Ejercicios resueltos Derivada Func Inversa

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1 Derivada de la función inversa
1. Dada la función f(x) = x2 + 2x� 5
(a) Muestre que f tiene inversa en el intervalo [�1;+1i :
Solución:
La función dada es diferenciable, y por consiguiente continua para
todo x:
Además f 0(x) = 2x+ 2 = 2(x+ 1) > 0 para todo x > �1: De esto
se sigue que en cada intervalo cerrado [�1; b] con b > �1; la función
dada tiene inversa.
(b) Hallar (f�1)0(y):
Solución:
Aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa tenemos:
(f�1)0(y) =
1
f 0(x)
=
1
2(x+ 1)
(c) Evaluar (f�1)0(10)
Solución:
Para y0 = 10; debemos hallar x0 2 [�1;+1i tal que f(x0) = 10:
10 = x20 + 2x0 � 5;=) x0 = 3 _ x0 = �5
de donde se sigue que x0 = 3: Por consiguiente
(f�1)0(10) =
1
f 0(3)
=
1
2(3 + 1)
=
1
8
2. Calcule la derivada de las siguientes funciones.
(a) y = xarcsen2
�
1
x
�
:
Solución:
dy
dx
= (x)0arcsen2
�
1
x
�
+ x(arcsen2
�
1
x
�
)0
dy
dx
=0 arcsen2
�
1
x
�
+ x(2arcsen
�
1
x
�
)(arcsen
1
x
)0
= arcsen2
�
1
x
�
+ 2xarcsen
�
1
x
�
(
1r
1� 1
x2
)(� 1
x2
)
1
(b) y = arcsen
�p
1� x2
�
:
Solución:
dy
dx
=
�p
1� x2
�0q
1�
�p
1� x2
�2 = �
2x
2
p
1�x2p
x2
=
�x
jxj :
p
1� x2
(c) y = arccos(1� x2) + arctanx
x
:
Solución:
dy
dx
= � (1� x
2)0q
1� (1� x2)2
+
x (arctanx)
0 � (arctanx) (x)0
x2
=
2xq
1� (1� x2)2
+
x
1+x2 � arctanx
x2
=
2xq
1� (1� x2)2
+
x� (1 + x2) arctanx
x2(1 + x2)
:
3. Si f es una función inyectiva de�nida por
f(x) = x3 � 2
x
� 3; x < 0
Calcular (f�1)
0
(�2):
Solución:
Tenemos f 0(x) = 3x2 +
2
x2
> 0 por consiguiente inyectiva
Debemos hallar x0 2 h�1; 0i tal que f(x0) = �2: En efecto
�2 = x30�
2
x0
�3, x40�x0�2 = 0, (x0+1)(x30�x20�2) = 0, x0 = �1
En consecuencia
(f�1)0(�2) = 1
f 0(�1) =
1
3 + 2
=
1
5
4. Sea f una función de�nida por
f(x) =
�
j1 + xj+ 2x� 1 ; �10 < x < �2p
x+ 2� 4 ; �2 � x � 47
Calcular (f�1)0(2) si existe.
Solución:
2
Primero se rede�ne la función dada, esto es
f(x) =
�
x� 2 ; �10 < x < �2p
x+ 2� 4 ; �2 � x � 47
Ahora, para usar el teorema de la función inversa debemos asegurar que
la función sea inyectiva y sea derivable en x0 (preimagen de y0 = 2, es
decir f (x0) = y0 = 2).
En efecto: Para mostrar que f es inyectiva, es su�ciente ver que
f 0(x) =
8<: 1 ; �10 < x < �21
2
p
x+ 2
; �2 < x < 47
y observar que f 01 (x) > 0 y f
0
2 (x) > 0; por lo tanto ambas son funciones
crecientes y por tanto inyectivas.
Por otro lado, Ran f1 \ Ran f2 = h�12;�4i \ [�4; 3] = �; entonces se
concluye que f es inyectiva.
Ahora, resolviendo
p
x0 + 2� 4 = 2,
p
x0 + 2 = 6, x0 = 34
Finalmente del Teorema de la función inversa se tiene que:
(f�1)0(2) =
1
f 0 (34)
=
1
1
2
p
34 + 2
= 12
5. Dada la función inyectiva
f(x) =
p
x3 + 9
x
; x 2 [2; 8; 4]
Halle (f�1)0(2) ; si existe.
Solución:
Primero obtendremos el valor de x0; tal que f(x0) = 2; entoncesp
x30 + 9
x0
= 2 =) x0 = 3 el cual pertenece al intervalo [2; 8; 4]
luego, derivamos f
f 0(x) =
3
2
x3p
x3 + 9
�
p
x3 + 9
x2
3
evaluando para x0 = 3; se tiene f 0(3) =
1
12
; luego por de�niciòn de
derivada inversa �
f�1
�0
(2) =
1
f 0(x0)
=
1
f 0(3)
=
1
1
12
= 12:
6. Dada la función inyectiva
f(x) =
�
2x+ 1 ; x 2 [�6 ;�1ip
x+ 1 ; x 2 [�1 ; 8]
calcular
�
f�1
�0
(1) :
Solución:
Nuestro primer paso es obtener el valor de x0; tal que f(x0) = 1; entonces
2x0 + 1 = 1) x0 = 0 el cual no pertenece al intervalo [�6 ;�1i :
p
x0 + 1 = 1) x0 = 0 este valor si pertenece al intervalo [�1 ; 8] :
Seguido, calculamos f 0 (x)
f 0(x) =
8<: 2 ; x 2 h�6;�1i1
2
p
x+ 1
; x 2 h�1; 8i
Finalmente, en virtud del teorema de la función inversa�
f�1
�0
(1) =
1
f 0(x0)
=
1
1
2
p
x0+1
=
1
1
2
p
0+1
= 2:
7. Dada la función inyectiva
g(x) =
(
1�
p
4� x ; x � 3
1
x� 2 ; x > 3
calcule si existe
�
g�1
�0
(0) :
Solución:
Es deber hallar el valor de x0 correspondiente a y0 = 0; para lo cual
1�
p
4� x0 = 0) x0 = 3 valor que se encuentra en el intervalo h�1; 3]
Seguido, hallamos g0 (x)
g0(x) =
8>><>>:
1
2
p
4� x
; x < 3
� 1
(x� 2)2
; x > 3
4
En este punto debemos ser cuidadosos, pues el valor x0 = 3; coincide con
el valor donde la función se secciona, por lo tanto, si deseamos aplicar el
teorema de la función inversa, es necesario investigar si la función g(x) es
derivable en x0 = 3; osea si existe g0(3) y es no nulo. En efecto,
g0�(3) =
1
2
p
4� 3
=
1
2
y g0�(3) = �
1
(3� 2)2
= �1
A la luz de nuestros resultados, podemos concluir que la función no es
derivable en x0 = 3; esto implica que no podemos usar el resultado�
g�1
�0
(0) =
1
g0(x0)
Luego, no existe
�
g�1
�0
(0) :
8. Calcular f 0(x); si
f(x) = arccos
�
2x+ 3
p
x
�
� arctan (4x+ 1)
(a) Solución:
f(x) = � 1q
1� (2x+ 3
p
x)
2
�
2x+ 3
p
x
�0 � 1
1 + (4x+ 1)
2 (4x+ 1)
0
= � 1q
1� (2x+ 3
p
x)
2
�
2 +
1
3
x�2=3
�
� 1
1 + (4x+ 1)
2 (4)
9. Obtenga la derivada de la función y = f(x) dada implícitamente por las
expresiones siguientes.
(a) arcsen(x2y) = arccos(x+ y):
Solución:
(x2y)0q
1� (x2y)2
=
�(x+ y)0q
1� (x+ y)2
, x
2y0 + 2xyq
1� (x2y)2
= � 1 + y
0q
1� (x+ y)2
�
2xy + x2y0
�q
1� (x+ y)2 = � (1 + y0)
q
1� (x2y)2
despejando se tiene : y0 = �
p
1� x4y2 + 2xy
q
1� (x+ y)2p
1� x4y2 + x2
q
1� (x+ y)2
:
(b)
p
x2 + y2 = 3 + 2 arctan
�y
x
�
; en el punto (�3; 4):
5
Solución:�
x2 + y2
�0
2
p
x2 + y2
=
2
1 +
�
y
x
�2 �yx�0 , 2x+ 2yy02px2 + y2 = 2x2+y2
x2
�
xy0 � y
x2
�
, x+ yy
0p
x2 + y2
=
2
x2 + y2
(xy0 � y), (x+ yy0)
p
x2 + y2 = 2 (xy0 � y)
y0 = �2y + x
p
x2 + y2
y
p
x2 + y2 � 2x
y0 (�3; 4) = �
2 (4) + (�3)
q
(�3)2 + (4)2
4
q
(�3)2 + (4)2 � 2 (�3)
= � 7
26
6