Clase - Ecuaciones Diferenciales Introducción

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21/07/2020 
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA INGENIERÍA EN CIENCIA ANIMAL 
+ HOMINEM 
ED DE 100TE 
VE CUDIO 
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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA 
FACULTAD DE ZOOTECNIA DEPARTAMENTO DE PRODUCCIÓN ANIMAL 
LA MOLNA 
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIERÍA EN 
CIENCIA ANIMAL 
Docente: Ing. Mg. Sc. Jose Luis Cantaro Segura 
Julio, 2020 
ECUACIONES DIFERENCIALES 
INTRODUCCIÓN 
Docente: Ing. Mg. Sc. Jose Luis Cantaro Segura 
21/07/2020 
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA INGENIERÍA EN CIENCIA ANIMAL 
Notación 
Las derivadas ordinarias se presentarán utilizando: 
Notación de Leibniz 
Notación prima dyldx d2y/dx2 dy/dx d'yldx" o y(n) y" 
Notación de Newton por puntos 
iš = -32 
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Introducción a las ecuaciones 
diferenciales Definiciones y terminología 
Los términos diferencial y ecuación indican, sin lugar a dudas, la resolución de cierto tipo de ecuaciones que contienen 
derivadas 
3x2+2x–8 = 0 
y' - xy = (x - 1)et 
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Ecuación diferencial 
2 
Ecuación diferencial (ED) es cualquier ecuación 
que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o 
más variables independientes. 
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Clasificación de ED por tipo, orden y 
linealidad 
Clasificación por tipo Si una ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo, 
dy dy 
1 
dx 
dy = 2x + y 
+ 5y = et 
dx 
dx? 
+ 6y = 0 dxy 
I dt 
dt 
Ecuaciones diferenciales ordinarias 
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Clasificación de ED por tipo, orden y 
linealidad 
Clasificación por tipo 
Una ecuación en la que se presentan las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo, 
du 
d’u du ax + ay? 
- 
+ 
- 
= 
0 
д?и ax 
?и af 
= 
2 at 
Ecuaciones diferenciales parciales 
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Clasificación de ED por tipo, orden y 
linealidad 
Clasificación por orden 
El orden de una ecuación diferencial (EDO O EDP) representa el orden de la derivada más alta presente en la ecuación. Por ejemplo, 
segundo orden 
primer orden 
dy 3 
ED ordinaria de 
ana + 5 
– 4y = et 
segundo orden 
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Clasificación de ED por tipo, orden y 
linealidad 
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (y – x) dx + 4x dy = 0 C y' = dy/dx 
4xy' + y = x Ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden 
F(x, y, y', ..., y)) = 0 
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Clasificación de ED por tipo, orden y 
linealidad 
open = f(x, y, y', ..., \n~!. 
donde f es una función continua con valores reales 
De este modo, cuando nos sea útil, debemos utilizar las formas normales 
= f(x,y) 
2 = f(x, y, y') 
d2 
para representar ecuaciones diferenciales generales ordinarias de primero y segundo orden. Por ejemplo, la forma normal de la ecuación de primer orden 4xy + y = x es y = (x - y)/4x. 
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Clasificación por linealidad 
Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de n-esimo orden es lineal si Fes lineal en y, y, ... ,Y". Esto significa que una EDO de n-esimo 
orden es lineal cuando es a.(x)yman(x)Yo-1+ ... + a(x)y' + a.(x)y - g(x) = 0 
a,(*) 7 
dx" 
+ An-1(x) 7-1 + ... + (x) + a0(x)y = g(x). 
dr" 
Los coeficientes ao, a1, ... , an de y, y, ..., Yon dependen a lo sumo de la variable independiente x. 
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Las ecuaciones siguientes, a su vez, 
dv 
(v - x)dx + 4x dy = 0 
y" - 2y + y = 0 
+ 3x 
- 5y = 
dx 
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es una ecuación que no es lineal. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como sen yo e, no pueden 
aparecer en una ecuación lineal. Por lo tanto, término no lineal: 
término no lineal: 
término no lineal: el coeficiente depende de y 
función no lineal de y 
potencia diferente de 1 
ар 
(1 - y))' + 2y = ek 
5 + sen y = 0. 
dr 
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Solución de una EDO Toda función 0, definida sobre un intervalo I y que posea al menos n derivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una ecuación diferencial ordinaria de n-esimo orden reduzca la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación sobre el intervalo. Se dice que o satisface la ecuación diferencial sobre l. 
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Intervalo de definición 
No es posible considerar una solución de una ecuación diferencial ordinaria sin pensar al mismo tiempo en un intervalo. El intervalo / de la definición (*) se denomina de diversas maneras: intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado (a, b], un intervalo infinito (a,0), etcetera. 
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Verificación de una solución 
Compruebe que la función señalada representa una solución de la ecuación diferencial dada, sobre el intervalo (- 0, 0). 
a) dy 
= xy2; y = x/16 
b) y” - 2y + y = 0; y= xe 
Solución Una forma de verificar que la función indicada representa una solución es revisar, después de sustituir, si cada extremo de la ecuación es igual para cada x localizada dentro del intervalo. 
a) Del extremo izquierdo: 
dx - 4. 16 = 4 
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extremo derecho: tju=* (19)* - - 
observamos que cada extremo de la ecuación es igual para todo numero real x. Advierta que y" = x14 es, por definición, la raíz cuadrada positiva de x/16. 
b) x - 2y + y = 0; y= xe" b) A partir de las derivadas y' = xe + et y y" = xet + 2er tenemos para todo numero real x, 
extremo izquierdo: y" – 2y + y = (xe" + 2e") - 2(xe" + e') + xe' = 0 
extremo derecho: 0. 
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Gracias!!! 
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