Ejercicios resueltos Límites parte 2

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1 Límites laterales.
Problema 1. Dada la función:
f(x) =
8>><>>:
p
2a+ 2bx ; x � 1
1 +
p
x+ b
x+ 2
; x > 1
Si lim
x!8�
f(x) =
2
5
y lim
x!1
f(x) existe, calcular los valores de a y b:
Solución.
Se tiene, lim
x!8�
1 +
p
x+ b
x+ 2
�
=
2
5
=) 1 +
p
8 + b
8 + 2
=
2
5
=) b = 1:
además como existe lim
x�!1
f(x) ; entonces calculamos los limites laterales
que deben ser iguales.
�) lim
x!1�
f(x) = lim
x!1�
p
2a+ 2bx =
p
2a+ 2
�) lim
x!1+
f(x) = lim
x!1+
=
1 +
p
x+ 1
x+ 2
=
1 +
p
2
3
=)
p
2a+ 2 =
1 +
p
2
3
=) a = 2� 5
p
2
6
:
Problema 2. Dada la función
f(x) =
8<: (x+ 4)
2
+ 3 ; x � �3
jx� 3j � 2 ; x 2 h�3; 4]
jx� 4j ; x > 4
a) Gra�que f:
b) Del grá�co calcule, si es que existen, lim
x!�3
f (x) y lim
x!4
f (x).
1
Solución.
-6 -4 -2 2 4 6
-5
5
10
X
Y
b)
lim
x!�3�
f (x) = 4 ^ lim
x!�3+
f (x) = 4 =) lim
x!�3
f (x) = 4
lim
x!�4�
f (x) = �1 ^ lim
x!�4+
f (x) = 0 =) @ lim
x!�4
f (x)
Problema 3. Sea la función
f(x) =
8>>><>>>:
3�
p
4 + x
x� 5 ; x � 5
1
x2 � 7x+ 4 ; x > 5
Calcule si existe, lim
x!5
f(x).
Solución :
Procedemos a calcular los límites laterales.
lim
x!5�
3�
p
4 + x
x� 5 =
0
0
; luego
lim
x!5�
�
3�
p
4 + x
� �
3 +
p
4 + x
�
(x� 5)
�
3 +
p
4 + x
� = lim
x!5�
9� (4 + x)
(x� 5)
�
3 +
p
4 + x
� = lim
x!5�
� (x� 5)
(x� 5)
�
3 +
p
4 + x
�
= lim
x!5�
�1
3 +
p
4 + x
= �1
6
:
Por otro lado tenemos
lim
x!5+
1
x2 � 7x+ 4 = �
1
6
:
2
Como lim
x!5�
f(x) = lim
x!5+
f(x) entonces existe lim
x!5
f(x) = �1
6
:
Problema 4. Calcule
lim
x!0+
jax� 1j � jax+ 1j
x
; a > 1:
Solución.
Usando la de�nición de valor absoluto tenemos
jax� 1j =
�
ax� 1 ; x � 1a
1� ax ; x < 1a
; jax+ 1j =
�
ax+ 1 ; x � � 1a
�ax� 1 ; x < � 1a
Por otro lado : si a > 1) 0 < 1a < 1:
Calcular el límite cuando x ! 0+ signi�ca que analizamos la función en
los valores más cercanos a la derecha de x = 0: A la vez, estos valores son
aquellos que están a la izquierda de 1a , es decir, x <
1
a .
Por lo tanto,
jax� 1j = 1� ax y jax+ 1j = ax+ 1
así el límite queda
lim
x!0+
jax� 1j � jax+ 1j
x
= lim
x!0+
1� ax� ax� 1
x
= lim
x!0+
�2ax
x
= lim
x!0+
�2a = �2a:
Problema 5. Sea la función de�nida por:
f(x) =
8>>><>>>:
p
ax� b
x2 � bx ; 0 < x < 1
x(2x2 � 3x+ b)
x2 � 1 ; 1 < x � 2
Hallar el valor de a y b , si lim
x!1
f(x) = 12 y además a > 0:
Solución.
Como lim
x!1
f(x) = 12 ; esto implica calcular los límites laterales respectivos
y además cada uno de ellos es igual a 12 :
En efecto.
lim
x!1�
p
ax� b
x2 � bx =
b�
p
a
b� 1 =
1
2
, b = 2
p
a� 1: (1)
lim
x!1+
x(2x2 � 3x+ b)
x2 � 1 = limx!1+
x
x+ 1
:
2x2 � 3x+ b
x� 1 =
�
lim
x!1+
x
x+ 1
��
lim
x!1+
2x2 � 3x+ b
x� 1
�
=
1
2
:
3
Analizando los términos del segundo límite tenemos :
2x2 � 3x+ b
x� 1 = 2x� 1 +
b� 1
x� 1 :
Para eliminar el CERO del denominador se debe cumplir que b � 1 = 0;
entonces b = 1:
Sustituimos en la ecuación (1) :
1 = 2
p
a� 1) a = 1:
Problema 6 Si
f(x) =
8>>><>>>:
x2 � x
x2 + ax
; �1 < x < 0
x�
p
x
x2 +
p
x
; x > 0
Halle el valor de a; de modo que lim
x!0
f(x) exista.
Solución.
Es necesario tomar límites laterales.
lim
x!0�
f(x) = lim
x!0�
x2 � x
x2 + ax
= lim
x!0�
x� 1
a+ x
= �1
a
y
lim
x!0+
f(x) = lim
x!0+
x�
p
x
x2 +
p
x
= lim
x!0+
p
x� 1
x3=2 + 1
= �1:
Luego, en virtud de la unicidad del límite se tiene
�1
a
= �1) a = 1:
Problema 7. Hallar los valores de las constantes a, b y c de modo que lim
x!�2+
f (x) = +1 y lim
x!4
f (x) = b+ c; si
f(x) =
8>><>>:
8 jx+ 2j
(2ax+ 2)
2 ; x < 4
bx2 � cx ; x > 4
Solución.
De acuerdo con la de�nición del valor absoluto y para todo x < 4 tenemos
jx+ 2j =
�
x+ 2 ; x � �2
� (x+ 2) ; x < �2 ^ x < 4) jx+ 2j =
�
x+ 2 , x 2 [�2; 4i
�x� 2 ; x < �2 :
4
Para el cálculo de lim
x!4
f (x) ; consideramos un intervalo con centro en x = 4
tan pequeño como se quiera, de modo que los valores de x menores que 4
para todo x < 4 se tenga jx+ 2j = x+ 2; luego
lim
x!4�
f (x) = lim
x!4�
8 (x+ 2)
(2ax+ 2)
2 =
48
(8a+ 2)
2 =
12
(4a+ 1)
2 (2)
y
lim
x!4+
f (x) = lim
x!4+
�
bx2 � cx
�
= 16b� 4c (3)
Del enunciado se tiene que lim
x!4
f (x) = b+ c y usando (2) y (3), tenemos
12
(4a+ 1)
2 = 16b� 4c = b+ c (4)
Por otro lado, lim
x!�2+
f (x) implica que, para x > �2; se tiene jx+ 2j =
x+ 2; así
lim
x!�2+
8 (x+ 2)
(2ax+ 2)
2 = lim
x!�2+
2 (x+ 2)
(ax+ 1)
2 = +1;
con el �n de que se tenga la igualdad de arriba, debemos eliminar el factor
que se hace cero en el numerador, para ello
x+ 2 = 0 ^ ax+ 1 = 0, x = �2 ^ x = �1
a
, �2 = �1
a
, a = 1
2
: (5)
Con esto se veri�ca que
lim
x!�2+
8 (x+ 2)
(2ax+ 2)
2 = lim
x!�2+
8 (x+ 2)
(x+ 2)
2 = lim
x!�2+
8
x+ 2
= +1:
Usando los resultados de (4) y (5), obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones :
4b� c = 1=3
b+ c = 4=3
cuya solución es b =
1
3
y c = 1:
Problema 8. En la función
f(x) =
8>><>>:
ax2 � ax� 2a
x3 � 2x2 ; x < 2 ; a 2 R
log2
3
p
x4 ; x > 2
determine el valor de a 2 R para que exista lim
x!2
f(x):
5
Solución.
De la unicidad de límite sabemos que existe lim
x!2
f(x) si
lim
x!2�
f(x) = lim
x!2+
f(x): (6)
lim
x!2�
f(x) = lim
x!2�
ax2 � ax� 2a
x3 � 2x2 = limx!2�
a (x+ 1) (x� 2)
x2 (x� 2) = limx!2�
a (x+ 1)
x2
=
3
4
a:
lim
x!2+
f(x) = lim
x!2+
log2
3
p
x4 = log2
3
p
16 =
4
3
:
Entonces de acuerdo a (6) se tiene
3
4
a =
4
3
) a = 16
9
:
2 Limites al in�nito
Problema 1. Calcule
lim
x!+1
(x2 � 3
p
x6 � 2x4):
Solución.
Vemos que lim
x!+1
�
x2 � 3
p
x6 � 2x4
�
=1�1; Para generar un cociente,
multipicamos por la conjugada de la expresión:
Utilizamos la identidad: A3 �B3 = (A�B)(A2 +AB +B2) .
lim
x!+1
(x2 � 3
p
x6 � 2x4) = lim
x!+1
(x2 � 3
p
x6 � 2x4)(x4 + x2 3
p
x6 � 2x4 + 3
p
(x6 � 2x4)2)
(x4 + x2 3
p
x6 � 2x4 + 3
p
(x6 � 2x4)2)
= lim
x!+1
x6 � (x6 � 2x4)
(x4 + x2 3
p
x6 � 2x4 + 3
p
(x6 � 2x4)2)
= lim
x!+1
2x4
x4 + x2 3
p
x6 � 2x4 + 3
p
(x6 � 2x4)2
dividiendo numerador y denominador entre x4 tenemos:
L = lim
x!+1
2x4
x4
x4
x4
+
x2
x2
3
p
x6 � 2x4
x2
+
3
p
(x6 � 2x4)2
x4
= lim
x!+1
2
1 +
3
r
x6 � 2x4
x6
+
3
r
(x6 � 2x4)2
x12
=
2
3
:
Problema 2. Calcular el valor de c de modo que:
lim
x!+1
�
x4 + cx3 + 1
x3 � x+ 1 �
p
x2 + 3x� 10
�
=
5
2
:
6
Solución.
Efectuamos la división:
x4 + cx3 + 1
x3 � x+ 1 = c+ x+
x2 + (c� 1)x� c+ 1
x3 � x+ 1 :
Reemplazamos y agrupamos adecuadamente,
lim
x!+1
�
c+ x+
x2 + (c� 1)x� c+ 1
x3 � x+ 1 �
p
x2 + 3x� 10
�
= lim
x!+1
�
c+ x�
p
x2 + 3x� 10
�
+ lim
x!+1
x2 + (c� 1)x� c+ 1
x3 � x+ 1 =
5
2
;
pero
lim
x!+1
x2 + (c� 1)x� c+ 1
x3 � x+ 1 = limx!+1
x2
x3 +
(c�1)x
x3 +
1�c
x3
x3
x3 �
x
x3 +
1
x3
= 0;
entonces sólo se tiene
lim
x!+1
�
c+ x�
p
x2 + 3x� 10
�
=
5
2
:
Luego, calculando el valor de c :
= lim
x!+1
�
c+ x�
p
x2 + 3x� 10
� �
c+ x+
p
x2 + 3x� 10
��
c+ x+
p
x2 + 3x� 10
� = lim
x!+1
(c+ x)
2 �
�
x2 + 3x� 10
�
c+ x+
p
x2 + 3x� 10
= lim
x!+1
2xc
x �
3x
x +
10+c2
x
c
x +
x
x +
q
x2
x2 +
3x
x2 �
10
x2
= lim
x!+1
2c� 3 + 10+c2x
c
x + 1 +
q
1 + 3x �
10
x2
= c� 3
2
:
Obtenemos c� 32 =
5
2 ) c = 4:
Problema 3. Calcule el valor de las constantes a y b de modo que:
lim
x!�1
�p
ax2 + bx+ 2x
�
= 3:
Solución.
Racionalizando
lim
x!�1
�p
ax2 + bx+ 2x
� �p
ax2 + bx� 2x
�
p
ax2 + bx� 2x
= lim
x!�1
ax2 + bx� 4x2p
ax2 + bx� 2x
= lim
x!�1
(a� 4)x2 + bxp
ax2 + bx� 2x
Para que el límite exista, hay que observar que el coe�ciente de x2 debe
ser nulo, es decir a� 4 = 0) a = 4:
7
Como x ! �1, hacemos y = �x; entonces x ! �1 implica y ! +1;
así
lim
x!�1
bxp
4x2 + bx� 2x
= lim
y!+1
�byp
4y2 � by + 2y
= lim
y!+1
� byyp
4y2�byp
y2
+ 2yy
= lim
y!+1
�bq
4� by + 2
=
�b
4
= 3) b = 12:
Problema 4. Calcule el valor de c de modo que exista el siguiente límite:
lim
x!+1
�
ln
�
x2 + 1
�
� c
2
ln j2x+ 1j
�
Solución.
Simpli�camos la expresión dentro del límite:
= lim
x!+1
ln
 
x2 + 1
(2x+ 1)
c=2
!
= ln
"
lim
x!+1
 
x2 + 1p
(2x+ 1)
c
!#
:
Para que el límite exista, el grado del numerador debe ser igual al grado
del denominador, por lotanto : c = 4; así
ln
"
lim
x!+1
 
x2 + 1
(2x+ 1)
2
!#
= ln
�
lim
x!+1
�
x2 + 1
4x2 + 4x+ 1
��
= ln
"
lim
x!+1
 
x2
x2 +
1
x2
4x2
x2 +
4x
x2 +
1
x2
!#
= ln
�
lim
x!+1
�
1 + 1x2
4 + 4x +
1
x2
��
= ln
�
1
4
�
:
Problema 5. Calcule
lim
x!� 1
 p
x4 � 9� x2 + 2x
x� 2
!
:
Solución.
Separamos adecuadamente en una suma:
lim
x!� 1
 p
x4 � 9� x2
x� 2 +
2x
x� 2
!
= lim
x!� 1
p
x4 � 9� x2
x� 2 + limx!� 1
2x
x� 2 :
8
= lim
x!� 1
�p
x4 � 9� x2
� �p
x4 � 9 + x2
�
(x� 2)
�p
x4 � 9 + x2
� + lim
x!� 1
2x
x� 2
= lim
x!� 1
 
�9
(x� 2)
�p
x4 � 9 + x2
� + 2x
x� 2
!
= lim
x!� 1
�9
x3
(x�2)
x
�p
x4�9+x2
x2
� + lim
x!� 1
2x
x
x
x �
2
x
= lim
x!� 1
�9
x3�
1� 2x
� �p
x4�9+x2
x2
� + lim
x!� 1
2
1� 2x
= 2:
3 Límites in�nitos
Problema 1. Calcule
lim
x!1�
��x2 � 1��
3
p
1� x
Solución.
1. tenemos x �! 1� es decir x < 1 =) x2 < 1 =) x2 � 1 < 0
entonces
��x2 � 1�� = 1� x2
luego lim
x!1�
��x2 � 1��
3
p
1� x
= lim
x!1�
1� x2
3
p
1� x
= lim
x!1�
(1� x)(1 + x)
(1� x) 32
= +1
Problema 2. Calcule
lim
x!1
sgn (x� 1)
x3 � x2 + 2x� 2
Solución.
De acuerdo con la de�nición de función signo tenemos :
sgn (x� 1) =
8<: �1 ; x < 10 ; x = 1
1 ; x > 1
Luego para calcular lim
x!1
f(x) se hace necesario usar límites laterales,
tal como sigue
lim
x!1�
sgn (x� 1)
x3 � x2 + 2x� 2 = limx!1�
�1
(x� 1) (x2 + 2) = limx!1�
� 1x2+2
x� 1 =
�1=3
0
=
�1=3
0�
= +1
pues para todo x < 1; la expresión x� 1 < 0.
lim
x!1+
sgn (x� 1)
x3 � x2 + 2x� 2 = limx!1+
1
(x� 1) (x2 + 2) = limx!1�
1
x2+2
x� 1 =
1=3
0
=
1=3
0+
= +1
pues para todo x > 1; la expresión x� 1 > 0.
9
Problema 3. Calcule
lim
x!1+
x� 1p
2x� x2 � 1
Solución.
Multiplicamos por la conjugada del denominador.
L = lim
x!1+
(x� 1)
�p
2x� x2 + 1
��p
2x� x2 � 1
� �p
2x� x2 + 1
� = lim
x!1+
(x� 1)
�p
2x� x2 + 1
�
2x� x2 � 1
= lim
x!1+
(x� 1)
�p
2x� x2 + 1
�
� (x� 1)2
= lim
x!1+
�
�p
2x� x2 + 1
�
x� 1 =
�2
0
Analizamos cómo se comportan los valores de x que se encuentran a
la derecha de x = 1 :
para cualquier x > 1) x� 1 > 0; esto implica que x� 1! 0+; así
lim
x!1+
x� 1p
2x� x2 � 1
=
�2
0+
= �1:
Problema 4. Calcule
lim
x!2�
�
3x+ 2
x2 � x� 2 �
x+ 1
x2 � 2x
�
:
Solución.
Evaluando el límite resulta de la forma 1�1; luego efectuamos la
sustracción:
lim
x!2�
�
3x+ 2
x2 � x� 2 �
x+ 1
x2 � 2x
�
= lim
x!2�
�
3x+ 2
(x+ 1) (x� 2) �
x+ 1
x (x� 2)
�
= lim
x!2�
2x2 � 1
x (x2 � x� 2)
= lim
x!2�
2x2 � 1
x (x+ 1) (x� 2) = limx!2�
2x2�1
x(x+1)
x� 2 =
7=6
0
Analizamos en un intervalo abierto centrado en x = 2 : para cualquier
x < 2) x� 2 < 0; esto implica que x� 2! 0�; así
lim
x!2�
�
3x+ 2
x2 � x� 2 �
x+ 1
x2 � 2x
�
=
7=6
0�
= �1:
Problema 5. Calcule
lim
x!0+
p
x
1� e2
p
x
:
Solución.
10
Se tiene que, lim
x!0+
p
x
1� e2
p
x
=
0
0
Luego, lim
x!0+
p
x
1� e2
p
x
= lim
x!0+
1
�2 � 1�e2
p
x
�2
p
x
Recordar lim
x!0
ax � 1
x
= ln a
Entonces
lim
x!0+
p
x
1� e2
p
x
= lim
x!0+
1
�2 � 1� e
2
p
x
�2
p
x
= �1
2
ln e =
�1
2
:
Problema 6. Analice
lim
x!1
1
1 + e1=(1�x)
Solución.
lim
x!1
1
1 + e1=(1�x)
Analizando limites laterales
x > 1) lim
x!1+
1
1 + e1=(1�x)
= 11+e�1 =
1
1+0 = 1:
x < 1) lim
x!1�
1
1 + e1=(1�x)
=
1
1 + e+1
=
1
1 = 0:
Problema 7. Calcule
lim
x!3+
x2 + x� 2
j3� xj (x� 1)
Solución.
Notemos que x ! 3+; implica x > 3 ) 3 � x < 0; luego j3� xj =
� (3� x) = x� 3; entonces
lim
x!3+
x2 + x� 2
(x� 3) (x� 1) = limx!3+
(x+ 2) (x� 1)
(x� 3) (x� 1) = limx!3+
x+ 2
x� 3 =
5
0+
= +1
se ve claramente que cuando x! 3+; implica que x > 3) x�3 > 0:
Problema 8. Calcule
lim
x!�3�
x3 � 3x2 + 4x� 12
jx2 � 9j
p
x2 � 2
Solución.
Para x ! �3� : x < �3 , x2 > 9 , x2 � 9 > 0; luego
��x2 � 9�� =
x2 � 9 así
lim
x!�3�
(x� 3)
�
x2 + 4
�
(x2 � 9)
p
x2 � 2
= lim
x!�3�
(x� 3)
�
x2 + 4
�
(x� 3) (x+ 3)
p
x2 � 2
= lim
x!�3�
x2 + 4p
x2 � 2
x+ 3
=
13
p
7=7
0�
= �1
con x < �3, x+ 3 < 0:
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