Clase Vectores y matrices 3 (1)

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28/08/2020 
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA LA INGENIERÍA EN CIENCIA ANIMAL 
+ HOMINEM 
D DE 20 OTS 
+ Odd 3 
ET 
UNIVERDIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA 
FACULTAD DE ZOOTECNIA DEPARTAMENTO DE PRODUCCIÓN ANIMAL 
LA MOLNA 
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA INGENIERÍA EN CIENCIA ANIMAL 
Docente: Mg. Sc. Jose Luis Cantaro Segura 
Julio, 2020 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Docente Ing. Mg. Sc. Jose Luis Cantaro Segura 
28/08/2020 
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Una ecuación lineal en las variables xı,..., X, es una ecuación que puede escribirse en la forma 
aix] + 42X2 + ... + anxn = b (1) 
donde b y los coeficientes a.,..., a. son números reales o complejos, que generalmente se conocen de antemano. El subíndice n puede ser cualquier entero positivo. 
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Las ecuaciones 
4x1 - 5x2 + 2 = xi y x2 = 2(V6- X1 + X3 
son lineales porque se pueden reordenar algebraicamente en la forma de la ecuación (1): 
3x1 – 5x2 = -2 y 2x1 + x2 – X3 = 216 
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Las ecuaciones 
4x1 – 5x2 = X]X2y x2 = 2/X1-6 
no son lineales debido a la presencia de xixa en la primera ecuación y de raíz de Xi en la segunda. Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de una o más ecuaciones lineales que implican las mismas variables, por ejemplo, X1,..., X.. Un ejemplo es: 
(2) 
2x1 – X2 + 1.5x3 = 8 X1 - 4x3 = -7 
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Una solución del sistema es una lista de números (S1, S2,..., Ss) que da validez a cada ecuación cuando se utilizan los valores Si,..., S. en lugar de X1,..., Xn, respectivamente. 
Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solución del sistema (2) porque al sustituir estos valores en (2) para X1, X2, X3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a 8 = 8 y 7=7. 
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El conjunto de todas las posibles soluciones se llama conjunto solución del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Es decir, cada solución del primer sistema es una solución del segundo sistema, y cada solución del segundo sistema también es una solución del primero. 
Es fácil encontrar el conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables porque equivale a obtener la intersección de dos rectas. Un problema común es 
Xı – 2x2 = -1 - X1 + 3x2 = 3 
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Las gráficas de esas ecuaciones son líneas rectas, las cuales se denotan como L yl 2. Un par de números (x1, x2) satisface ambas ecuaciones del sistema si y solo si el punto (X1, X2) está sobre L yL2. En el sistema anterior, la solución es el único punto (3,2), lo que puede comprobarse fácilmente. Véase la figura 
2+ 
Exactamente una solución. 
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Desde luego, dos rectas no necesitan intersecarse en un solo punto; podrían ser paralelas, o coincidir y, así, "intersecarse" en todos los puntos de la recta. La figura muestra las gráficas que corresponden a los siguientes sistemas: 
a) Xi - 2x2 = -1 
-X1 + 2x2 = 3 
b) X1 - 2x2 = -1 
X1 + 2x2 = 1 
++ 
A 
++ 
+ 
* 
b) 
a) No hay solución b) Número infinto de soluciones. 
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Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solución o un número infinito de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna solución. 
' 
t 
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Matrices 
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Definición. Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de m x n números dij, i = 1,...,m, j= 1,..., n. dispuestos en m filas y n columnas: 
aml ** Omn) 
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Columna 
Fila i 
dji 
... 
ajj 
... 
din 
Notación matricial. 
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De esta manera, el primer subíndice, i, indica la fila y el segundo, j, la columna en la que se encuentra el elemento dij. mx n es la dimensión de la matriz. 
Otras notaciones utilizadas para denotar una matriz A de elementos Qj; es 
También se emplea directamente la notación A 0 Ai para denotar el elemento de la fila ¿ y columna j de una matriz A (Ajj = dij). Por ejemplo, 
(1-25) 
A=1 
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es una matriz de 2 x 3. En este caso, 212 = -2, a21 = 9. 
Cuando m= n se dice que la matriz es cuadrada. Por ejemplo, 
11 -2 190 
es una matriz de 2 x 2. B es una submatriz de A, formada por sus dos primeras columnas. 
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X 
El conjunto de todas las matrices de m x n con elementos reales se denota Rmxn. Si los elementos son números complejos, el conjunto se denota Cmxn. 
Si m = n = 1, Rixl se considera equivalente al conjunto R de números reales. Por otro lado, cuando m = 10 n = 1, la matriz resulta equivalente a un vector de nom componentes respectivamente: 
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Definición, Un vector o matriz columna b de m componentes es una matriz de dimensión m x 1: 
b 
= 
Un vector o matriz fila a de n componentes es una matriz de dimensión 1 xn: 
a = (a1, 02, ..., On) 
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Operaciones básicas con matrices 
Las siguientes son definiciones básicas del algebra de matrices. 
Dos matrices A y B se dice que son iguales si y sólo si tienen: i) la misma dimensión (ambas de m xn) y ii) todos sus elementos correspondientes iguales: Qij = bij Vinj. 
Multiplicación por un escalar. 
Sea A una matriz de mxn y a un escalar (un número real o complejo). El producto aA es una matriz de igual dimensión cuyos elementos son los de A multiplicados por a: 
(aAlij = adij Por definición Aa=aA (a escalar). 
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Es decir, todos los elementos de A deben ser multiplicados por a. Por ejemplo, 
341 -2 5 )_/ 3 6 15 
9 03) 27 0 9) 
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Si Ay B son las matrices, entonces 
[ 
4 -1 
0 3 
5] 2 1 
= 
[1 | 3 
1 5 
1 7 
1-28 = [-1 : 3]-[ 1 ] = [-3 -3 -17] 
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Suma de matrices. Sean A y B dos matrices de la misma dimensión (ambas de m xn). La suma A+B es la matriz de igual dimensión cuyos elementos son la suma de los correspondientes elementos de A y B: 
(A + B)ij = Qij + bij Si las dimensiones no son iguales la suma no está definida. 
Por ejemplo, 
(6 7)+(;) - (83) 
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Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño (es decir, el mismo número de filas y de columnas) 
Sean 
--[1 / 1] -1} } }]. -=[3=1] 
Luego, 
A + C 
no está definida porque A y C tienen diferentes tamaños. 
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Propiedades de la suma de matrices. Las siguientes propiedades son obvias a partir de la definición. 
1. Commutatividad. Para todo par de matrices A, B do mxn, se cumplo 
A+B=B+ A 2. Asociatividad. Para toda terna de matrices A, B, C de m X n. se cumple 
A +(B+C) = (A + B) + C 3. Existencia de elemento neutro (matriz nula). Para toda A de mxn se cumple 
A +0=0+ 
A= 
A 
donde 
es la matriz nula de m x n (0j;=oVi,j). 
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4. Existencia de elemento opuesto (-A). Para toda A de mxn se cumple 
A+(-A) = (-A) +A=0 
donde 
-Q11 ... -A= (-1A= 
.. 
-am... -ann La resta de dos matrices A, B de m x n se define entonces como 
A - B = A +(-B) 
Por ejemplo, (; )-(; 7) - (: :). 
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En relación a la multiplicación por un escalar, es fácil probar las propiedades siguientes: 
5. Distributividad respecto de la suma de matrices. Si A y B tienen la misma 
dimensión, para todo escalar a se cumple 
a(A + B) = aA +aB 
6. Distributividad respecto de la suma de escalares. Si a y B son escalares, para 
toda matriz A se cumple 
(a + B)A = aA + BA 7. Asociatividad. Para toda matriz A y escalares a, B, se cumple 
(ap)A = a(BA) 
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Al intercambiar (o trasponer) filas por columnas en una matriz A se obtiene la deno minada matriz traspuesta (o transpuesta) AT: 
Matriz traspuesta. La traspuesta A? de una matriz A de m x n es una matriz de n xm cuyas filas son las columnas de A, es decir, cuyo elemento i, i es el elemento j, i de A: 
(AT); = d ji 
Por ejemplo, 
9\ 
1 -2 5171 
= 
-2 
0 
(1 (9 
-20 5 3 
2 0 
5 3 
903) 
Obviamente, por la definición se cumple 
(AT)T = A 
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Si A y B son de mxn y a es un escalar, se cumplen también las siguientes propiedades: 
(A + B)T = AT + BT 
(QA)? = a AT es decir, la traspuesta de una suma de matrices es la suma de sus traspuestas, y la traspuesta de un multiplo de una matriz es el multiplo de su traspuesta. La demostración de estas propiedades (obvias) se dejan para el lector. Por ejemplo, ((A + B)?)ij = (A + B)ji = aji + bji = (AT)ij + (BT)ij = (AT + BT). 
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Nótese que la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa: 
-2) = 
(1-25) 
(1 -2 5) = 
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Matrices cuadradas especiales 
Como se mencionó previamente, si m = n la matriz se dice cuadrada. Los siguientes tipos de matrices cuadradas son de particular importancia, como veremos luego. 
Matriz diagonal 
Es aquella en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero: 
9110 
0 022 T: 0 
O 0 
.. 0 
. 0 
0 0 ann) 
es decir, di = 0 si i tj. 
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Matriz identidad Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son 1. Se la denota con lo también 1: 
(1 O... 0 
10 1 0 0 I = | 
T: 0 . 0 
10o01 
es decir, lj= 
1 i=j 
7 . La matriz identidad de nxn se denota como I, o 17. 10 ij 
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Matriz triangular superior Es una matriz donde todos los coeficientes por debajo de la diagonal principal son cero: 
au 212 | 0 092 
• din . 09n 
0 
0 
0 
ann) 
es decir, Qij = 0 si i >j. 
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Matriz triangular inferior. Es una matriz donde todos los coeficientes por encima de la diagonal principal son cero: 
211 0 221 692 
0 0 
... 
A 
= 
11 
ani An2 
ann 
es decir, dij = 0 si i<j. Si A es triangular superior, AT es triangular inferior y viceversa. 
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Matriz simétrica. Es una matriz que es igual a su matriz traspuesta: 
A simétrica 
AT = A 
o sea dij = Qji Vij. Por ejemplo, 
11 -7 3 A= 1 -7 2 0 
3 0 -4) 
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Matriz anti-simétrica. Es una matriz que es igual a menos su matriz traspuesta: 
A antisimétrica AT = -A 
o sea aij = -dji Vi,j. Esto implica que los elementos diagonales (i = j) son nulos, ya que A = -Aj Por ejemplo, 
0 -7 31 A= 7 0 1 
1-3 10) 
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Producto de matrices 
Pasemos ahora a definir el producto de matrices. Esta es una operación clave, que posibilita el uso de las matrices para representar algebraicamente sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones lineales entre vectores y operaciones geométricas tales como rotaciones y reflexiones. 
Antes de definir el producto matricial, recordemos que el producto escalar o punto de dos vectores reales de n componentes a = (01... ..an) yb= (bl...., bn) está dado por 
a.b= 
arbk = a1b1 + ... + anbn 
k=1 
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Definición Consideremos una matriz A de 172. X. 17 y una matriz B de 77 X p. tal que el numero de columnas de A coincide con el número de filas de B. Las filas de A y las columnas de B. 
buil 
son entonces vectores de 72 componentes. El producto de 4 por B es una matriz de ve xp cuyos elementos i, son el producto escalar de la fila i de A por la columna de B: 
не п т хри хр| 
(AB) 
= 
Oi* buj 
Tebe = 011b 
+...+ darbai 
FI 
Es decir, 
bu 
...b1p 
LH-01201... Ska12 blir 
C 
) 
. ami 
amn, : 
bai 
. Sk-mabip Ek grebet 
bap Si el número de columnas de A no coincide con el número de filas de B, el producto AB 00 está definido. 
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[ 2 
Calcule AB, donde A= 
Calcule AB. donde A = [_3}}x=[i_ 
درا ا 
Escriba B = [b1 b2 bz), y calcule: 
46 = [ { __][*] 
Ab = [} _] 3) 
Aby=[} _{][9] 
Luego, 
AB = A[b: b2 bs] = -1 13 -9 
Abi 
Ab, 
Ab 
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Ejemplos 
(52) (* ) = ($# 3+3)= (%) 
(1) (3 ) - (07:3+)= (39) 
11-6 2-8 
2 +3 4+4 
iiSe observa que el orden de los factores sí altera el producto!! 
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Para encontrar la entrada de la fila 1 y la columna 3 de AB, considere la fila 1 de A y la columna 3 de B. Multiplique las entradas correspondientes y sume los resultados, como se muestra a continuación: 
AB = * [? -=[ * _ ]-[8 • 20 +3®] = [: ?] 
Para la entrada en la fila 2 y la columna 2 de AB, use la fila 2 de A y la columna 2 de B: 
--[} =3][+ + 
]-[8 16+se2) 2] - [8 ] 
0 13 
217 
O 
1(3) +-5(-2) 
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Además, el producto de una matriz fila de 1 xn por una matriz columna de nx les una matriz de 1 x 1, mientras que el de una matriz columna de nx 1 por una matriz fila de lx n es una matriz de nx n !! Por ejemplo, para n=2, 
(1 2) () –(7), () 2)(42) 
En el caso general, AB puede estar definido pero B A no necesariamente lo estará, como muestra el siguiente ejemplo con A de 2 x 3 y B de 3 x 1: 
1 
2 
(1 212) 0 - 0) 
(1 : 2) no definido 
1 2 
2 -1 
3 4) 
no definido 
2-14 
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Representación matricial de sistemas lineales 
Consideremos nuevamente un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas X1, .........., Xn : 
01121 + 212X2 +...+ainen 02121 +22222 + ... + d2nIn 
= bi = b2 
| Amili + 2m222 + ... + amnIn = bm 
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Existen dos formas equivalentes de representar este sistema en forma matricial. 
En términos de la matriz de coeficientes A del sistema de mxn, 
am 
an 
y los vectores columna x de incógnitas (n x 1) y b de términos independientes (m x 1). 
podemos escribir el sistema 
1*-. --* CS30) 
en forma matricial COMO 
ULT 
1221 
o sea, en forma compacta, 
Ax=0 
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El sistema 
( 11 + 3x2 + 13 = 
11 +212 + 3x3 = (11 + 2x2 + 2x3 = 
5 -2 1 
puede escribirse como 
/1 3 1 rill | 1 2 3 12 = 1 
1 2 2) (23) 
13 
Docente Ing. Mg, Sc. Jose Luis Cantaro Segura 
Podemos escribir Ax como combinación lineal de las columnas de A y por lo tanto, es equivalente a 
011 
es decir, 
110.1 + ... +1,0 n = b 
donde qui es la columna i de A. 
Docente Ing. Mg. Sc. Jose Luis Cantaro Segura22 
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Gracias!!! 
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