Integrales impropias

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Integral definida
Dpto. Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida Ciclo: 2020 -II 1 / 16
Contenido
1 2.5.1 Integral impropia de primera especie
2 2.5.2 Integral impropia de segunda especie
3 2.5.3 Integral impropia de tercera especie
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral definida 2 / 16Ciclo: 2020 -II
2.5 Integral impropia
Definición (Integral impropia)
Se dice que la integral
∫ b
a
f (x)dx es una integral impropia si se cumple al menos una de las
condiciones siguientes:
i) a = −∞ ∨ b = ∞
ii) Si existe un c ∈ I tal que lim
x→c
f (x) = −∞ ∨ lim
x→c
f (x) = ∞, donde I es el intervalo de
integración.
Ejemplo 1. A continuación mencionaremos algunas integrales impropias:
a)
∫ 0
−∞
ex sen xdx b)
∫ ∞
e
1
x
dx c)
∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx
d)
∫ 4
0
1
x − 4dx e)
∫ 3
−1
1
x2 − 9dx f )
∫ 5
−4
1
(1− x)2/3 dx
g)
∫ ∞
0
1
x
dx h)
∫ 4
−∞
2x
x2 − 4dx i)
∫ ∞
−∞
1
(1 + x)2
dx
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Ciclo: 2020 -II
Definición (Integral convergente)
Se dice que la integral impropia
∫ b
a f (x)dx es convergente si
∫ b
a f (x)dx ∈ R.
En el caso que
∫ b
a f (x)dx = −∞ ∨
∫ b
a f (x)dx = ∞, se dirá que la integral
∫ b
a f (x)dx es
divergente.
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2.5.1 Integral impropia de primera especie
Es la integral con intervalo de integración no acotado y el integrando es continua en el
intervalo de integración. Se presentan los casos siguientes:
Caso 1.
∫ b
−∞
f (x)dx
def
= lim
a→−∞
∫ b
a
f (x)dx ,donde f es una función continua en < −∞, b]
Caso 2.
∫ ∞
a
f (x)dx
def
= lim
b→∞
∫ b
a
f (x)dx ,donde f es una función continua en [a, ∞ >
Caso 3.
∫ ∞
−∞
f (x)dx
def
=
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ ∞
c
f (x)dx ,donde f es continua en < −∞, ∞ >
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Ejercicios resueltos de integrales impropias de 1era especie
Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de:
∫ 0
−∞
2x
x2 + 1
dx
Solución ∫ 0
−∞
2x
x2 + 1
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
2x
x2 + 1
dx
= lim
a→−∞
(
ln(x2 + 1)
∣∣0
a
)
= lim
t→−∞
(ln (1)− ln
(
a2 + 1
)
)
= − lim
a→−∞
ln
(
a2 + 1
)
= −∞
Por lo tanto, la integral diverge.
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Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de:
∫ ∞
0
xe−xdx
Solución Por definición de integral impropia y luego por integración por partes con
u = x , dv = e−xdx ,se tiene:
∫ ∞
0
xe−xdx = lim
b→∞
∫ b
0
xe−xdx
= lim
b→∞
[
−xe−x − e−x
]b
0
= lim
b→∞
[
−e−b − be−b + 1
]
= 1
Por lo tanto, la integral converge al valor de 1.
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Ejercicios propuestos
En cada uno de los siguientes integrales analice si la integral es convergente. En caso
afirmativo, determine su valor:
1 .
∫ 0
−∞
1
(x − 1)(x − 2)dx
2 .
∫ ∞
1
ln x
x2
dx
3 .
∫ ∞
−∞
x
x4 + 15
dx
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2.5.2 Integral impropia de segunda especie
Es la integral con intervalo de integración acotado y el integrando no es acotado . Se
presentan los casos siguientes:
Caso 1. Si f es una función continua en el intervalo < a, b], y si lim
x→a+
f (x) = +∞ ∨−∞,
se define como:
∫ b
a
f (x)dx
def
= lim
ε→0+
∫ b
a+ε
f (x)dx
Caso 2. Si f es una función continua en el intervalo [a, b >, y si lim
x→b−
f (x) = +∞ ∨−∞,
se define como:
∫ b
a
f (x)dx = lim
ε→0+
∫ b−ε
a
f (x)dx
Caso 3. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] excepto en x = c ∈< a, b >
y lim
x→c
f (x) = ∞, donde c ∈< a, b >:
∫ b
a
f (x)dx
def
= lim
ε→0+
∫ c−ε
a
f (x)dx + lim
ε→0+
∫ b
c+ε
f (x)dx
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Ejercicios resueltos de integrales impropias de 2da especie
Ejemplo. Determine la convergencia o divergencia de:
∫ 1
0
1
(x − 1)2/3
dx
Solución
Se observa que el integrando f (x) =
1
(x − 1)2/3
no es acotado en x = 1 ∈ [0, 1] pues
lim
x→1
f (x) = ∞. Luego, por definición de integral impropia de 2da especie se tiene:
∫ 1
0
1
(x − 1)2/3
dx = lim
ε→0+
∫ 1−ε
0
1
(x − 1)2/3
dx
= lim
ε→0+
[
3(x − 1)1/3
]1−ε
0
= 3 lim
ε→0+
[ε1/3 + 1]
= 3
Por lo tanto, la integral converge al valor de 3.
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Ejemplo. Calcule:
∫ 9
−1
1
5
√
(x − 7)4
dx
Solución Se observa que el integrando f (x) =
1
5
√
(x − 7)4
no es acotado en x = 7 ∈ [−1, 9]
pues lim
x→7
f (x) = ∞. Luego, por definición de integral impropia de 2da especie se tiene:
∫ 9
−1
1
5
√
(x − 7)4
dx =
∫ 7
−1
1
5
√
(x − 7)4
dx +
∫ 9
7
1
5
√
(x − 7)4
dx
= lim
ε→0+
∫ 7−ε
−1
1
5
√
(x − 7)4
+ lim
ε̂→0+
∫ 9
7+ε̂
1
5
√
(x − 7)4
= lim
ε→0+
[
5(x − 7)1/5
]7−ε
−1
+ lim
ε̂→0+
[
5(x − 7)1/5
]9
7+ε̂
= 5 lim
ε→0+
[−ε1/5 + 81/5] + 5 lim
ε̂→0+
[21/5 − ˆε1/5+]
= 5(
5
√
8 +
5
√
2)
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Ejemplo. Calcule:
∫ 0
−1
arcsen x√
1− x2
dx
Solución Se observa que el integrando f (x) =
arcsen x√
1− x2
no es acotado en x = −1 pues
lim
x→−1
f (x) = ∞. Luego, por definición de integral impropia de 2da especie se tiene:
∫ 0
−1
arcsen x√
1− x2
dx = lim
ε→0+
∫ 0
−1+ε
arcsen x√
1− x2
dx
= lim
ε→0+
[
(arcsen x)2
2
]0
−1+ε
= lim
ε→0+
[
(arcsen 0)2
2
− (arcsen(−1 + ε))
2
2
]
= lim
ε→0+
[
− (arcsen(−1 + ε))
2
2
]
= −π
2
8
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Ejercicios propuestos
En cada uno de los siguientes integrales analice si la integral es convergente. En caso
afirmativo, determine su valor:
1 .
∫ 1
−1
1
3
√
x
dx
2 .
∫ 1/4
0
1
x ln x2
dx
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2.5.3 Integral impropia de tercera especie
Es la integral cuyo intervalo de integración es no acotado y su integrando no es acotado . Para
el estudio de su convergencia éstas integral se descomponen en tantas integrales de modo que
cada una de los sumando sea una integral de primer o de segunta especie. En el caso que cada
una de las integrales del lado derecho es convergente la integral estudiada será convergente,
pero si una de la integrales del lado derecho es divergente la integral estudiada es divergente.
Ejemplo. Para estudiar la convergencia de la integral
∫ ∞
−3
x − 18
(x − 1)(x + 2)dx , una forma de
descomponer ésta integral será:∫ ∞
−3
f (x)dx =
∫ −2
−3
f (x)dx +
∫ 0
−2
f (x)dx +
∫ 1
0
f (x)dx +
∫ ∞
1
f (x)dx
, donde f (x) =
x − 18
(x − 1)(x + 2)
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Ejercicios resueltos de integrales de 3ra especie
Ejemplo. Analice si
∫ ∞
0
1
3
√
x
dx es una integral convergente.
Solución
Es claro que
∫ ∞
0
1
3
√
x
dx es una integral de tercera especie.
I =
∫ ∞
0
1
3
√
x
dx =
∫ 1
0
1
3
√
x
dx +
∫ ∞
1
1
3
√
x
dx
I1 =
∫ 1
0
1
3
√
x
dx = lim
ε→0+
∫ 1
0+ε
1
3
√
x
dx = lim
ε→0+
[
3
2
x2/3
]1
ε
= lim
ε→0+
[
3
2
− 3
2
ε2/3] = 1
I2 =
∫ ∞
1
1
3
√
x
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
3
√
x
dx = lim
b→∞
[
3
2
x2/3
]b
1
= lim
b→∞
[
3
2
b2/3 − 3
2
] = ∞
Como I1 es divergente, entonces, I =
∫ ∞
0
1
3
√
x
dx es divergente.
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Ejercicios propuestos
En cada uno de los siguientes integrales analice si la integral es convergente. En caso
afirmativo, determine su valor:
1 .
∫ ∞
0
1
x2 + x
dx
2 .
∫ ∞
0
1√
x(x + 1)
dx
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