 0) y (0,R/q), respectivamente.
• La recta roja “induce” (genera) una curva (sendero) en la superficie
que define la función u(x1, x2).
• Se busca el punto “más alto” del sendero que se obtiene evaluando la
función en los puntos que cumplen la restricción (es decir, puntos que
están en la recta roja).
• En la Figura 1, en el punto (x̄1, x̄2) de la recta roja ocurre que la
función u(x1, x2) alcanza el mayor valor posible dentro de todos los
puntos que están en esa recta.
Figura: (x̄1, x̄2) es el punto de la recta roja donde u(x1, x2) toma el
mayor valor posible dentro de esa recta
Ejemplo 1
Los siguientes son problemas de optimización que tienen la forma anterior
(se asume que las variables están en R2+)
máx x1 +
√
x2
s.a
x1 + 4x2 = 10
máx x · y
s.a
2x + 3y = R
• En el problema rojo, se trata de buscar los valores de x1 y de x2 que
hacen máximo el valor de x1 +
√
x2, pero teniendo presente que esas
variables (mayores o iguales que cero) cumplen que x1 + 4x2 = 10.
• En el problema azul se trata de buscar los valores de “x” e “y” que
hacen máximo el valor de x · y , pero teniendo presente que esas variables
(mayores o iguales que cero) cumplen que 2x + 3y = R, donde R es una
cantidad conocida.
Formulación general del problema y condiciones de
optimalidad
La versión general del problema que nos interesa es la siguiente: dados
p, q,R ∈ R++ y dada f : R2+ → R, se trata de maximizar la función
f (x , y) sujeto a una restricción lineal:
máx f (x , y)
s.a
px + qy = R
• La lectura de este problema es: buscamos x̄ , ȳ que (i) cumplen la
condición (restricción) del problema, y que (ii) hace máximo el valor de
la función f (x , y) dentro de todos los puntos que cumplen esa condición.
La función f (x , y) se llama función objetivo.
• De la restricción se tiene que
p x + q y = R ⇒ y = R
q
− p
q
x︸ ︷︷ ︸
y(x)
.
• Reemplazando lo anterior en la función objetivo, el problema original se
convierte en el siguiente:
máx f
(
x ,
R
q
− p
q
x
)
︸ ︷︷ ︸
φ(x)
.
• El anterior es un problema de maximización sin restricciones: maximizar
φ(x), que solo depende de la variable x .
• Bajo propiedades que se discuten más adelante, la condición de
primer orden, φ′(x) = 0, permitirá encontrar el punto que buscamos.
• Para obtener φ′(x) se debe aplicar la regla de la cadena: ya que
φ(x) = f (x , y(x)) se tiene que
φ′(x) = 0 ⇐⇒ ∂f (x , y(x))
∂x
+
∂f (x , y(x))
∂y
· ∂y(x)
∂x
= 0.
• Como y(x) = Rq −
p
q x , por lo que
∂y(x))
∂x = −
p
q , usando lo anterior
tenemos que
∂f (x , y(x))
∂x
− ∂f (x , y(x))
∂y
·
(
p
q
)
= 0 ⇐⇒
∂f (x,y(x))
∂x
∂f (x,y(x))
∂y
=
p
q
.
• En consecuencia, el punto que resuelve el problema de optimización
cumple las siguientes condiciones (escribimos “y” en vez de “y(x)”):
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
=
p
q
(1)
px + qy = R (2)
Las condiciones (1) – (2) definen un sistema de ecuaciones, usualmente
no lineal, a partir del cual se obtiene la solución del problema bajo
análisis.
Ejemplo 1
Resolver sl siguiente problema de optimización
máx 2x − x2 + xy − y2
s.a
x + 2y = 4
Identificando los términos para asimilarlo al problema general visto
previamente, se tiene que
f (x , y) = 2x − x2 + xy − y2, p = 1, q = 2, R = 4.
• Luego, las condiciones (de optimalidad) para encontrar la solución son
las siguientes:
(1) :
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
=
p
q
⇒ 2− 2x + y
x − 2y
=
1
2
⇐⇒ 4− 4x + 2y = x − 2y
(2) : x + 2y = 4.
Reordenando los términos, lo anterior es equivalente al siguiente sistema
de ecuaciones
−5x + 4y = −4
x + 2y = 4
cuya solución es (regla de Cramer)
x̄ =
det
[
−4 4
4 2
]
det
[
−5 4
1 2
] = −24
−14
=
12
7
, ȳ =
det
[
−5 −4
1 4
]
det
[
−5 4
1 2
] = −16
−14
=
8
7
.
• En resumen, el punto que hace máximo el valor de la función
f (x , y) = 2x − x2 + xy − y2 considerando que las variables cumplen que
x + 2y = 4 es dado por x̄ , ȳ anterior.
Ejemplo 2
Dados α, β > 0 y dados p, q,R > 0, resolver el problema
máx xα yβ
s.a
p1x + p2y = R
• Para expresar este problema en la versión general, se tiene que la
función objetivo es f (x , y) = xα yβ , que p = p1, que q = p2 y que
R = R. Con esto, las condiciones (1) – (2) son las siguientes:
(1) :
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
=
p1
p2
⇒ αx
α−1yβ
βxαyβ−1
=
p1
p2
⇐⇒ αy
βx
=
p1
p2
⇒ y = βp1
αp2
x ,
(2) : p1x + p2y = R.
• Usando lo obtenido en rojo en (2) se tiene que:
p1x+p2·
(
βp1
αp2
x
)
= R ⇐⇒ p1x+
β
α
p1x = R ⇒ αp1x+βp1x = αR
⇒ x̄ = αR
(α + β) p1
⇒ ȳ = βp1
αp2
(
αR
(α + β) p1
)
=
βR
(α + β) p2
.
• En resumen: el punto donde f (x , y) = xαyβ toma el mayor valor
posible considerando que las variables cumplen que p1x + p2y = R es
dado por x̄ , ȳ ya encontrados.
• El mayor valor que toma la función dentro del conjunto factible (es
decir, dentro de los puntos que cumplen p1x + p2y = R) es
f (x̄ , ȳ) =
(
αR
(α + β) p1
)α (
βR
(α + β) p2
)β
=
ααββ
(α + β)α+β
· R
α+β
pα1 p
β
2
.
Ejemplo 3
• Encontrar el valor de x1 ≥ 0 y de x2 ≥ 0 que maximiza su producto,
sujeto al hecho de que la suma de ellos es α > 0.
Visto de otra manera, el problema es
máx x1 · x2
s.a
x1 + x2 = α
• Identificando los elementos, se tiene que f (x1, x2) = x1x2, p = 1, q = 1
y R = α, por lo que las condiciones del problema son:
(1) :
∂f (x1,x2)
∂x1
∂f (x1,x2)
∂x2
=
1
1
⇒ x2
x1
= 1 ⇒ x2 = x1
(2) : x1 + x2 = α.
• Resolviendo el sistema (1) – (2) es directo que x̄1 = x̄2 = α2 .
Ejemplo 4
• Suponiendo que las variables son positivas, encontrar el valor de x1 y de
x2 que maximiza la suma de x1 con la ráız cuadrada de x2, sujeto a que
la suma de ellos es 1. Visto de otra manera, el problema es
máx x1 +
√
x2
s.a
x1 + x2 = 1
• Identificando los elementos, se tiene que f (x1, x2) = x1 +
√
x2, p = 1,
q = 1 y R = 1, por lo que las condiciones del problema son:
(1) :
∂f (x1,x2)
∂x1
∂f (x1,x2)
∂x2
=
1
1
⇒ 1(
1
2
√
x2
) = 1 ⇒ 2√x2 = 1 ⇒ x2 = 1
4
.
(2) : x1 + x2 = 1.
• Resolviendo el sistema (1) – (2) es directo que x̄2 = 14 y que
x̄1 = 1− 14=
3
4 .
Intuición e idea
• Supongamos que las variables son mayor o igual que cero y que las
curvas de nivel son convexas.
• La restricción px + qy = R es una recta (fija).
• Supongamos que los puntos donde la curva de nivel h1 de la función
objetivo, f (x1, x2), son como en la figura a continuación:
Figura: Conjunto de puntos factibles y curva de nivel h1
• Lo anterior dice que la función evaluada en cualquiera de los puntos del
conjunto rojo (el conjunto de puntos factibles) no puede alcanzar el
valor h1: la curva de nivel h1 está encima de la recta roja.
• Si “disminuimos el nivel”, la curva de nivel se desplaza hacia abajo.
Dado esto, ¿cuál es mayor nivel posible para el cual hay un punto en la
recta roja donde la función alcanza dicho nivel? Ese “nivel” se obtiene
“desplazando la curva de nivel hacia abajo” hasta que sea tangente a la
recta roja.
• El punto donde ocurre la tangencia entre curva de nivel y recta roja es
la solución del problema de optimización.
Figura: (x̄1, x̄2) maximiza la función f (x1, x2) en la recta roja
• En resumen: bajo el supuesto de que las curvas de nivel de la
función objetivo son convexas, el punto que resuelve el problema
máx f (x , y)
s.a
px + qy = R
es aquel donde la curva de nivel asociada a dicho punto y recta roja son
tangentes, es decir, “la pendiente de la tangente a la curva de nivel en
la solución” coincide con “la pendiente de la recta roja”.
• Como sabemos, la “pendiente de la tangente a la curva de nivel” es
menos el cociente de las derivadas parciales de la función objetivo, y la
pendiente de la recta roja es − pq . Luego, en el óptimo se cumple que
−
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
= −p
q
⇐⇒
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
=
p
q
,
que es precisamente la condición (1) que ya teńıamos.
Nota
Sobre la base de lo expuesto, la cuestión clave para aplicar las siguientes
condiciones de optimalidad
(1) :
∂f (x,y)
∂x
∂f (x,y)
∂y
=
p
q
(2) : px + qy = R
con el fin de resolver el problema de maximización bajo análisis, es que
las curvas de nivel de la función objetivo sean convexas.
• ¿Cuándo las curvas de nivel de la función objetivo son convexas?
Ocurre cuando la función es cuasicóncava o bien, como caso particular,
cuando la función es cóncava.
• Si la función objetivo es convexa entonces las condiciones (1) – (2) no
aplican para resolver el problema de maximización que hemos discutido.
De hecho, cuando la función objetivo es convexa, las condiciones (1) –
(2) permiten encontrar el punto que minimiza a la función objetivo
dentro del conjunto de puntos factibles:
si la función f (x , y) es convexa, entonces las condiciones (1) – (2)
resuelven el siguiente problema de optimización:
ḿın f (x , y)
s.a
px + qy = R
Para propósitos del curso, siempre asumiremos que el problema de
optimización, sea maximizar o minimizar, está “bien planteado”, de
modo que, efectivamente, las condiciones (1) – (2) sirven para resolverlo.
Un análisis “más fino” de esta cuestión, cosa muy importante, se trata en
Mate IV...
	Objetivos de la clase
	Condiciones (de optimalidad) para resolver el problema
	Interpretación geométrica de las condiciones de optimalidad del problema