Limites Exp y log Ejercicios resueltos

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1 Límites de funciones exponenciales y logarít-
micas
Problema 1. Calcule
lim
x!0
�
5 + x
x+ 2
�x+ 8
2
:
Solución.
lim
x!0
�
5 + x
x+ 2
�x+ 8
2
= lim
x!0
�
5 + x
x+ 2
� lim
x!0
x+ 8
2
=
�
5
2
�2
=
25
4
:
Problema 2. Calcule
lim
x!1
h
sen(x2 � 1) + e
p
x�1
i 1
x�1
:
Solución.
Evaluando el límite resulta de la forma 11;
Luego
lim
x!1
h
sen(x2 � 1) + e
p
x�1
i 1
x�1
= exp
�
lim
x!1
h
sen(x2 � 1) + e
p
x�1 � 1
i 1
x� 1
�
= exp
 
lim
x!1
"
sen(x2 � 1)
x� 1 +
e
p
x�1 � 1
x� 1
#!
= exp
 
lim
x!1
"
(x+ 1)
sen(x2 � 1)
x2 � 1 +
1
(
p
x+ 1)
e
p
x�1 � 1
(
p
x� 1)
#!
= exp
�
(1 + 1):1 +
1
1 + 1
: ln e
�
= exp(2 +
1
2
) = e
5
2
Problema 3. Calcule
lim
x!0
�
tan
�
x+ �4
��csc x
:
Solución.
Evaluando el límite resulta de la forma 11; luego
lim
x!0
�
tan
�
x+ �4
��csc x
= e
lim
x!0
[tan(x+�4 )�1] csc x = e
lim
x!0
tan(x+�4 )�1
senx :
Ahora evaluamos el límite en la exponencial :
lim
x!0
tan
�
x+ �4
�
� 1
senx
= lim
x!0
tanx+ tan �4
1� tanx tan �4
� 1
senx
= lim
x!0
tanx+ 1
1� tanx � 1
senx
= lim
x!0
2 tanx
1� tanx
senx
= lim
x!0
2 tanx
senx (1� tanx) = limx!0
2
cosx (1� tanx) = 2
1
Finalmente se tiene
lim
x!0
�
tan
�
x+ �4
��csc x
= e2:
Problema 4. Calcule
lim
x!0
[ln(x+ 3) + ln(x+ 5)� ln 15]
x
:
Solución.
Evaluando directamente tenemos la forma
0
0
:
lim
x!0
[ln(x+ 3) + ln(x+ 5)� ln 15]
x
= lim
x!0
[ln(x+ 3) + ln(x+ 5)� ln(3:5)]
x
= lim
x!0
[ln(x+ 3) + ln(x+ 5)� ln 3� ln 5]
x
= lim
x!0
[ln(x+ 3)� ln 3 + ln(x+ 5)� ln 5]
x
= lim
x!0
�
ln(
x+ 3
3
) + ln(
x+ 5
5
)
�
x
= lim
x!0
ln(
x
3
+ 1)
x
+ lim
x!0
ln(
x
5
+ 1)
x
=
1
3
lim
x!0
ln(
x
3
+ 1)
x
3
+
1
5
lim
x!0
ln(
x
5
+ 1)
x
5
=
8
15
:
Problema 5. Calcule
lim
x!+1
�
x+ 7
x� 1
�x+4
Solución.
lim
x!+1
�
x+ 7
x� 1
�x+4
= e
lim
x!+1
�
x+7
x�1�1
�
(x+4)
:
Evaluamos el límite resultante como uno de la forma al in�nito, es decir
e
lim
x!+1
�
8
x�1
�
(x+4)
= e
lim
x!+1
8(x+4)
x�1 = e
8 lim
x!+1
x+4
x�1 = e8:
Problema 6. Calcule
lim
x!2
�
1 + x
5� x
� 2
2�x
Solución.
lim
x!2
�
1 + x
5� x
� 2
2�x
= lim
x!2
24�1 + 2 (x� 2)
5� x
� 5�x
2(x�2)
35
2(x�2)
5�x
2
(2�x)
= e
lim
x!2
2(x�2)
5�x �
2
(2�x) = e�4=3:
2
Problema 7. Calcule
lim
x!0
(x+ cosx)
1
senx :
Solución.
lim
x!0
(x+ cosx)
1
senx = e
lim
x!0
(x+cos x�1)( 1senx ) = e
lim
x!0
x+cos x�1
senx :
Examinamos el límite en el exponencial :
lim
x!0
x+ cosx� 1
senx
= lim
x!0
x+cos x�1
x
senx
x
=
lim
x!0
x+cos x�1
x
lim
x!0
senx
x
=
lim
x!0
�
1� 1�cos xx
�
lim
x!0
senx
x
=
1� 0
1
= 1:
Luego
lim
x!0
(x+ cosx)
1
senx = e1 = e:
3