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PREUNIVERSITARIO PREUCV DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA NÚMEROS 1 ➢➢➢Matemáticas – CLASE 11 I. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES Números Enteros (ℤ) a) Definición: Compuestos por los números naturales (enteros positivos), los enteros negativos y el cero. ℤ = {… , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } b) Operaciones en ℤ: Suma y resta Ej. −4 − 5 = −9 4 + 5 = 9 Ej. −4 + 5 = 1 4 − 5 = −1 Multiplicación y división Ej. 4 ∙ 5 = 20 (−4) ∙ (−5) = 20 Ej. 4 ∙ (−5) = −20 (−4) ∙ 5 = −20 Números Racionales (ℚ) a) Definición: aquellos que se puedan representar como una fracción. ℚ = { 𝑎 𝑏 / 𝑎, 𝑏 𝜖 ℤ, 𝑏 ≠ 0} A continuación, se presentan los contenidos del eje temático “Números”, exponiendo las principales características del conjunto de los números enteros y racionales, los porcentajes, las potencias, raíces y logaritmos. ℤ Neutro aditivo 0 𝑛 + 0 = 𝑛 Inverso aditivo −𝒏 n+ −𝑛 = 0 Neutro multiplicativo 1 𝑛 ∙ 1 = 𝑛 ℚ Neutro aditivo 0 𝑎 𝑏 + 0 = 𝑎 𝑏 Inverso aditivo − 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 + − 𝑎 𝑏 = 0 Neutro multiplicativo 1 𝑎 𝑏 ∙ 1 = 𝑎 𝑏 Inverso multiplicativo 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 ∙ 𝑏 𝑎 = 1 1. Signos iguales, se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo. 2. Signos distintos, se restan los valores absolutos y se mantiene el signo del número que tiene mayor valor absoluto. 1. Signos iguales resulta positivo. 2. Signos distintos resulta negativo. + + + ∙ = - + - ∙ = + - - ∙ = - - + ∙ = PREUNIVERSITARIO PREUCV DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Taller de ejercitación - 11: Números 2 Matemáticas – CLASE 11 b) Operaciones en ℚ: Suma y resta Ej. 1 4 + 5 6 = 1∙6+4∙5 4∙6 = 6+20 24 = 26:2 24:2 = 13 12 Ej. 1 4 + 5 6 = 1∙3 4∙3 + 5∙2 6∙2 = 3+10 12 = 13 12 Multiplicación Ej. 3 4 ∙ 8 12 = 3∙8 4∙12 = 24:12 48:12 = 1 2 Ej. División Ej. 3 4 : 8 12 = 3 4 ∙ 12 8 = 3∙12 4∙8 = 36:12 48:12 = 3 4 II. PORCENTAJE a) Representación: b) Cálculo: 𝑎% de una cantidad Multiplicando el porcentaje en su representación fraccionaria por la cantidad. Ejemplo 12% de 1500 = 12 100 ∙ 1500 = 12∙1500 100 = 18000 100 = 180 Multiplicando el porcentaje en su representación decimal por la cantidad Ejemplo 12% de 1500 = 0,12 ∙ 1500 = 180 Utilizando regla de tres, considerando que la cantidad es el 100%. Ejemplo 12% de 1500 𝑥 = 12 ∙ 1500 100 = 180 Porcentaje Cantidad 100 1500 12 x Hay otros cálculos referidos a los porcentajes, los cuales también se pueden resolver utilizando regla de tres ¿Qué porcentaje de b es a? Se considera b el 100% y a es la cantidad a la que corresponde el porcentaje buscado (x). Porcentaje Cantidad 100 500 x 120 Ejemplo ¿Qué porcentaje de 500 es 120? 𝑥 = 100 ∙ 120 500 = 24% 120 corresponde al 24% de 500 Representación 𝑎% 𝑎% = 𝑎 100 Fracción 12% = 12 100 = 3 25 Decimal 12% = 0,12 Estrategia 1: 𝑎 𝑏 ± 𝑐 𝑑 = 𝑎∙𝑑±𝑏∙𝑐 𝑏∙𝑑 Estrategia 2: amplificando y usando el M.C.M Estrategia 1: 𝑎 𝑏 ∙ 𝑐 𝑑 = 𝑎∙𝑐 𝑏∙𝑑 Estrategia 2: simplificando antes de multiplicar. 𝑎 𝑏 : 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏 ∙ 𝑑 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑑 𝑏 ∙ 𝑐 PREUNIVERSITARIO PREUCV DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Taller de ejercitación - 11: Números 3 ➢➢➢MATEMÁTICAS – CLASE 11 III. POTENCIAS a) Definición: 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 ; 𝑛 𝜖 ℕ Ejemplo: 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 Base: factor que se repite. Exponente: número de veces que se repite dicho factor. a) Propiedades: Nombre Propiedad Ejemplo Exponente positivo ( 𝒂 𝒃 ) 𝒏 = 𝒂𝒏 𝒃𝒏 ( 3 4 ) 3 = 33 43 Exponente negativo 𝒂−𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏 ( 𝒂 𝒃 ) −𝒏 = ( 𝒃 𝒂 ) 𝒏 = 𝒃𝒏 𝒂𝒏 4−3 = 1 43 ( 2 5 ) −3 = ( 5 2 ) 3 = 53 23 Potencia elevada a un exponente (𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏∙𝒎 (32)4 = 32∙4 = 38 Multiplicación de potencias de igual base 𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 (−2)3 ∙ (−2)5 = (−2)3+5 = (−2)8 División de potencias de igual base 𝒂𝒏: 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎 (−2)3: (−2)5 = (−2)3−5 = (−2)−2 = 1 (−2)2 Multiplicación de potencias de igual exponente 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 = (𝒂 ∙ 𝒃)𝒏 (−2)4 ∙ 34 = (−2 ∙ 3)4 = (−6)4 División de potencias de igual exponente 𝒂 𝒏: 𝒃𝒏 = (𝒂: 𝒃)𝒏 82: (−4)2 = (8 : −4)2 = (−2)2 Exponente fraccionario 𝒂 𝒎 𝒏 = √𝒂𝒎 𝒏 8 2 3 = √82 3 IV. RAÍCES a) Definición: 𝑎 1 𝑛 = √𝑎 𝑛 = 𝑏 tal que cumple que 𝑏𝑛 = 𝑎 Ejemplo: 8 1 3 = √8 3 = 2 pues 23 = 8 b) Propiedades: Nombre Propiedad Ejemplo División de raíces de igual índice √𝑎 𝑛 ∙ √𝑏 𝑛 = √𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 √2 3 ∙ √18 3 = √2 ∙ 18 3 = √36 3 División de raíces de igual índice √𝑎 𝑛 : √𝑏 𝑛 = √𝑎: 𝑏 𝑛 √36 3 : √18 3 = √36: 18 3 = √2 3 ¿De qué cantidad, b es el a%? Se considera a b como el a% de cierta cantidad desconocida, la cual corresponde al 100%. Porcentaje Cantidad 100 x 45 270 Ejemplo ¿De qué cantidad, 270 es el 45%? 𝑥 = 100∙270 45 = 600 600 es la cantidad equivalente al 100% n veces base exponente índice Cantidad subradical PREUNIVERSITARIO PREUCV DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Taller de ejercitación - 11: Números 4 Matemáticas – CLASE 11 Raíz de una raíz √ √𝑎 𝑛𝑚 = √𝑎 𝑚𝑛 √√5 43 = √5 3∙4 = √5 12 V. LOGARITMOS a) Definición: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑐 es equivalente a 𝑎 𝑐 = 𝑏 Ejemplo: 𝑙𝑜𝑔232 = 5 pues 2 5 = 32 b) Propiedades: Logaritmo de: Propiedad Ejemplo La unidad 𝒍𝒐𝒈𝒂𝟏 = 𝟎 𝑙𝑜𝑔251 = 0 La base 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒂 = 𝟏 𝑙𝑜𝑔2525 = 1 Una potencia de la base 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒂 𝒏) = 𝐧 𝑙𝑜𝑔2(2 5) = 5 Un producto 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚 𝑙𝑜𝑔3(9 ∙ 27) = 𝑙𝑜𝑔39 + 𝑙𝑜𝑔327 = 2 + 3 = 5 Una división 𝒍𝒐𝒈𝒂 ( 𝒙 𝒚 ) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 − 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚 𝑙𝑜𝑔2 ( 8 32 ) = 𝑙𝑜𝑔28 − 𝑙𝑜𝑔232 = 3 − 5 = −2 Una potencia cualquiera 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙 𝒚) = 𝒚 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 𝑙𝑜𝑔2(16 5) = 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔216 = 5 ∙ 4 = 20 Una raíz 𝒍𝒐𝒈𝒂( √𝒃 𝒏 ) = 𝟏 𝒏 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 𝑙𝑜𝑔2( √2 5 ) = 1 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔22 = 1 5 ∙ 1 = 1 5 Cambio de base de un logaritmo 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 = 𝒍𝒐𝒈𝒄𝒃 𝒍𝒐𝒈𝒄𝒂 𝑙𝑜𝑔168 = 𝑙𝑜𝑔28 𝑙𝑜𝑔216 = 3 4 VI. RELACIÓN ENTRE POTENCIA, RAÍZ Y LOGARITMO Potencia Raíz Logaritmo 𝑎𝑚 = 𝑏 √𝑏 𝑚 = 𝑎 log𝑎𝑏 = 𝑚 34 = 81 √81 4 = 3 log381 = 4 PREUNIVERSITARIO PREUCV DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Taller de ejercitación - 11: Números 5 ➢➢➢MATEMÁTICAS – CLASE 11 EJERCICIOS 1. En un curso universitario de 48 alumnos, los 3 8 tienen menos de 17 años y los 2 5 del resto tienen entre 17 y 18, ambas edades incluidas. ¿Cuántos alumnos tienen más de 18 años? a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 40 2. En una granja de animales se tiene que la razón entre la suma de la cantidad de corderos y la cantidad de vacas; y la suma del número de corderos, vacas y gallinas es 5: 7. También se sabe que la razón entre el número de corderos y la cantidad de corderos menos la cantidad de vacas es 4: 3. Si la cantidad de vacas es 40, ¿Cuántas gallinas hay en la granja? a) 40 b) 56 c) 80 d) 120 e) 160 3. Una persona compra un auto en P pesos y lo revende ganando un 20% de lo invertido inicial mente. Si el vendedor a su vez, lo vuelve a vender ganando un 5%. ¿Cuánto tuvo que pagar el ultimo comprador? a) 2,25P b) 1,25P c) 1,5 · 0,2P d) 1,05 · 1,2P e) 1,2 · 1,5P 4.Si a es un número real,En la expresión √9 − 6𝑎2 + 𝑎4 4 , ¿Cuál debe ser el o los valores de a para que esta represente un número real?: a) Para todos los números Reales b) Solo si a > 3 y a < - 3 c) Solo si a < 9 d) Solo si a > √3 y a < - √3 e) Si a esta entre −√3 𝑦 √3 5. En el censo de 1930 una ciudad registro una población de 20.000 habitantes. El año 1960 su población alcanzo los 60.000. Treinta años después la cuidad registro una población de 180.000 habitantes. Si el aumento de la población se mantiene de forman constante. ¿En cuánto se podría estimar la población en el año 2050? a) 210.000 b) 240.000 c) 300.000 d) 810.000 e) 1.620.000 6. Si n y a son números reales positivos distintos de 1, respectivamente. Se puede determinar el valor numérico de k en log n (5a –a2) – log n (5 –a) = k, si: (1) a = n, con n ≠ 5 (2) a = 2 a) Por si sola. b) Por si sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) o (2). e) Se requiere información adicional. PREUNIVERSITARIO PREUCV DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Taller de ejercitación - 11: Números 6 Matemáticas – CLASE 11 7. Una partícula se mueve con velocidad de v(t) = c·2-k·t donde c y k son constantes en función del tiempo t. Si la velocidad inicial es de 16 centímetros por minuto, y en 2 minutos se reduce a la mitad. ¿En qué momento la velocidad será de 2 cm/min? a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 8. Si tenemos que b = √4𝑘3 8 , entonces la expresión que se muestra resulta: 𝑏−5 · 𝑏13 𝑏7 · 𝑏−15 a) 1 b) 4𝑘6 c) 8𝑘6 d) 16𝑘6 e) 16𝑘9 9. Sea p, m, (p + m), …; una secuencia infinita de números enteros positivos, en que cada termino, a partir del segundo, se obtiene sumando un mismo valor al termino anterior. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdaderas? I. El cuarto término de la secuencia es (p + 2m). II. m es un número par. III. Si p es un número par, entonces todos los términos de la secuencia son números pares. a) Solo I. b) Solo III. c) I y II. d) II y III. e) I, II y III. 10. Un médico detecta que un paciente requiere mantener los niveles de un medicamento en la sangre. La cantidad C de miligramos que hay presente en ella va disminuyendo en el tiempo (t) en horas mediante la siguiente expresión: log C = 1 – 0,087·t log C = 1 – 0,087·t Es correcto que: I. La dosis que se administra de medicamento es de 1 mg. II. Al cabo de casi 23 hrs. la cantidad de medicamento será de 0,1 mg. III. A las 8 hrs. la cantidad de medicamento será de 10 0,34. a) Solo I. b) Solo III. c) II y III. d) I y III. e) I, II y III.
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