Integración por sustitución trigonométrica

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Integral Indefinida
Dpto. Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 1 / 17
Integración Trigonométrica
Casos inmediatos:∫
sen(nx)dx = −1
n
cos(nx) + C∫
cos(nx)dx =
1
n
sen(nx) + C∫
sec2(nx)dx =
1
n
tan(nx) + C∫
tan(x)dx = − ln | cos(x)|+ C = ln | sec(x)|+ C
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Forma 1: Integrales que involucran producto de seno y coseno con
diferentes ángulos
∫
sen(mx) cos(nx)dx
∫
cos(mx) cos(nx)dx
∫
sen(mx) sen(nx)dx
Estas integrales se determinan usando las siguientes identidades trigonométricas:
(i) sen(mx) cos(nx) =
1
2
[sen(mx − nx) + sen(mx + nx)]
(ii) cos(mx) cos(nx) =
1
2
[cos(mx − nx) + cos(mx + nx)]
(iii) sen(mx) sen(nx) =
1
2
[cos(mx − nx)− cos(mx + nx)]
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Ejemplo. Calcule
∫
sen(32x) cos(25x)dx .
Solución. ∫
sen(32x) cos(25x)dx =
∫
1
2
[sen(32x − 25x) + sen(32x + 25x)] dx
=
1
2
∫
(sen(7x) + sen(57x))dx
= −1
2
(
cos(7x)
7
+
cos(57x)
57
)
+ C .
Ejemplo. Calcule
∫
cos(30x) cos(22x)dx .
Solución. ∫
cos(30x) cos(22x)dx
por (ii)
=
1
2
∫
(cos(8x) + cos(52x))dx
=
1
2
(
sen(8x)
8
+
sen(52x)
52
)
+ C .
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Forma 2: Integración que involucran potencias de seno y coseno
Integrales de la forma ∫
senm(x) cosn(x)dx
donde m o n son números enteros positivos.
Caso 1: cuando m es impar (m = 2k + 1).∫
sen2k+1(x) cosn(x)dx =
∫
(sen2(x))k sen(x) cosn(x)dx
=
∫
(1− cos2(x))k cosn(x) sen(x)dx .
Lo que sigue después se resuelve por el método de sustitución.
De manera similar podemos proceder para el caso de n impar.
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Caso 2: cuando m y n son pares.∫
senm(x) cosn(x)dx =
∫
sen2k(x) cos2r (x)dx
En este caso, repetidamente usamos las siguientes identidades
cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
sen2(x) =
1− cos(2x)
2
sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)
para disminuir los exponentes y reducir la integral al caso 1.
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Ejemplo. Encuentre
∫
sen5(x) cos2(x)dx .
Solución.∫
sen5(x) cos2(x)dx =
∫
sen4(x) sen(x) cos2(x)dx
=
∫
(sen2(x))2 cos2(x) sen(x)dx
=
∫
(1− cos2(x))2 cos2(x) sen(x)dx , haciendo cos x = t
=
∫
(1− t2)2t2(−dt)
= −
∫
(t2 − 2t4 + t6)dt
= −
(
1
3
t3 − 2
5
t5 +
1
7
t7
)
+ C
= −1
3
cos3(x) +
2
5
cos5(x)− 1
7
cos7(x) + C .
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Forma 3: Integrales que involucran potencias de tangente y secante
Las integrales de la forma ∫
tanm(x) secn(x)dx
donde m o n son números enteros positivos, se determinan del siguiente modo:
Caso 1. Si n es par (n = 2k), entonces∫
tanm(x) sec2k(x)dx =
∫
tanm(x)(sec2(x))k−1 sec2(x)dx
=
∫
tanm(x)(1 + tan2(x))k−1 sec2(x)dx .
Luego, haciendo u = tan x , tenemos∫
tanm(x) sec2k(x)dx =
∫
um(1 + u2)k−1du.
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Caso 2. Si m es impar (m = 2k + 1), entonces∫
tan2k+1(x) secn(x)dx =
∫
(tan2(x))k tan(x) secn−1(x) sec(x)dx
=
∫
(sec2(x)− 1)k secn−1(x) tan(x) sec(x)dx
Finalmente, haciendo u = sec(x), se tiene∫
tan2k+1(x) secn(x)dx =
∫
(u2 − 1)kun−1du.
Caso 3. Si m es un número entero positivo, entonces∫
tanm(x)dx =
∫
tanm−2(x) tan2(x)dx
=
∫
tanm−2(x)(sec2(x)− 1)dx .
Nota: Se procede de manera similar para integrales involucren potencias de cotangente y
cosecante.
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 9 / 17
Ejemplo. Calcule las siguientes integrales:
(a)
∫
tan5(x) sec9(x)dx (b)
∫
tan5(3x)dx
Solución
(a) Usando el caso 2, obtenemos∫
tan5(x) sec9(x)dx =
∫ (
sec2(x)− 1
)2
sec8(x) tan(x) sec(x)dx
=
∫ (
sec4(x)− 2 sec2(x) + 1
)
sec8(x)(tan(x) sec(x)dx)
=
∫ (
sec12(x)− 2 sec10(x) + sec8(x)
)
(tan(x) sec(x)dx)
=
sec13(x)
13
− 2
11
sec11(x) +
sec9(x)
9
+ C .
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(b) Usando el caso 3, obtenemos∫
tan5(3x)dx =
∫
tan3(3x)(sec2(3x)− 1)dx
=
∫
tan3(3x) sec2(3x)dx −
∫
tan3(3x)dx
=
∫
tan3(3x)d
(
tan(3x)
3
)
−
∫
tan(3x)(sec2(3x)− 1)dx
=
tan4(3x)
12
−
∫
tan(3x) sec2(3x)dx +
∫
tan(3x)dx
=
tan4(3x)
12
− tan
2(3x)
6
+
ln | sec(3x)|
3
+ C
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Ejercicios propuestos
Encuentre las siguientes integrales:
1
∫
cos3(4x) sen7(4x)dx
2
∫
cos5(2x)
3
√
sen(2x)
dx
3
∫
sen4(6x) cos2(6x)dx
4
∫
cot5(ax)dx , a > 0.
5
∫
tan5(5x) sec3(5x)dx
6
∫
cot5(7x) csc7(7x)dx
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Integración por sustitución trigonométrica
Para las integrales que contienen expresiones como√
a2 − x2,
√
a2 + x2 y
√
x2 − a2,
donde a > 0, el método para integrar tales funciones es realizar un cambio de variable del
siguiente modo:
Radical Sustitución Restricción sobre θ√
a2 − x2 x = a sen θ −π/2 ≤ θ ≤ π/2√
a2 + x2 x = a tan θ −π/2 ≤ θ ≤ π/2√
x2 − a2 x = a sec θ 0 ≤ θ ≤ π, θ 6= π/2
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 13 / 17
Ejemplo. Calcule
∫
dx
x2
√
4− x2
.
Solución. Haciendo x = 2 sen θ, −π
2
≤ θ ≤ π
2
tenemos que dx = 2 cos θdθ y
√
4− x2 = 2 cos θ. Aśı,∫
dx
x2
√
4− x2
=
∫
cos θdθ
4 sen2 θ cos θ
=
1
4
∫
csc2 θdθ = −1
4
cot θ + c
Como sen θ =
x
2
entonces cot θ =
√
4− x2
x
.
Finalmente, ∫
dx
x2
√
4− x2
= − cot θ =
√
4− x2
4x
+ c
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Ejemplo. Obtenga
∫ √
x2 + 1
x
dx .
Solución. Sea x = 1 · tan θ entonces dx = sec2 θdθ y
√
x2 + 1 = sec θ.
Aśı, ∫ √
x2 + 1
x
dx =
∫
sec θ sec2 θdθ
tan θ
=
∫
sec θ(1 + tan2 θ)dθ
tan θ
=
∫
sec θdθ
tan θ
+
∫
sec θ tan2 θdθ
tan θ
=
∫
csc θdθ +
∫
sec θ tan θdθ
= ln | csc θ − cot θ|+ sec θ + C
= ln
∣∣∣∣∣
√
x2 + 1− 1
x
∣∣∣∣∣+√x2 + 1 + C .
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 15 / 17
Ejemplo. Calcule
∫
dx
x3
√
x2 − 9
.
Solución. Haciendo x = 3 sec θ tenemos que dx = 3 sec θ tan θdθ y
√
x2 − 9 = 3 tan θ. Aśı,∫
dx
x3
√
x2 − 9
=
∫
3 sec θ tan θdθ
27 sec3 θ(3 tan θ)
=
1
27
∫
cos2 θdθ
=
1
27
∫
1
2
(1 + cos 2θ)dθ
=
1
54
(
θ +
sen 2θ
2
)
+ C
=
1
54
(θ + sen θ cos θ) + C
=
1
54
(
arcsec
(x
3
)
+
3
√
x2 − 9
x2
)
+ C
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 16 / 17
Ejercicios Propuestos
Calcule las siguientes integrales.
1
∫
xdx√
5− (3− x)2
2
∫
dx
(x2 − 2x + 5)2
3
∫
x3
(4x2 + 9)3/2
dx
4
∫
dx√
x2 − 2x − 8
5
∫
x2dx√
6x − x2
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Indefinida Ciclo: 2020 - II 17 / 17
	1.3.2 Integración trigonométrica
	1.3.3 Integración por sustitución trigonométrica