Integrales de funciones racionales seno y coseno

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Integral Indefinida
Departamento Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo 2020 - II
Departamento Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo 2020 -II 1 / 13
Contenido
1 1.3.5 Integrales de funciones racionales de seno y coseno
2 Función racional de seno y coseno
3 Sustitución universal
4 Métodos de integración
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Funcion racional de seno y coseno
Definición
Una función racional de seno y coseno tiene la forma:
I =
∫
R(senx, cosx)dx.
Donde R es una función racional que contiene senos y cosenos.
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Sustitucion universal
La sustitucion universal
z = tan
(x
2
)
.
Convierte el integrando R(senx, cosx) en una función racional de variable z.
De la sustitución universal, tenemos
x = 2arctan z ⇒ dx = 2dz
1 + z2
,
además
cosx =
1− z2
1 + z2
y senx =
2z
1 + z2
.
Estas igualdades se sutituyen en la integral para convertir el integrando en una función
racional de variable z.
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Ejemplo 1
Determine la siguiente integral
I =
∫
dx
1 + senx+ cosx
.
Resolución : La función racional es
R(senx, cosx) =
1
1 + senx+ cosx
,
usando la sustitución universal
z = tan
(x
2
)
.
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Tenemos
I =
∫
dx
1 + senx+ cosx
=
∫ 2dz
1+z2
1 + 2z1+z2 +
1−z2
1+z2
,
=
∫
2dz
2z + 1
= ln |z + 1|+ C,
volviendo a la variable original x, obtenemos
I = ln | tan x
2
+ 1|+ C.
La sustitución universal en muchos casos conduce a integrales de fracciones racionales
complicadas de calcular, para esto es preferible usar otras sustituciones según el caso que
se presente.
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Métodos de integración
Si R(cosx, senx) es par en senx y cosx. Es decir, R(senx, cosx) = R(− senx,− cosx) Entonces
usamos z = tanx.
Determine
I =
∫
dx
3 + cos2 x
.
Resolución : Tenemos R(senx, cosx) =
1
3 + cos2 x
=
1
3 + (− cosx)2
= R(− senx,− cosx), luego
z = tanx⇒ dz = sec2 xdx, por tanto dx = dz√
1 + z2
, además
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Reemplazando
I =
∫
dz
4 + 3z2
=
1
4
∫
dz
1 + (
√
3z/2)2
,
=
1
2
√
3
∫
du
1 + u2
,
donde hemos hecho el cambio de variable u =
√
3z/2⇒ du =
√
3dz/2, luego
I =
1
2
√
3
arctan(u) + C,
volviendo a la variable x, obtenemos
I =
1
2
√
3
arctan
(√
3z
2
)
+ C,
I =
1
2
√
3
arctan
(√
3 tanx
2
)
+ C.
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Si R(senx, cosx) es impar en cosx. Es decir, R(senx, cosx) = −R(senx,− cosx). Entonces
usamos z = senx.
Determine
I =
cosxdx
1 + sen2 x
.
Resolución : Tenemos R(senx, cosx) =
cosx
1 + sen2 x
= − − cosx
3 + senx2
= −R(senx,− cosx),
luego z = senx.
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Reemplazando
I =
∫
−dz
z(z + 1)
= −
[∫
dz
z
−
∫
dz
z + 1
]
,
= (ln |z| − ln(|1 + z|)) + c = ln
∣∣∣∣1 + zz
∣∣∣∣+ C,
vovliendo a la variable x, obtenemos
I = ln
∣∣∣∣1 + senxsenx
∣∣∣∣+ C.
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Si R(senx, cosx) es impar en senx. Es decir, R(senx, cosx) = −R(− senx, cosx). Entonces
usamos z = cosx.
Determine
I =
∫
senx cosxdx
sen4 x− cos4 x
.
Resolución : Tenemos
R(senx, cosx) =
senx cosx
sen4 x+ cos4 x
= − − senx cosx
sen4 x− cos4 x
− = −R(− senx, cosx), luego z = cosx.
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Reemplazando
I = −
∫
zdz
(
√
1− z2)4 − z4
= −
∫
zdz
1− 2z2
,
= −
∫
du/2
1− 2u
, si u = z2 ⇒ du = dz/2,
= −1
2
∫
du
1− 2u
=
1
4
∫
du
u− 1/2
=
1
4
ln |u− 1/2|+ C,
volviendo a la variable z, obtenemos
=
1
4
ln |z2 − 1/2|+ C,
y por tanto
=
1
4
ln | cos2 x− 1/2|+ C.
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Ejercicios Propuestos :
1 Halle la siguiente integral I =
∫
dx
1 + sen2 x
.
2 Halle la siguiente integral I =
∫
dx
1 + a cosx
.
3 Halle la siguiente integral I =
∫
cosxdx
5 + 4 cosx
.
4 Halle la siguiente integral I =
∫
dx
a cosx+ b senx
.
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	1.3.5 Integrales de funciones racionales de seno y coseno
	Función racional de seno y coseno
	Sustitución universal 
	Métodos de integración