UNALM (Teoria de Errores)

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FÍSICA GENERAL
2020-I
UNALM FÍSICA GENERAL 2020 - I 2
Logros Esperados
 Expresar de forma correcta el resultado de una medición.
 Identificar los errores experimentales.
 Comprender la propagación de errores en una determinada medida.
 Identificar las cifras significativas en una medición
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INTRODUCCIÓN
La física es una ciencia experimental, cuyos resultados se basa en una serie
de medidas. En este sentido los resultados obtenidos en el laboratorio se
usan para verificar ciertas teorías, las cuales vienen expresadas mediante
formulas (Leyes físicas). En este punto cabe la siguiente pregunta:
¿Qué significa medir..?
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MEDIDA
Proceso de comparar una magnitud física con el objetivo de asociar a 
la primera un número característico de su valor en base a la magnitud 
con la que fue comparada. 
Medida
Magnitud física 
(susceptible de 
medida)
Información tomada 
de la unidad patrón
Son expresadas como:
(escalar)x(unidad de medida)
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Cuando hacemos la medición de un objeto nos damos cuenta de:
 El acto de medir es comparar con una unidad asociada al instrumento.
 No siempre las mediciones se pueden obtener de forma directa, por
ejemplo el área.
 Nos preguntamos: La medida de la magnitud física es correcta o no.
MEDIDA
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
La fuentes de error en medidas experimentales son variadas y tienen
diversos orígenes, sin embargo las podemos clasificar en dos grupos:
 Errores de Resolución.
 Errores Aleatorios
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
 Errores de Resolución (𝐸𝑟)
Este error esta relacionado con la calidad del instrumento de medida. Todo
aparato de medida tiene una precisión limitada.
Ejemplo: medida de longitud con una regla dividida en milímetros, en este
caso la precisión de la medida no será suficiente para apreciar las décimas,
centésimas, milésimas de milímetro.
En un aparato digital el error de resolución es la cifra de máxima precisión.
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
 Por ejemplo, para la balanza digital mostrada en
la figura se tiene
 Errores de Resolución (𝐸𝑟)
 Por ejemplo, se mide cierta longitud, 𝑙 = 9,5 𝑐𝑚 con una regla en escala
milimetrada, por lo tanto al informar su resultado una persona debe
escribir su resultado de la siguiente manera
𝑙 = 9,5 ± 0,05 𝑐𝑚 ó 𝑙 = 95 ± 0,5 𝑚𝑚
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
 Errores Aleatorios
Son errores producidos por factores no controlables los cuales inciden en el
experimento. Cuando un experimento se repite varias veces bajo las mismas
condiciones, se observa resultados diferentes, existiendo una acumulación
de factores aleatorios que unas veces provocan desviaciones en una
dirección u otra.
Este tipo de error se cuantifica mediante métodos 
estadísticos..!!!. 
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
La dispersión de los resultados respecto a la media se cuantifica mediante 
la siguiente expresión para la desviación estándar o típica
 Errores Aleatorios
Si realizamos N medidas repetidas de la magnitud 𝑥𝑖 (𝑖 = 1,2,3…𝑁), 
considerando como valor correcto la media aritmética, a decir:
 𝑥 =
1
𝑁
 
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
𝜎 =
 𝑖=1
𝑁 𝑥 − 𝑥𝑖 2
𝑁 − 1
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
El error estándar disminuye con la raíz cuadrada del numero 
de medidas.
𝑠𝑚 =
𝜎
𝑁
 Error del valor medio (Error Estándar)
Cuando se realizan varias medidas, la compensación de los errores
aleatorios se van mejorando, por lo tanto 𝑥 se vuelve más preciso. En este
sentido se define el error estándar como:
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ERRORES EN LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
 Error total o absoluto
Tal como su nombre lo indica, el error absoluto es el resultado de la suma
de lo errores aleatorios y errores de resolución, es decir:
∆𝑥 = 𝑠𝑚2 + 𝐸𝑟
2
Donde:
𝐸𝑟: Error de resolución del instrumento
𝑠𝑚: Error estándar de la medida
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VALOR DE LA MEDICIÓN DE UNA 
MAGNITUD FÍSICA
Donde:
El resultado asociado a cualquier medida NUNCA es matemáticamente exacto
pues este viene asociado a imprecisiones , tal como la precisión limitada propia
del instrumento de medida o algún otros factores.
Para indicar dichas imprecisiones es necesario expresar el resultado de nuestra
medida como:
𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥 𝑢
Magnitud 
física
Valor bueno
Error absoluto
Unidad (S.I)
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PROPAGACIÓN DE ERRORES
Hasta el momento hemos visto los tipos de errores que se pueden cometer
en una determinada medida experimental, sin embargo el estudio no acaba
aquí. Si la magnitud que se quiere determinar su valor es una cierta función
de magnitudes que podemos medir directamente en el laboratorio, tenemos
que los errores se pueden propagar.
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PROPAGACIÓN DE ERRORES
Si A es la magnitud física que queremos calcular su valor, esta tendrá la
siguiente forma:
𝐴 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, … )
Donde x, y, z, son las magnitudes que podemos medir de forma directa en
el laboratorio, por lo tanto tendrá la forma.
𝐴 = 𝑓( 𝑥 ± ∆𝑥, 𝑦 ± ∆𝑦, 𝑧 ± ∆𝑧,… )
El error general de la magnitud viene dado por:
∆𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝑥
∆𝑥
2
+
𝜕𝐴
𝜕𝑦
∆𝑦
2
+
𝜕𝐴
𝜕𝑧
∆𝑧
2
Donde :
𝜕𝐴
𝜕𝑥
Derivada parcial de A con respecto
a la variable x
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PROPAGACIÓN DE ERRORES
Función Incertidumbre combinada
𝑦 = 𝑐. 𝑎
c = constante
∆𝑦 = 𝑐∆𝑎
𝑦 = 𝑎𝑥1 ± 𝑏𝑥2 ±⋯
(a, b, .. Son constantes)
∆𝑦 = 𝑎2 ∆𝑥1 2 + 𝑏2 ∆𝑥2 2 +⋯
𝑦 = 𝑎𝑥1
𝑛𝑥2
𝑚…𝑥𝑁
𝑞 ∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑥1
𝑥1
2
+ 𝑚
∆𝑥2
𝑥2
2
+⋯ 𝑞
∆𝑥𝑁
𝑥𝑁
2
𝑦 = 𝑎𝐿𝑛(𝑥)
∆𝑦 = 𝑎
∆𝑥
𝑥
𝑦 = 𝑎𝑒𝑥 ∆𝑦 = 𝑎𝑒𝑥∆𝑥
Ecuaciones para la incertidumbre estándar combinada de algunas funciones
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EJEMPLO PROPAGACIÓN DE 
ERRORES
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EJEMPLO PROPAGACIÓN DE 
ERRORES
Calculo del valor medio
 𝐷 =
1
𝑁
 
𝑖=1
10
𝐷𝑖 = 5,24 𝑐𝑚
Calculo de la desviación estándar
𝜎 =
 𝑖=1
𝑁 𝑥−𝑥𝑖
2
𝑁−1
=0,017
𝑠𝑚 =
𝜎
𝑁
= 0,0054
Error estándar de la medida
El valor correcto de la magnitud D es:
𝐷 = 5,24 ± 0,0054 𝑐𝑚
∆𝑥 = 𝑠𝑚2 + 𝐸𝑟
2
Recuerda que:
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EJEMPLO PROPAGACIÓN DE 
ERRORES
Se procede de la misma manera para la otra magnitud física. Calculo del
valor medio ℎ =
1
𝑁
 
𝑖=1
10
ℎ𝑖 =
Calculo de la desviación estándar
𝜎 =
 𝑖=1
𝑁 𝑥 − 𝑥𝑖 2
𝑁 − 1
=
𝑠𝑚 =
𝜎
𝑁
=
Error estándar de la medida
El valor correcto de la magnitud D es:
ℎ = ± 𝑐𝑚
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EJEMPLO PROPAGACIÓN DE 
ERRORES
Ahora se procede al calculo del volumen del cilindro con la formula
respectiva
𝑉 =
𝜋
4
𝐷2ℎ
Su valor medio
𝑉 =
𝜋
4
 𝐷2 ℎ
Por lo tanto
𝑉 =
𝜋
4
 𝐷2 ℎ =
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EJEMPLO PROPAGACIÓN DE 
ERRORES
Ahora se procede al calculo error absoluto para el volumen, para ello
usamos:
∆𝑉
𝑉
= (2
∆𝐷
𝐷
)2+
∆ℎ
ℎ
2
=
Por lo tanto
𝑉 = 𝑉 ± ∆𝑉 =
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EJEMPLO PROPAGACIÓN DE 
ERRORES
Se desea medir la densidad 𝜌 de un cuerpo. Para eso, son realizadas
varias mediciones de la masa 𝑚 y el volumen V. Los resultados de la
medición son:
𝑚 = 145,7 ± 0,6 𝑔
𝑉 = (65,34 ± 0,03)𝑐𝑚3
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REDONDEO Y CIFRAS 
SIGNIFICATIVAS
Al mostrar un resultado de una determinada medida el número de
decimales que la expresen ha de ser coherente con el error que la
acompaña.
Cifras Significativas: Son las cifras que nos indican con significado físico
la medida de una magnitud física. No tiene sentido que una medida sea
afectada de una aproximación mayor que aquella permitida por el valor
del límite superior del error.
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REDONDEO Y CIFRAS 
SIGNIFICATIVAS
Por ejemplo: Si hacemos una medida del largo de una mesa con una
regla graduada, cuya menor división es en la escala de 1 mm, el resultado
es representado por el siguiente numero L = 97,65 cm. Para dicho
resultado, no todos las cifras merecen el mismo grado de confianza. Las
cifras 9 , 7, 6 son cifras leídas en la escala la de la regla (exactos),
mientras que el 5 es una cifra que podrá aparecer si es estimada.
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REGLAS PARA ESTABLECER EL NÚMERO 
DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Podemos establecer las siguientes reglas para una determinada
medida
§ El número no nulo a la izquierda es el más significativo.
§ El número a la derecha es el menos significativo, inclusive el cero.
§ Todos los números entre el menos y más significativo deben ser tomados
como relevantes.
§ Los ceros a la izquierda del primera cifra no nula, antes o después de la
coma decimal son no significativos (Solo sirven para representar la medida
en múltiplos e sub múltiplos de unidades.).
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OPERACIONES CON CIFRAS 
SIGNIFICATIVAS
Podemos establecer las siguientes reglas para establecer el número
de cifras significativas en un determinado calculo.
§ El resultado de multiplicar o dividir dos números tiene el mismo número
de cifras significativas que aquel numero que tiene menor cantidad de
cifras significativas.
Ejemplo: 𝟐𝟓, 𝟓𝟕 𝒎 × 𝟐, 𝟒𝟓 𝒎 = 𝟔𝟐, 𝟔 𝒎𝟐
Para dicha operación, el número 2,45 m limita el resultado a 3 cifras significativas
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OPERACIONES CON CIFRAS 
SIGNIFICATIVAS
Podemos establecer las siguientes reglas para establecer el número
de cifras significativas en un determinado calculo.
§ Cuando se suma o resta dos números, el número de lugares decimales
en el resultado debe ser igual al MENOR número de lugares decimales
en todos los términos de la suma o resta.
Ejemplo: 𝟏𝟑𝟓 𝒄𝒎 + 𝟑, 𝟐𝟓 𝒄𝒎 − 𝟏, 𝟏𝒄𝒎 = 𝟏𝟑𝟕 𝒄𝒎
Para dicha operación, el número 135 cm limita el resultado a ningún decimal
(cero decimales, la menor cantidad de decimales). Los decimales no
incluyen la parte entera.
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REDONDEO CON CIFRAS 
SIGNIFICATIVAS
Después de verificar el número de cifras significativas para una
determinada magnitud física, es generalmente necesario hacer el
redondeo en el valor de la magnitud física, así como también en su
incertidumbre. Para efectuar dicha tarea se puede usar las siguientes
reglas:
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REDONDEO CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Verificación de la 1era 
cifra excedente
Procedimiento
(en la última cifra 
significativa)
Mayor que 5 Se aumenta una unidad
Menor que 5 Permanece tal como está
Igual a 5 y seguidos por 
ceros
Si la cifra anterior fuera par 
esta queda tal como está.
Si la cifra anterior fuera 
impar esta aumenta en la 
unidad.
Igual a 5 y seguidos por 
cualquier otra cifra diferente 
de ceros
Se aumenta una unidad
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REDONDEO CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Ejemplos:
CIFRAS
significativas excedentes resultado
5,47 620 5,48
221,67 241 221,67
38, 196 38
1,44 978 1,45
65,193 506 65,194
34,864 500 34,864
367,907 500 367,908
19,99 513 20,00
3,99 453 3,99
0,0102 331 0,0102