07 - Ecuaciones - Respuestas

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► Actividad 1 
Analice los siguientes enunciados y plantee las ecuaciones que le permitan arribar a la solución: 
1) La suma de un número y el triplo de su opuesto es –18. Calcúlelo: El número es 9 
2) En un triángulo isósceles el lado desigual es 
3
2
 de uno de los congruentes. Sabiendo que el 
perímetro es 4,8 cm, calcule las medidas de los lados: Los lados miden 1,8 cm (
9
5
 cm), 1,8 cm 
(
9
5
 cm) y 1,2 cm (
6
5
 cm) 
 
3) La mitad de un número natural multiplicada por su quinta parte es igual a 160. ¿Cuál es ese 
número?: El número es 40 
4) Si al doble de un número le sumas su mitad resulta 90. ¿Cuál es el número?: El número es 36 
5) Ana hizo un viaje en el coche, en el cuál consumió 20 litros de nafta. El trayecto lo hizo en 2 
etapas, en la primera consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa 
la mitad de lo que le quedaba. ¿Cuántos litros de nafta tenía inicialmente?: Ana tenía 24 litros 
de nafta 
6) Dos personas tienen 27 y 15 años de edad. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad 
de la mayor sea cuatro tercios de la edad de la menor?: Deben transcurrir 21 años 
 
► Actividad 2 
Resuelva analítica y gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones: 
4
3
13
2
2
x y
x y
x y

  

 

   

 
 
R: 
7 1
;
2 2
 
 
 
 
 
 
¿Son estrictamente necesarias todas las ecuaciones para resolver el sistema?: No son necesarias 
las 3 ecuaciones 
¿Cuántas ecuaciones que satisfagan al par ordenado que es solución de este sistema existen?: 
Solo son necesarias 2 de ellas. 
 
► Actividad 3 
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 
1)





32
23
yx
yx
 R:  1; 1 2) 







023
5
32
yx
yx
 R: 
15
5;
2
 
 
 
 
 
3) 







72
1
5
1
3
2
yx
yx
 R:  3;5 4)





3
0
yx
yx
 R: No tiene solución 
 
5) 





03
665
yx
yx
 R: 
6 2
;
7 7
 
 
 
 6) 





3
2
yx
yx
 R: 
5 1
;
2 2
 
  
 
 
 
 
► Actividad 4 
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 
1) 
1
2 3 5 6
3 5 6
x y z
x y z
x y z
  

   
   
R: 
11 55 31
; ;z
23 46 46
x y    
2) 
4
3 5 2 16
5 4 3 2
a b c
a b c
a b c
  

  
   
 R: a = 2; b = –2; c = 0 
3) 
2 2
2 0
2 3 4 4
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 R: 
14 8 34
; ;z
9 3 9
x y   
 
► Actividad 5 
1) Averigüe un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas supera en 6 a la de las 
unidades y ésta es la cuarta parte de la cifra de las decenas: El número es 82 
 
2) Calcule las edades de dos hermanos sabiendo que la razón de las mismas es 
4
5
 y dentro de 6 
años será 
6
7
: Las edades son 12 y 15 años 
 
3) Encuentre dos números tales que su diferencia es 
7
5
 y su razón 
2
5
: Los números son 
2
5
 y 
1 . 
 
4) Halle la base y la altura de un rectángulo sabiendo que, si se aumenta en 5 unidades la base 
y se disminuye en 1 la altura, el área no varía y la base inicial supera a la altura inicial en 4 
unidades: La altura del rectángulo es igual a 
9
4
 y la altura es igual a 
25
4
. 
 
5) Halle el área de un cuadrado sabiendo que el lado se incrementa en 2 unidades, su área se 
incrementa en 36: El área del cuadrado es igual a 64 
 
6) La presión de un gas A es cinco veces la de otro B, y sumadas dan 24 atm. ¿Cuál es la 
presión de cada gas?: La presión del gas A es igual a 20 atm y la del gas B es igual a 4 atm 
 
7) A cierta velocidad se puede realizar el tramo de un camino en tres horas. Incrementando la 
velocidad en 20 km h–1, retorné en dos horas. ¿Cuántos kilómetros recorrí en total?: Recorrí 
en total 240 km (120 km de ida y 120 km de vuelta) 
 
8) Un capitán del ejército congoleño quiso formar en cuadro al regimiento en el patio del 
cuartel. Ensayó hacerlo de dos maneras diferentes, pero en el primer intento le sobraron 39 
soldados. Al agregar un soldado más en cada fila le faltaron 50 ¿De cuántos hombres se 
componía el regimiento? La formación en cuadro consiste en colocar la misma cantidad de 
soldados en cada fila, tanto en el sentido frontal como en el lateral: El regimiento se 
componía de 1975 hombres 
 
9) El área de un rectángulo es 4 m2. Calcule las dimensiones del rectángulo sabiendo que, si a 
la longitud de la base la incrementamos en 1 m y a la altura la disminuimos en 2 m, el área 
del nuevo rectángulo sigue siendo 4 m2: La base del rectángulo mide 1 m y la altura 4 m 
 
10) Los grados Celsius y Fahrenheit están relacionados por la ecuación  32
9
5
 FC  . ¿Qué 
temperatura hay, si la misma medida en grados Celsius es la mitad que medida en grados 
Fahrenheit?: La temperatura es igual a 160 °C (320 °F) 
 
11) Un automovilista salió de Villa Médanos rumbo a Pampa Seca, recorriendo durante la 
primera hora el 30% del trayecto; durante los 60 minutos siguientes cubrió las dos séptimas 
partes del camino, tras lo cual se detuvo y preguntó a una persona que por allí pasaba, 
cuánto le faltaba aún para llegar a Pampa Seca. La respuesta que recibió fue 58 km. ¿Cuál es 
la distancia entre las dos localidades?: La distancia es igual a 140 km 
 
12) Para comprobar si su hijo Hernán estudiaba sus lecciones de álgebra, el Sr. Fernández le dijo 
una noche que le daría $8 por cada problema que resolviera acertadamente de los deberes 
que le daba el profesor, y que deduciría $5 por cada problema mal resuelto. Esa semana los 
problemas fueron 26. El sábado, el Sr. Fernández le preguntó a su hijo cuánto dinero debía 
darle, Hernán respondió: “Nada papá, estamos a mano”. ¿Cuántos problemas resolvió 
correctamente y en cuántos se equivocó?: Resolvió correctamente 10 problemas y se 
equivocó en 16 problemas. 
 
13) Un químico mide los volúmenes de cinco muestras. El promedio de esos volúmenes es 6 
mL, y si se toman sólo las primeras cuatro muestras el promedio da 7 mL. ¿Cuál es el 
volumen de la muestra restante?: El volumen de la muestra restante es igual a 2 mL 
 
14) La Sra. Villar envió a su hija al supermercado a comprar algunas cosas, dándole $20. 
Cuando Melisa regreso, le devolvió a su mamá $1 y a las preguntas de ésta sobre los gastos, 
la pequeña respondió: “El queso me costó $5 menos que la lata de atún y $4 más que la 
harina” ¿Cuánto pagó Melisa por el queso, la harina y la lata de atún?: Melisa pago por el 
queso $6, por la harina $2 y por la lata de atún $11 
 
15) Marta de Sánchez es una señora amante de todo lo que sea ingenio. El otro día sus amigas 
trataban de hacer que confiese la edad, mientras tomaban el té en casa de Angélica. 
Advertida de la maniobra, la Sra. de Sánchez, dijo: “Me doy cuenta de que quieren que les 
confiese mi edad; no tengo inconvenientes, pero para que les cueste un poco, les aclaro que 
mi edad sumada a las de mis dos hijos totaliza 60. Mi hijo mayor tiene dos veces la edad de 
su hermano, y yo tengo cuatro veces la suma de las edades de ellos”. La dueña de la casa, 
luego de pensar unos instantes, dijo: “Ya sé que edad tenés...” ¿Cuál fue la respuesta de 
Angélica?: La respuesta de Angélica fue 48 años. 
 
► Actividad 6 
Resuelva los siguientes sistemas. Es importante notar que obtener un resultado numérico no 
basta para afirmar que el sistema tenga solución. Siempre debe verificarse que esa solución 
resuelva las ecuaciones iniciales de una forma válida. 
 
2 2
1)
6
y x x
x y
  

 
 R: (3; –3) y (–2; –8) 
 
2
2 ( )
2)
( )( )
x y x y
x y x y y
   

  
 R:    2 2; 1 2 y 2 2; 1 2      
 
2
2 2
( ) ( 2 ) 4
3)
4
x y y y x
x y
    

 
 R: (2; 0) y (–2; 0) 
 
2
(1 2)
4
3 .3 9
4)
55
t v
t v
 
 


  
 R: (1; 1) 
 
10log ( 1) 0
5)
x
x
y
y
 




 R:    2; 2 y 2; 2 
 
► Actividad 7 
Resuelva las siguientes inecuaciones: 
1) En una reunión hay veinte familias, cadauna de ellas integrada por: los padres, al menos un 
hijo y a lo sumo cuatro hijos. Averigüe entre qué números está comprendida la cantidad de 
presentes: Entre el 60 y el 120, ambos inclusive. 
 
2) Halle los pares de números naturales consecutivos tales que su suma esté comprendida entre 
39 y 49 (sin incluirlos): 20 y 21; 21 y 22; 22 y 23; 23 y 24 
 
3) La medida del perímetro de un rectángulo debe estar comprendida entre 48 m y 80 m. 
Sabiendo que la altura no supera a 8 m, exprese mediante inecuaciones las condiciones, 
represente la solución y proponga tres pares de números enteros para las medidas de la base y 
la altura: 
2 2 48
2 2 80
8
a b
a b
a
 

 
 
 
R: base = 18 m y altura = 8 m; base = 30 m y altura = 5 m; base = 35 m y altura = 2 m 
1) Héctor Baniani es un hombre emprendedor. El otro día inauguró una nueva sucursal que 
magnifica así su cadena de confiterías. En esta sucursal se vendieron, en sólo una semana, 
100 tortas de cumpleaños. Unas de primera calidad a $80 y otras, de inferior calidad, a $50 
cada torta. El Sr. Baniani revisa los duplicados de las boletas de venta y ve que el total de lo 
cobrado por las 100 tortas asciende a $6200. La pregunta que se hace nuestro buen hombre 
es: ¿Cuántas tortas de una y otra calidad se vendieron?: Se vendieron 60 tortas de calidad 
inferior y 40 tortas de primera calidad 
 
2) En un corral con aves y conejos hay 23 cabezas y 60 patas. ¿Cuántas aves y cuántos conejos 
hay?: Hay 16 aves y 7 conejos 
 
3) Un alambre de 40 cm de longitud se cortó en dos pedazos. Una de las partes se dobló 
formando un cuadrado, y la otra un rectángulo, que es tres veces más largo que ancho. La 
suma de las áreas es 55,75 cm2. ¿En qué lugar se cortó el alambre?: El alambre se cortó en 
trozos de 28 cm y 12 cm, o en trozos de 44/7 cm y 236/7 cm. 
 
4) El Sr. Nemi era un apasionado de la filatelia, tanto que cuando su hijo Jorge cumplió años, 
le regaló un álbum y, además, durante 5 días, le compró 100 hermosas estampillas africanas. 
Cada día adquirió 6 más que el día anterior. ¿Cuántas estampillas compró cada día?: El 
primer día compro 8, el segundo 14, el tercero 20, el cuarto 26 y el quinto 32 estampillas. 
 
5) Un campo de 730 ha está sembrado con trigo, y dividido en 2 parcelas. En una, la 
producción es de 3 toneladas por hectárea, y en la otra, 2 toneladas por hectárea. ¿Cuántas 
hectáreas tiene cada parcela, si la producción total es de 2030 toneladas?: Una de las 
parcelas tiene 160 ha y la otra 570 ha 
 
7) Martín Boussacera un matemático en cuya cabeza germinaban las ideas más estrafalarias. En 
la ciudad ya todos lo conocían, así es que sus extravagancias no llamaban la atención a nadie. 
Un día entró en una librería y dijo al dueño: Présteme tanto dinero como el que ahora tengo 
en la billetera y gastaré $ 100. El librero aceptó la proposición de Martín y éste gastó $ 100. 
Luego, el matemático se dirigió a una perfumería y le dijo a la dueña: Présteme tanto dinero 
como el que ahora llevo conmigo y gastaré $100 aquí. La dueña de la perfumería acepta el 
trato y Boussac gastó otros $100. Finalmente fue a un restaurante, repitió por tercera vez su 
pedido, que fue aceptado por el dueño, almorzó, y, después de pagar la cuenta se quedó sin 
un centavo. ¿Cuánto dinero llevaba Martín Boussac consigo cuando entró en la librería?: 
Martín tenía $87,5 
 
7) Diofanto vivió un sexto de su vida como niño, una doceava parte como joven, y una séptima 
parte como adulto soltero. Un hijo nació cinco años después del matrimonio de Diofanto, 
pero este hijo murió cuatro años antes que su padre. Diofanto vivió el doble que su hijo. 
Calcule a qué edad murió Diofanto.: Diofanto murió a los 84 años. 
1) Un químico gastó la sexta parte de una muestra en el ensayo N°1, la doceava parte del total en 
el ensayo N°2, la tercera parte del total en el ensayo N°3 y aún le quedan 
2
5
 g. El peso de la 
muestra original era: 
d) 6 g 
 
 
2) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones 
 





1236
42
yx
yx
I 





1242
82
yx
yx
II 





10
822
yx
yx
III 
 
Se puede afirmar que 
c) Sólo III tiene solución única 
 
 
3) Suponga que se tienen dos cajas, una con 360 bolitas negras y la otra con 930 bolitas blancas, 
y se quieren armar las siguientes estructuras: 
 
 
 
 
El número máximo de estructuras de cada tipo que se pueden armar es: 
 
b) 150 de tipo 1 y 210 de tipo 2 
 
4) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 





ayx
yx 1
 
Las expresiones de x que satisfacen este sistema de ecuaciones son: 
 
b) 
2
411
2
411
21
a
x
a
x



 
 
5) La altura (h) para una serie de triángulos puede ser descripta como 64  h y la base (b) 
como 108  b . ¿Cuál de las siguientes es la mejor descripción de las áreas (A) para esa 
serie de triángulos? 
 
c) 3016  A 
Tipo 1 
Tipo 2