Ecuaciones e inecuaciones lineales

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15 Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales  
 
PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
 
 
Ecuaciones e Inecuaciones lineales 
 Eje Temático: Álgebra Sub – Eje: Ecuaciones e inecuaciones 
 
CHECK LIST – Haz “check” sobre los contenidos que hayas visto y/o aprendido en esta clase. 
 
☐ Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre 
ecuaciones lineales de primer grado. 
☐ Representación de intervalos mediante lenguaje conjuntista y 
uso de las operaciones con conjuntos para resolver inecuaciones 
y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. 
☐ Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones 
lineales con dos incógnitas, en contextos variados. 
☐ Resolución de problemas que implican el planteamiento de 
inecuaciones con una incógnita; representación de las soluciones 
usando intervalos en los reales; discusión de la existencia y 
pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto. 
 
Ecuaciones 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición 
 
Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones 
que pueden ser algebraicas (polinomios) o 
trascendentales (logaritmos, funciones 
trigonométricas, etc.). 
 
En el caso que la ecuación sea algebraica, se 
clasificara en función del grado de las expresiones 
que la componen. El grado de la ecuación 
corresponde al grado mayor entre las expresiones 
que componen la igualdad. El grado indicara la 
cantidad máxima de soluciones de la ecuación. 
 
Las ecuaciones algebraicas que se estudian en PSU 
suelen ser de bajo grado. Estas se clasifican en: 
 
a) Ecuaciones Lineales: Son todas aquellas 
ecuaciones de grado 1 que pueden tener una 
o varias variables. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Ecuaciones Cuadráticas: Son todas aquellas 
ecuaciones de grado 2, que pueden tener una 
o varias variables. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ecuaciones con Valor Absoluto: Son todas 
aquellas que contienen al menos un valor 
absoluto, que pueden tener una o varias 
variables. Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos concentraremos en el estudio de las 
ecuaciones de primer grado. 
Ecuaciones de Primer Grado 
 Conceptos Fundamentales 
 
Resolución de Ecuaciones De Primer Grado 
 
Una ecuación de primer grado con una 
incógnita, reducida, es de la forma: 
 
 
 
Cuyo conjunto solución es: 
 
 
 
 
 
 
Resolvamos una ecuación de primer grado: 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 
Resolvamos una ecuación de coeficientes 
fraccionarios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, 
 
Resolvamos una ecuación de coeficientes 
literales: 
 / Desarrollando 
 / Reordenando 
 / Factorizando 
 / 
 
 
Por lo tanto, o 
 
 
 
 
 
 
16 Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales  
 
PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
NÚMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
Desigualdades 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición de Desigualdad 
 
Se denomina desigualdad a toda relación que 
se establece entre números reales, mediante 
la comparación “menor que” , “menor o 
igual que” , “mayor que” o “mayor o 
igual que” . Una desigualdad se cumple si 
la relación establecida es verdadera. 
 
 
 
 Propiedades de las Desigualdades 
 
 Sean 
 
a) Transitividad: 
 
Si y , entonces 
 
b) Propiedad Aditiva: 
Si a ambos lados de una desigualdad se 
suma un mismo número real, entonces la 
desigualdad se mantiene. Es decir: 
 
 , entonces 
 
c) Propiedad Multiplicativa: 
Si ambos lados de la desigualdad son 
multiplicados por un mismo número real 
positivo, la desigualdad se mantiene. 
Es decir: 
 
 , entonces , con 
 
Si ambos lados de la desigualdad son 
multiplicados por un mismo número real 
negativo, la desigualdad se invierte. Es decir: 
 
 , entonces , con 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inecuaciones 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición de Inecuación 
 
Se denomina inecuación a una desigualdad 
formada por números reales y una o varias 
variables. Los miembros de la inecuación se 
llaman Expresiones Algebraicas, las cuales 
estudiaremos más adelante en este curso. 
 
Ejemplos: ; 
 
 
 Intervalos en los Números Reales 
 
Un intervalo es un tipo de conjunto que 
usualmente se define en función de una 
inecuación lineal de o miembros, donde uno 
de ellos contiene a una variable o incógnita. 
 
I) Abierto: 
 
II) Cerrado: 
 
III) Semiabiertos por la: 
 
 Derecha: 
 
 Izquierda: 
 
IV) No acotados por la: 
 
 Derecha: 
o Abierto: 
 
o Semi: 
 
 Izquierda: 
o Abierto: 
 
o Semi: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
NÚMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 
 
Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
 
17  Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales 
 ¿Cómo resolver una inecuación? 
 
Haciendo uso de las propiedades de las 
desigualdades, será bastante natural la 
resolución de inecuaciones lineales para 
obtener su conjunto solución, el cual 
representaremos en distintos registros. 
 
Ejemplo: 
 
 / 
 / 
 
 
 
 
 
Su representación gráfica: 
 3 
 
Y a partir de su representación gráfica, 
obtenemos su representación como intervalo: 
 
 
 
 
Inecuaciones con Valor Absoluto 
 
a) Si , entonces . Esto se 
puede representar gráficamente como: 
 
 
 
 
b) Si , entonces o . 
Esto se puede representar gráficamente 
como: 
 
 
 
 
 
Sistemas de Inecuaciones Lineales 
 Con una incógnita + Matriz de Signos 
 
 Definición 
 
Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto 
formado por dos o más inecuaciones de primer 
grado, que en nuestro caso particular, contendrán 
solo una incógnita. El conjunto solución del sistema 
corresponde a la intersección de los conjuntos 
solución de cada una de las inecuaciones que 
conforma el sistema. Así, si , , , …, son los 
conjuntos solución de las inecuaciones que 
componen el sistema, entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales  
 
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NÚMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
Nivel Básico Media 
 
1. ¿Para qué valor de la incógnita la expresión 
 
 
 
 es igual a uno? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
 
2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite 
resolver el siguiente problema: “Si te regalo la 
quinta parte de mis camisetas y a Carmen le
regalo más que a ti, me quedo con ”? 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
3. Para qué valor de son equivalentes las 
ecuaciones: 
 
 y 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
4. Al despejar en la fórmula 
 
 
 se obtiene 
para la expresión 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
 
5. Sea m un número entero. Para que la solución, en 
x, de la ecuación 
 
 
 sea siempre un 
número entero, el valor de m, debe ser 
(DEMRE 2017) 
 
A) Un múltiplo de 5 
B) Un múltiplo de 2 
C) Un múltiplo de 3 
D) 1 
E) -1 
 
6. Si , entonces: 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
7. El conjunto solución de la inecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
8. Dado el conjunto . 
¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es 
verdadera? 
I. 
II. 
III. 
 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo I y III 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
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EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 
 
Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
 
19  Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales 
9. El rendimiento del vehículo ( ) es de por lo menos 
 km. por litro; ¿Cuál es la inecuación que 
representa esta descripción? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
10. Si veces un número natural, es aumentado en 
unidades resulta un número mayor que , 
entonces ¿Cuál es el menor valor que puede tomar 
ese número natural? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
HOJA DE RESPUESTAS 
 
 
 
 
 
 
20 Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales  
 
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NÚMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
Nivel Avanzado 
 
1. Si , entonces es: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Ninguna de las anteriores 
 
2. Determina el valor de “ ” en la ecuación 
 
 
A) 
B) 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
 
3. La fórmula para calcular la rapidez de un objeto 
con aceleración constante es , donde 
Vf corresponde a la rapidez final, g es la 
aceleración, Vi es la rapidez inicial y t es el tiempo 
transcurrido. ¿Cuál de las siguientes expresiones 
representa siempre la aceleración? 
 
A) 
 
 
 
 
B) 
 
C) 
 
 
 
 
D) 
 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
4. Si el número es solución de la ecuación: 
 
 
 
Cuando es la incógnita, entonces según esta 
información, ¿cuánto vale ? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
5. ¿Para qué valor de son equivalentes las 
ecuaciones: 
 
 
 y 
 
 
 ? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Ninguna de las anteriores 
 
6. Considere la ecuación , en , con y 
 enteros no negativos. ¿Cuál de las 
siguientes condiciones permiten obtener siempre 
cómo solución de esta ecuación un número 
entero? 
 
A) 
B) 
C) múltiplo de 
D) divisor de 4 
 
7. Si , el triple de disminuido en es 
igual a: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
8. ¿Qué edad tendrá Pedro en 10 años? 
(1) La suma de las edades de Pedro y Juan es 45 
años 
(2) Pedro es menor que Juan por 5 años 
 
A) (1) por sí sola. 
B) (2) por sí sola. 
C) Ambas juntas, (1) y (2). 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
E) Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 
 
Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
 
21  Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales 
9. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente 
con la inecuación ? 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
10. La solución de la inecuación: 
 
 
 
 
 
 , 
corresponde al intervalo: 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
11. Encontrar el conjunto solución que satisface las 
inecuaciones: y . 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
12. ¿Cuál es el conjunto de todos los números que 
están a una distancia mayor que de y a una 
distancia menor que de ? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
 
 
 
 
13. A minutos de introducir un bactericida 
experimental en cierto cultivo, el número de 
bacterias está dado por 
 
 
 . ¿Cuál 
es el momento en que el número de bacterias está 
por debajo de ? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
 
14. Las pautas alimentarias para un adulto en cuanto al 
consumo de sodio diario recomiendan limitar el 
sodio a menos de 1500 mg al día. Una manzana de 
tamaño mediano contiene 2 mg de sodio por 
porción, aproximadamente, y un yogurt bajo en 
grasas contiene 90 mg de sodio en una porción de 
170 gramos. Si un adulto ya ha consumido 928 mg 
de sodio hasta la hora de almuerzo, luego de 
colación se sirve 340 gramos de yogurts y una 
manzana ¿Cuál de las siguientes inecuaciones 
permite determinar la cantidad máxima ( ) de 
yogurts que puede consumir en el resto del día 
para no sobrepasar la dosis de sodio? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
15. El número siempre pertenece al conjunto 
solución de la inecuación si: 
(1) 
(2) 
 
A) (1) por sí sola. 
B) (2) por sí sola. 
C) Ambas juntas, (1) y (2). 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
E) Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 Sesión A – 6 / Ecuaciones e Inecuaciones lineales  
 
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Guía de Destrezas A – 6: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
HOJA DE RESPUESTAS