Ejercicios resueltos Límites Algebraicos Parte 1

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1 Límites
Problema 1 Sea la función f de�nida por f(x) =
jxj
x
: Calcule, si existe
lim
x!0
f(x):
Solución.
Sabemos que jxj =
�
x ; x � 0
�x ; x < 0 ;esto implica que debemos consid-
erar los límites laterales alrededor de x0 = 0:
lim
x!0�
�x
x
= lim
x!0�
�1 = �1 ; lim
x!0+
x
x
= lim
x!0�
1 = 1 :
Como los límites laterales son distintos, en virtud del teorema de unicidad
del límite, se tiene que no existe lim
x!0
f(x):
Problema 2. Calcule, si existe lim
x!�1
5x2sgn (x� 1) + 3
2x+ 1
:
Solución.
Sabemos que sgn (x� 1) =
8<: 1 ; x > 10 ; x = 1�1 ; x < 1
En virtud del caracter local del límite, x ! �1 signi�ca que los valores
de x se encuentran en un intervalo abierto con centro en x = �1; es decir
x 2 h�1� �;�1 + �i dentro del cual todos los valores cumplen x < 1; por
lo tanto sgn(x� 1) = �1:
Luego el límite queda como
lim
x!�1
5x2sgn (x� 1) + 3
2x+ 1
= lim
x!�1
�5x2 + 3
2x+ 1
= 2:
Problema 3. Halle lim
x!1
2x2 + x� 1
x3 � 5x+ 6 :
Solución: lim
x!2
2x2 + x� 1
x3 � 5x+ 6 =
2(4) + 2� 1
8� 5(2) + 6 =
9
4
2 Cálculo de límites de la forma 0/0.
Problema 4. Calcule lim
x!�1
�2x4 + 7x3 � 9x
�x3 + 2x2 + 3x :
Solución
evaluando el límite tenemos lim
x!�1
�2x4 + 7x3 � 9x
�x3 + 2x2 + 3x =
0
0
1
para eliminar la indeterminación factorizamos numerador y denominador
con el �n de eliminar los factores (x+ 1)
lim
x!�1
�2x4 + 7x3 � 9x
�x3 + 2x2 + 3x = limx!�1
�x(x+ 1)(2x2 � 9x+ 9)
�x(x+ 1)(x� 3) = limx!�1
(2x2 � 9x+ 9)
(x� 3) = 5
Problema 5. Calcule
lim
x!4
3�
p
5 + x
1�
p
5� x
:
Solución.
Evaluando el límite tenemos lim
x!4
3�
p
5 + x
1�
p
5� x
= lim
x!0
x
p
2x2 + 3x+ 1 + x 3
p
3x� 1p
x2 + 1� 2 4
p
x2 + 1 + 3
p
x2 + 1
:
Para eliminar la indeterminación, se multiplica al numerador y al denominador
por la conjugada del numerador, así como por la conjugada del denomi-
nador.
lim
x!4
3�
p
5 + x
1�
p
5� x
= lim
x!4
�
3�
p
5 + x
� �
3 +
p
5 + x
� �
1 +
p
5� x
��
1�
p
5� x
� �
1 +
p
5� x
� �
3 +
p
5 + x
�
= lim
x!4
�
32 � (5 + x)
� �
1 +
p
5� x
�
(1� (5� x))
�
3 +
p
5 + x
�
= lim
x!4
(4� x)
�
1 +
p
5� x
�
(x� 4)
�
3 +
p
5 + x
� = � lim
x!4
1 +
p
5� x
3 +
p
5 + x
= �1
3
:
Problema 6. Calcule
lim
x!0
x
p
2x2 + 3x+ 1 + x 3
p
3x� 1p
x2 + 1� 2 4
p
x2 + 1 + 3
p
x2 + 1
:
Solución.
Evaluando el límite tenemos lim
x!0
x
p
2x2 + 3x+ 1 + x 3
p
3x� 1p
x2 + 1� 2 4
p
x2 + 1 + 3
p
x2 + 1
=
0
0
Dividiendo numerador y denominador entre x2
L = lim
x!0
p
2x2 + 3x+ 1� 1
x
+
1 + 3
p
3x� 1
xp
x2 + 1� 2 4
p
x2 + 1 + 3
p
x2 + 1
x2
donde lim
x!0
�p
2x2 + 3x+ 1� 1
� �p
2x2 + 3x+ 1 + 1
�
x
�p
2x2 + 3x+ 1 + 1
� = 3
2
y
lim
x!0
�
1 + 3
p
x2 + 1
� �
1� 3
p
x2 + 1 +
�
3
p
x2 + 1
�2�
x
�
1� 3
p
x2 + 1 +
�
3
p
x2 + 1
�2� = 1
2
haciendo el cambio de variable t12 = x2 + 1 se tiene
lim
x!0
x
p
2x2 + 3x+ 1 + x 3
p
3x� 1p
x2 + 1� 2 4
p
x2 + 1 + 3
p
x2 + 1
= lim
x!0
t6 � 2t3 + t4
t12 � 1 = limx!0
t3
�
t2 + t+ 2
�
(t� 1)
(t� 1) (t11 + t10 + ::::+ 1)
Finalmente, L =
3
2 + 1
1
3
=
15
2
:
Problema 7. Calcule
lim
x!1
p
x+ 3� 3
p
6x+ 2
x2 � 1 :
Solución.
Evaluando el límite tenemos: lim
x!1
p
x+ 3� 3
p
6x+ 2
x2 � 1 =
2� 2
1� 1 =
0
0
:
Para eliminar la indeterminación, agrupamos en el denominado
L = lim
x!1
p
x+ 3� 2� 3
p
6x+ 2 + 2
x2 � 1 = limx!1
p
x+ 3� 2
x2 � 1 � limx!1
3
p
6x+ 2� 2
x2 � 1
Resolvemos cada límite,
lim
x!1
(
p
x+ 3� 2)(
p
x+ 3 + 2)
(x+ 1)(x� 1)(
p
x+ 3 + 2)
= lim
x!1
x+ 3� 22
(x+ 1)(x� 1)(
p
x+ 3 + 2)
= lim
x!1
x� 1
(x+ 1)(x� 1)(
p
x+ 3 + 2)
=
1
8
Por otro lado,
lim
x!1
3
p
6x+ 2� 2
x2 � 1 = limx!1
( 3
p
6x+ 2� 2)
FRz }| {
(( 3
p
6x+ 2)2 + 2 3
p
6x+ 2 + 4)
(x� 1)(x+ 1)(FR) =
lim
x!1
(6x+ 2� 23)
(x� 1)(x+ 1)(FR)
lim
x!1
6(x� 1)
(x� 1)(x+ 1)(FR) = limx!1
6
(x+ 1)(FR)
= lim
x!1
6
(x+ 1)(( 3
p
6x+ 2)2 + 2 3
p
6x+ 2 + 4)
=
1
4
Finalmente se obtiene L =
1
8
� 1
4
= �1
8
:
Problema 8. Calcule
lim
x!3
3
p
4x2 � 9 +
p
2x� 5� 4
x2 � x� 6 :
Solución.
3
Evaluando el límite tenemos: lim
x!3
3
p
4x2 � 9 +
p
2x� 5� 4
x2 � x� 6 =
0
0
lim
x!3
3
p
4x2 � 9� 3 +
p
2x� 5� 1
x2 � x� 6 = limx!3
3
p
4x2 � 9� 3
x2 � x� 6| {z }
L1
+ lim
x!3
p
2x� 5� 1
x2 � x� 6| {z }
L2
L1 = lim
x!3
�
3
p
4x2 � 9� 3
� �
3
p
4x2 � 92 + 3 3
p
4x2 � 9 + 9
�
(x� 3) (x+ 2)
�
3
p
4x2 � 92 + 3 3
p
4x2 � 9 + 9
�
= lim
x!3
4 (x� 3) (x+ 3)
(x� 3) (x+ 2)
�
3
p
4x2 � 92 + 3 3
p
4x2 � 9 + 9
� = 8
45
L2 = lim
x!3
�p
2x� 5� 1
� �p
2x� 5 + 1
�
(x� 3) (x+ 2)
�p
2x� 5 + 1
� = lim
x!3
2 (x� 3)
(x� 3) (x+ 2)
�p
2x� 5 + 1
� = 1
5
entonces, L = L1 + L2 =
17
45
Problema 9. Calcule lim
x!1
p
x2 + 8 + 3
p
2� 3x2 � 2
x� 1 :
Evaluando el límite tenemos: lim
x!1
p
x2 + 8 + 3
p
2� 3x2 � 2
x� 1 =
0
0
:
Para eliminar la indeterminación, agrupamos en el numerador, para luego
obtener una suma de límites.
lim
x!1
p
x2 + 8� 3 + 3
p
2� 3x2 + 1
x� 1 = limx!1
p
x2 + 8� 3
x� 1 +limx!1
3
p
2� 3x2 + 1
x� 1 :
Resolvemos cada límite,
lim
x!1
�p
x2 + 8� 3
� �p
x2 + 8 + 3
�
(x� 1)
�p
x2 + 8 + 3
� = lim
x!1
x2 + 8� 32
(x� 1)
�p
x2 + 8 + 3
� = lim
x!1
(x� 1) (x+ 1)
(x� 1)
�p
x2 + 8 + 3
�
= lim
x!1
x+ 1p
x2 + 8 + 3
=
1
3
:
Por otro lado,
= lim
x!1
�
3
p
2� 3x2 + 1
� FRz }| {��
3
p
2� 3x2
�2
� 3
p
2� 3x2 + 1
�
(x� 1) (FR)
= lim
x!1
2� 3x2 + 1
(x� 1) (FR) = limx!1
�3 (x� 1) (x+ 1)
(x� 1) (FR) = limx!1
�3 (x+ 1)�
3
p
2� 3x2
�2 � 3p2� 3x2 + 1 = �2:
4
Finalmente se obtiene
1
3
� 2 = �5
3
:
Problema 10. Calcule lim
x!1
p
x+
p
4x+ 5�
p
3x+ 13
x� 1
Solución.
Nótese que este límite es de la forma 00 y además los términos subradicales
son diferentes.
En este caso evaluamos cada raíz y se resta dicha cantidad, luego agru-
pando obtenemos:
= lim
x!1
p
x+
p
4x+ 5�
p
3x+ 13
x� 1 = limx!1
(
p
x� 1) + (
p
4x+ 5� 3)� (
p
3x+ 13� 4)
x� 1
= lim
x!1
�p
x� 1
x� 1 +
p
4x+ 5� 3
x� 1 �
p
3x+ 13� 4
x� 1
�
= lim
x!1
(
p
x� 1) (
p
x+ 1)
(x� 1) (
p
x+ 1)
+ lim
x!1
�p
4x+ 5� 3
� �p
4x+ 5 + 3
�
(x� 1)
�p
4x+ 5 + 3
� � lim
x!1
�p
3x+ 13� 4
� �p
3x+ 13 + 4
�
(x� 1)
�p
3x+ 13 + 4
�
= lim
x!1
�
1p
x+ 1
+
4p
4x+ 5 + 3
� 3p
3x+ 13 + 4
�
= lim
x!1
1p
x+ 1
+ lim
x!1
4p
4x+ 5 + 3
� lim
x!1
3p
3x+ 13 + 4
=
1
2
+
2
3
� 3
8
=
19
24
3 Límites laterales.
Problema 11. Dada la función:
f(x) =
8>><>>:
p
2a+ 2bx ; x � 1
1 +
p
x+ b
x+ 2
; x > 1
Si lim
x!8�
f(x) =
2
5
y lim
x!1
f(x) existe, calcular los valores de a y b:
Solución.
Se tiene, lim
x!8�
1 +
p
x+ b
x+ 2
�
=
2
5
=) 1 +
p
8 + b
8 + 2
=
2
5
=) b = 1:
además como existe lim
x�!1
f(x) ; entonces calculamos los limites laterales
que deben ser iguales.
5
�) lim
x!1�
f(x) = lim
x!1�
p
2a+ 2bx =
p
2a+ 2
�) lim
x!1+
f(x) = lim
x!1+
=
1 +
p
x+ 1
x+ 2
=
1 +
p
2
3
=)
p
2a+ 2 =
1 +
p
2
3
=) a = 2� 5
p
2
6
:
Problema 12. Dada la función
f(x) =
8<: (x+ 4)
2
+ 3 ; x � �3
jx� 3j � 2 ; x 2 h�3; 4]
jx� 4j ; x > 4
a) Gra�que f:
b) Del grá�co calcule, si es que existen, lim
x!�3
f (x) y lim
x!4
f (x).
Solución.
-6 -4 -2 2 4 6
-5
5
10
X
Y
b)
lim
x!�3�
f (x) = 4 ^ lim
x!�3+
f (x) = 4 =) lim
x!�3
f (x) = 4
lim
x!�4�
f (x) = �1 ^ lim
x!�4+
f (x) = 0 =) @ lim
x!�4
f (x)
Problema 13. Sea la función
f(x) =
8>>><>>>:
3�
p
4 + x
x� 5 ; x � 5
1
x2 � 7x+ 4 ; x > 5
6
Calcule si existe, lim
x!5
f(x).
Solución :
Procedemos a calcular los límites laterales.
lim
x!5�
3�
p
4 + x
x� 5 =
0
0
; luego
lim
x!5�
�
3�
p
4 + x
� �
3 +
p
4 + x
�
(x� 5)
�
3 +
p
4 + x
� = lim
x!5�
9� (4 + x)
(x� 5)
�
3 +
p
4 + x
� = lim
x!5�
� (x� 5)
(x� 5)
�
3 +
p
4 + x
�
= lim
x!5�
�1
3 +
p
4 + x
= �1
6
:
Por otro lado tenemos
lim
x!5+
1
x2 � 7x+ 4 = �
1
6
:
Como lim
x!5�
f(x) = lim
x!5+
f(x) entonces existe lim
x!5
f(x) = �1
6
:
Problema 14. Calcule
lim
x!0+
jax� 1j � jax+ 1j
x
; a > 1:
Solución.
Usando la de�nición de valor absoluto tenemos
jax� 1j =
�
ax� 1 ; x � 1a
1� ax ; x < 1a
; jax+ 1j =
�
ax+ 1 ; x � � 1a
�ax� 1 ; x < � 1a
Por otro lado : si a > 1) 0 < 1a < 1:
Calcular el límite cuando x ! 0+ signi�ca que analizamosla función en
los valores más cercanos a la derecha de x = 0: A la vez, estos valores son
aquellos que están a la izquierda de 1a , es decir, x <
1
a .
Por lo tanto,
jax� 1j = 1� ax y jax+ 1j = ax+ 1
así el límite queda
lim
x!0+
jax� 1j � jax+ 1j
x
= lim
x!0+
1� ax� ax� 1
x
= lim
x!0+
�2ax
x
= lim
x!0+
�2a = �2a:
7
Problema 15. Sea la función de�nida por:
f(x) =
8>>><>>>:
p
ax� b
x2 � bx ; 0 < x < 1
x(2x2 � 3x+ b)
x2 � 1 ; 1 < x � 2
Hallar el valor de a y b , si lim
x!1
f(x) = 12 y además a > 0:
Solución.
Como lim
x!1
f(x) = 12 ; esto implica calcular los límites laterales respectivos
y además cada uno de ellos es igual a 12 :
En efecto.
lim
x!1�
p
ax� b
x2 � bx =
b�
p
a
b� 1 =
1
2
, b = 2
p
a� 1: (1)
lim
x!1+
x(2x2 � 3x+ b)
x2 � 1 = limx!1+
x
x+ 1
:
2x2 � 3x+ b
x� 1 =
�
lim
x!1+
x
x+ 1
��
lim
x!1+
2x2 � 3x+ b
x� 1
�
=
1
2
:
Analizando los términos del segundo límite tenemos :
2x2 � 3x+ b
x� 1 = 2x� 1 +
b� 1
x� 1 :
Para eliminar el CERO del denominador se debe cumplir que b � 1 = 0;
entonces b = 1:
Sustituimos en la ecuación (1) :
1 = 2
p
a� 1) a = 1:
Problema 16. Si
f(x) =
8>>><>>>:
x2 � x
x2 + ax
; �1 < x < 0
x�
p
x
x2 +
p
x
; x > 0
Halle el valor de a; de modo que lim
x!0
f(x) exista.
Solución.
Es necesario tomar límites laterales.
lim
x!0�
f(x) = lim
x!0�
x2 � x
x2 + ax
= lim
x!0�
x� 1
a+ x
= �1
a
8
y
lim
x!0+
f(x) = lim
x!0+
x�
p
x
x2 +
p
x
= lim
x!0+
p
x� 1
x3=2 + 1
= �1:
Luego, en virtud de la unicidad del límite se tiene
�1
a
= �1) a = 1:
Problema 17. Hallar los valores de las constantes a, b y c de modo que lim
x!�2+
f (x) = +1 y lim
x!4
f (x) = b+ c; si
f(x) =
8>><>>:
8 jx+ 2j
(2ax+ 2)
2 ; x < 4
bx2 � cx ; x > 4
Solución.
De acuerdo con la de�nición del valor absoluto y para todo x < 4 tenemos
jx+ 2j =
�
x+ 2 ; x � �2
� (x+ 2) ; x < �2 ^ x < 4) jx+ 2j =
�
x+ 2 , x 2 [�2; 4i
�x� 2 ; x < �2 :
Para el cálculo de lim
x!4
f (x) ; consideramos un intervalo con centro en x = 4
tan pequeño como se quiera, de modo que los valores de x menores que 4
para todo x < 4 se tenga jx+ 2j = x+ 2; luego
lim
x!4�
f (x) = lim
x!4�
8 (x+ 2)
(2ax+ 2)
2 =
48
(8a+ 2)
2 =
12
(4a+ 1)
2 (2)
y
lim
x!4+
f (x) = lim
x!4+
�
bx2 � cx
�
= 16b� 4c (3)
Del enunciado se tiene que lim
x!4
f (x) = b+ c y usando (2) y (3), tenemos
12
(4a+ 1)
2 = 16b� 4c = b+ c (4)
Por otro lado, lim
x!�2+
f (x) implica que, para x > �2; se tiene jx+ 2j =
x+ 2; así
lim
x!�2+
8 (x+ 2)
(2ax+ 2)
2 = lim
x!�2+
2 (x+ 2)
(ax+ 1)
2 = +1;
con el �n de que se tenga la igualdad de arriba, debemos eliminar el factor
que se hace cero en el numerador, para ello
x+ 2 = 0 ^ ax+ 1 = 0, x = �2 ^ x = �1
a
, �2 = �1
a
, a = 1
2
: (5)
9
Con esto se veri�ca que
lim
x!�2+
8 (x+ 2)
(2ax+ 2)
2 = lim
x!�2+
8 (x+ 2)
(x+ 2)
2 = lim
x!�2+
8
x+ 2
= +1:
Usando los resultados de (4) y (5), obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones :
4b� c = 1=3
b+ c = 4=3
cuya solución es b =
1
3
y c = 1:
Problema 18. En la función
f(x) =
8>><>>:
ax2 � ax� 2a
x3 � 2x2 ; x < 2 ; a 2 R
log2
3
p
x4 ; x > 2
determine el valor de a 2 R para que exista lim
x!2
f(x):
Solución.
De la unicidad de límite sabemos que existe lim
x!2
f(x) si
lim
x!2�
f(x) = lim
x!2+
f(x): (6)
lim
x!2�
f(x) = lim
x!2�
ax2 � ax� 2a
x3 � 2x2 = limx!2�
a (x+ 1) (x� 2)
x2 (x� 2) = limx!2�
a (x+ 1)
x2
=
3
4
a:
lim
x!2+
f(x) = lim
x!2+
log2
3
p
x4 = log2
3
p
16 =
4
3
:
Entonces de acuerdo a (6) se tiene
3
4
a =
4
3
) a = 16
9
:
10