Cálculo multivariable

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ZT 2007 Métodos Matemáticos para 
Ingeniería en Ciencia Animal 
 
Javier Ñaupari, PhD 
Semestre 2020-I 
Funciones 
Funciones de varias variables. 
Curvas y superficies en 3D. 
Modelos empíricos 
 Una función se 
construye cuando 
una cantidad 
depende de otra. 
• El área A de un 
círculo depende de 
un radio r 
• Población del mundo 
P depende del tiempo 
t 
Una función f es una regla que asigna a 
cada elemento x en un set D exacto de 
otro elemento llamado f(x) en un set E 
 
 
 
 
 
 
 
{(x, f(x)) | x ϵ D} 
 Hallar valores de f(1) y f(5) 
 ¿Cuál es el dominio y rango 
de f? 
 Dibuja el gráfico y encuentra el dominio y 
rango de cada función 
 
 (a) f(x) = 2x – 1 
 (b) g(x) = x2 
 Impacto en la Ganadería Altoandina (Flores, Ñaupari, Tácuna, 2014) 
 
 La capacidad de carga se estimó en función de la clasificación elaborada por el 
Laboratorio de Ecología y Utilización de Pastizales de la UNALM para el estatus 
ecológico y el escenario de pastoreo para las 16 regiones políticas en la puna. 
 
 El cambio temporal en la productividad de los biomas (arbustal, pajonal y bofedal) 
para los años 2040, 2070 y 2100 permitió estimar las variaciones en capacidad de 
carga y productos animales de los ecosistemas (Lau y Flores, 2011). 
 
 Para predecir estos cambios en productividad se utilizó el modelo propuesto por 
Lieth (1973): 
 
Y = 3000(1 - e-0,000664X) 
 
 Donde Y es productividad primaria neta y X es la precipitación anual promedio. 
Esta ecuación permite calcular el cambio relativo en el estatus productivo de los 
ecosistemas, los cambios en capacidad de carga y los productos animales 
derivados de ella (Evans y Workman, 1994). 
 
 Función de dos variables es una regla que asigna a 
cada par de números reales ordenados (x, y) en un set 
D un número único real denotado por ƒ(x,y). El set D 
es el dominio de ƒ y su rango es el set de valores que ƒ 
toma, ƒ 𝑥, 𝑦 | 𝑥, 𝑦 ϵ𝐷 
 
 
 Índice de masa corporal 
• 𝐵 𝑚, ℎ = 
𝑚
ℎ2
 
 Hallar para las siguientes funciones el valor de f(3,2) y 
encuentra el dominio 
 
 (a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 
𝑥+𝑦+1
𝑥−1
 
 (b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ln (𝑦2 − 𝑥) 
Encuentra el dominio y rango de 
𝑔 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 
Una función de 3 variables, f, es una regla 
que asigna a cada triple ordenado (x, y, 
z) en un dominio D ϵ R3 un valor único real 
denotado por f(x, y, z). 
T = f(x,y,t) 
• Dónde 
 T temperatura 
 Longitud x, Latitud y 
 Tiempo t 
Si f es una función de dos variables con 
dominio D, entonces el gráfico de f es el 
set de todos los puntos (x, y, z) en R3 tal 
que z = f(x,y) y (x,y) está en D 
https://www.geogebra.org/3d?lang=es 
Graficar 
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 + 3𝑦2)𝑒−𝑥
2−𝑦2 
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 
𝑠𝑒𝑛𝑥 sen 𝑦
𝑥𝑦
 
Célula larga Estoma 
 Nadir measurements include highest fraction of 
background 
 It is difficult to constrain the amount of shadow at 
different times of the day. 
Sandmeier and Itten, 1999 
Hotspot 
Hotspot 
Sun position 
Sun position 
 La curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas 
con ecuaciones f(x,y) = k, donde k es una constante (en el rango 
de f) 
 Un nivel de la curva f(x,y) es el set de todos los puntos en el 
dominio de f al cual f toma un valor dado k. En otras palabras, 
muestra donde el gráfico de f tiene una altura k 
 
 
 
 Estimar valores para f(1,3) y f(4,5) 
Encontrar valores para f(x,y)= 6 – 3 x -2 y 
Para k = -6, 0, 6, 12 
 Índice de masa corporal 
• 𝐵 𝑚, ℎ = 
𝑚
ℎ2
 
 
 
•
𝑚
ℎ2
= 𝑘 
 Aster GDEM 2011 
 http://geoservidorperu.minam.gob.pe/geoservid
or/download_raster.aspx 
ELEVACIÓN 
http://geoservidor.minam.gob.pe/geoservidor/dowloand_ratser.aspx
http://geoservidor.minam.gob.pe/geoservidor/dowloand_ratser.aspx
• Desarrollados sobre modelos matemáticos para 
examinar relaciones entre set de datos 
observados o medidos. 
 
• Más común son técnicas de regresión para 
predecir variable (Y) basado en otra variable (X) 
de datos observados 
 
• Ejemplos: 
• Predecir biomasa forrajera a partir de precipitación anual o 
estacional y su relación con datos colectados en pico de 
lluvia y biomasa 
 
• Predecir biomasa de plantas usando relaciones entre datos 
de campo e índices de verdor (Índice de vegetación de 
diferencia normalizada, NDVI) 
 
 
 
 Generalmente bajo 
costo para desarrollar 
modelo; sin embargo, 
colección de datos 
puede ser caro 
 
 
 Relativamente fácil de 
implementar 
Source: http://www2.cedarcrest.edu/academic/bio/hale/biostat/session24links/regression.html 
• No recomendado para 
exceder límites de datos 
usados para construir el 
modelo 
 
• Aunque parezca que es una 
simple relación entre las 
variables de interés, el 
mecanismo que afecta cada 
variable no puede ser bien 
entendido 
 
• Puede requerir producir 
modelos de prueba y error 
National Statistics Office 
of Mongolia 
Livestock Numbers (2000-
2014) 
Conversion to 
Sheep Forage 
Units (SFU) 
 Forage Demand (FD; 
kg/ha/yr) 
MODIS NDVI 
(250-m) 
Imagery 
Clipped 
Herbaceous 
Biomass 
Regression to Predict 
Forage Biomass 
(𝑟2=0.70) 
Forage Available 
(FA; kg/ha/yr) 
Forage Percent Use 
(PU=FD/FA) 
Mapping and 
Analysis 
(soum scale) 
MODIS 
Rangeland Max 
NDVI Pixels 
MODIS Land 
Cover 
Forage Intake per 
Sheep Unit 
(365 kg/hd/yr)