Análisis Matricial de Ecuaciones Simultáneas (3)

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ANÁLISIS MATRICIAL DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS: APLICACIÓN EN EL DESARROLLO DE UN ÍNDICE DE SELECCIÓN SIMPLE
Ing. Juan Chávez Cossío, Ph.D.
Clase Aplicación de Ecuaciones Simultáneas 
Curso ZT2007 Métodos Matemáticos para la Ingeniería en Ciencia Animal
26.10.2020
CONTENIDO
Insumos para la construcción de un Índice de Selección simple;
Ecuaciones normales simultáneas de referencia;
Caso práctico de índice de selección para dos características en cerdos;
Notación matricial;
Procesamiento matricial; 
Solución;
Expresión del Índice de Selección.
INSUMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN ÍNDICE DE SELECCIÓN SIMPLE
Becker, W.A. (1984). Manual of Quantitative Genetics. Fourth Edition. Academic Enterprises. Washington State, U.S.A. 190 p.
Variancias, genéticas () y fenotípicas (), de cada característica considerada en el Índice de Selección;
Covariancias, genéticas () y fenotípicas ), entre cada par de características;
Pesos económicos relativos, de cada característica (, …….), hasta k características;
… INSUMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN ÍNDICE DE SELECCIÓN SIMPLE
Becker, W.A. (1984). Manual of Quantitative Genetics. Fourth Edition. Academic Enterprises. Washington State, U.S.A. 190 p.
Representación del Valor Genotípico Agregado (H), que corresponde al Índice de Selección (Esperado):
;
Donde: 	 = Valores económicos de cada una de las características; y,
		 = Valores genéticos de cada característica.
Normalmente, dada lo laborioso de resolver sistemas de más de dos características para hallar el Índice de Selección, se opta por aplicar el calculo matricial. Sin embargo, para dar continuidad a clase anterior, aplicaremos la notación matricial y su solución usando el ejemplo anterior para dos características, con el fin de apreciar el procedimiento.
… INSUMOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN ÍNDICE DE SELECCIÓN SIMPLE
Las ecuaciones normales simultáneas, se emplean para la obtención de cada uno de los coeficientes parciales de regresión (), requeridos para la construcción del Índice de Selección (I), que tendrá la forma:
			;
Donde:		 = Valores fenotípicos de las características; y,
		 = Coeficientes parciales de regresión, para las 					 características .
…ECUACIONES NORMALES SIMULTÁNEAS DE REFERENCIA
Ejemplo: Las cuaciones normales simultáneas, que relacionan lo fenotípico con lo genotípico, para características, serían las siguientes:
 + + … + = + + … +
 + … + = + … +
. .
+ = + 
Donde:	 = Variancia fenotípica de la característica;
	 = Variancia aditiva de la característica;
	 = Covariancia fenotípica entre la características;
	 = Covariancia aditiva entre la características;
	 = Ponderación económica de la característica; 
	 = Coeficiente parcial de regresión de la característica.
NOTACIÓN MATRICIAL: FORMA DE LA MATRÍZ FENOTÍPICA Y VECTOR SOLUCIÓN
Esto puede ser simbolizado como Pb
 Matríz Fenotípica P Vector b
 
 
NOTACIÓN MATRICIAL: FORMA DE LA MATRÍZ GENOTÍPICA Y VECTOR DE VALORES ECONÓMICOS
Esto puede ser simbolizado como Ga
  Matríz Genotípica G Vector a
 
 PROCESAMIENTO MATRICIAL: A TRAVÉS DE LA INVERSIÓN DE LA MATRIZ FENOTÍPICA	
Pb = Ga
P-1 = C
CG = D
b = Da
I = bX
Para hallar el vector solución debemos previamente invertir la matriz fenotípica P
P-1 = C representa la matriz fenotípica invertida 
MATRICES FENOTÍPICA Y GENOTÍPICA Y VECTORES ASOCIADOS
Pb = Ga
 Matríz Fenotípica P Vector b Matríz Genotípica G Vector a
MATRÍZ FENOTÍPICA INVERSA
P-1 = C
 PROCESAMIENTO MATRICIAL: INVERSIÓN DE MATRIZ FENOTÍPICA Y OBTENCIÓN DE MATRIZ D	
CG = D
 
 PROCESAMIENTO MATRICIAL: MULTIPLICACIÓN DE MATRIZ D POR VECTOR DE VALORES ECONÓMICOS PARA OBTENER EL VECTOR b	
  b = Da
 
 
 
NOTACIÓN MATRICIAL DEL ÍNDICE DE SELECIÓN
 
I = bX
CASO PRÁCTICO DE ÍNDICE DE SELECCIÓN PARA DOS CARACTERÍSTICAS EN CERDOS
Caso: Se quiere mejorar simultáneamente las características de Eficiencia Alimenticia y Área del Ojo del Lomo en cerdos (Datos ligeramente modificados, obtenidos de la Animal Breeding Organization, de Edimburgo-Escocia, por Dr. Walter A. Becker).
Estimados requeridos
Ponderación económica para ambas características:
Eficiencia alimenticia.- El aumento de 0.1 en conversión alimenticia (expresada como el cociente de dividir el alimento consumido sobre la ganancia de peso promedio de los animales de la piara, al momento de la selección), corresponde a 15.5 libras más de alimento consumido. Si el costo del alimento consumido es de 360 peniques por 112 libras de peso ganadas, entonces la pérdida económica es de:
 
…CASO PRÁCTICO DE ÍNDICE DE SELECCIÓN PARA DOS CARACTERÍSTICAS EN CERDOS
Área del Ojo del Lomo.- En el rango de los pesos de los animales, a la edad de selección, el Área del Ojo del Lomo -tomada a nivel de la última costilla-, tiene una influencia de 12 peniques adicionales de ganancia económica en el valor de la carcasa, por cada centímetro cuadrado más de área lograda.
Estimados de los parámetros genéticos y fenotípicos por característica:
 Conversión Alimenticia ().-
= 0.03125; = 0.0625; y, = 0.50
…CASO PRÁCTICO DE ÍNDICE DE SELECCIÓN PARA DOS CARACTERÍSTICAS EN CERDOS
 Área del Ojo del Lomo ().-
= 4.05; = 9.0000; y, = 0.45
 Conversión Alimenticia y Área del Ojo del Lomo ().-
= 0.1125; 
= 0.4810; 
 = 0.316
 = 0.640
ECUACIONES NORMALES SIMULTÁNEAS DE REFERENCIA
+ = + (Ecuación i)
 = (Ecuación ii)
PROCESO DE OPERACIÓN DE MATRICES CON VALORES NUMÉRICOS
Pb = Ga
P-1 = C
CG = D
b = Da
I = bX
Para hallar el vector solución debemos previamente invertir la matriz fenotípica P
P-1 = C representa la matriz fenotípica invertida 
COMPOSICIÓN NUMÉRICA DE LA MATRÍZ FENOTÍPICA
 
 
 
COMPOSICIÓN NUMÉRICA DE LA MATRÍZ GENOTÍPICA
 
 
 
COMPOSICIÓN NUMÉRICA DE MATRÍZ P INVERTIDA C
 PROCESAMIENTO MATRICIAL: INVERSIÓN DE MATRIZ FENOTÍPICA Y OBTENCIÓN DE MATRIZ D	
CG = D
 
OBTENCIÓN DE MATRÍZ D
CG = D
OBTENCIÓN DEL VECTOR b
b = Da
b
b
b1 
b2 
ÍNDICE DE SELECCIÓN 
  (Simplificado)
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