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Las funciones logaritmo y exponencial 401
Espero que estés de acuerdo conmigo: la forma más fácil e intuitiva de imaginar el número
log t es como el área de la región plana limitada por la curvay D 1=x, las rectasx D 1, xD t ,
y el eje de abscisas. Dicha área se considera positiva sit > 1 y negativa sit < 1. Dicho de otra
forma:
log t D
tw
1
1
x
dx
Es frecuente interpretar esta igualdad de la siguiente forma: la función logx es derivable y
log 0x D 1=x; por tanto
r t
1
1
x
dx D log t � log1D log t . ¡Parece que hemos probado algo! Y
no es así porque en este razonamiento estamos usando que la función logaritmo es derivable y
eso es algo que no hemos probado. Todavía peor: ni siquiera hemos dado una definición de la
función logaritmo que permita probar las propiedades de dicha función. Usualmente se define
logx como el númeroy que verifica que ey Dx. La existenciade ese númeroy está lejos de
ser evidente. El propio número e tiene que ser definido de alguna forma apropiada.
Hago estas reflexiones para que te des cuenta de que lo que conoces de las funciones lo-
garitmo, exponencial, trigonométricas: : : , es un conocimiento descriptivo. De estas funciones
conoces, porque te lo han dicho, su comportamiento; pero no creo que hayas demostrado sus
propiedades. Bueno, no quiero que pienses que tus profesores de bachillerato te ocultan infor-
mación, lo que ocurre es que una definición de estas funcionesque permita probar su existencia
y demostrar sus propiedades requiere herramientas matemáticas que no tienen cabida en las
enseñanzas medias. Precisamente, el Teorema Fundamental del Cálculo permite definir estas
funciones de forma fácil, elegante y correcta.
Olvida ahora todo lo que sepas de la función logaritmo natural. ¿Lo has olvidado ya?
Sigamos.
8.21 Definición. La funciónlogaritmo naturales la función logWRC ! R definida para todo
t > 0 por:
log t D
tw
1
1
x
dx
El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que la funciónlogaritmo naturalesderivable
(y por tanto continua) y que log0t D 1=t . Como la derivada es positiva, deducimos que dicha
función esestrictamente creciente.
Dado a > 0, seah.x/ D log.ax/. Entoncesh 0.x/ D a=.ax/ D 1=x. Luego la función
h.x/ � log.x/ tiene derivada nula enRC, por lo que es constante y, como parax D 1 es igual
a loga, se sigue queh.x/ � log.x/D loga. Hemos probado así que log.ax/D logaC logx
para todoa > 0 y para todox > 0.
Observa que en poco más de tres líneas hemos obtenido ya las propiedades principales del
logaritmo. Sigamos nuestro estudio.
De lo ya visto se sigue que log.2n/D n log2 para todo número enteron. De aquí se deduce
que la funciónlogaritmo naturalno está mayorada ni minorada y, como es estrictamente cre-
ciente, concluimos que lKım
x!0
logx D �∞ y lKım
x!C1
logx D C∞. Por tanto, podemos afirmar
que dicha función es unabiyección estrictamente creciente deRC sobreR.
Representemos provisionalmente por' WR! R la función inversa del logaritmo. Dicha
función se llama funciónexponencial. El teorema de derivación de la función inversa nos dice
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Cálculo diferencial e integral
Integrales impropias de Riemann 402
que' es derivable y para todox2R es:
' 0.x/D 1
log 0.'.x//
D '.x/
Ahora, dados,x;y2R, seana; b;2RC tales quex D loga, y D logb. Entonces:
'.x C y/D '.logaC logb/D '.log.ab//D ab D '.x/'.y/
Hemos probado así que'.xC y/D '.x/'.y/ para todosx;y2R. De esta igualdad se deduce
fácilmente que apara todo número racionalr se verifica que'.r/D '.1/r . El número'.1/ se
representa con la letra e, es decir, es el número definido por la igualdad log eD
r e
1
1
x
dx D 1.
Con ello para todo número racionalr se tiene que'.r/ D er , por lo que se usa la notación
'.x/D ex para representar a la función exponencial.
Fíjate con qué facilidad y elegancia hemos obtenido las propiedades principales de las
funciones logaritmo natural y exponencial. Quedan así justificados todos los resultados vistos
en capítulos anteriores que dependen de dichas propiedades.
Así mismo, podemosdefinir la funciónarcotangentede la forma:
arc tgx D
xw
0
1
1C t2 dt :
Lo que constituye un punto de partida para definir las demás funciones trigonométricas. Este
proceso está desarrollado con detalle en [16]. Veremos más adelante otro procedimiento más
directo para definir las funciones trigonométricas.
8.3. Integrales impropias de Riemann
Una de las limitaciones de la teoría de la integral de Riemannque hemos desarrollado
es que en ella se consideran funciones acotadas en intervalos acotados. Queremos evitar es-
tas limitaciones y considerar funciones no acotadas o intervalos no acotados. Los siguientes
ejemplos indican el camino a seguir.
8.22 Ejemplo. La funciónf .x/D 1p
x
no está acotada en el intervalo�0; 1�. Comoh.x/D2px
es una primitiva def en Œ0; 1�, para todot 2�0; 1� se tiene que:
1w
t
1p
x
dx D h.1/ � h.t/D 2 � 2
p
t ÷ lKım
t!0
1w
t
1p
x
dx D 2:
Por tanto es natural definir:
1w
0
1p
x
dx D 2:
�
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8.23 Ejemplo. Para todǫ > 0 se tiene que:
tw
0
e�˛x dx D 1
˛
.1� e�˛t / ÷ lKım
t!C1
tw
0
e�˛x dx D 1
˛
:
Por ello es natural definir:
C1w
0
e�˛x dx D 1
˛
:
�
En el primer ejemplo hemos considerado una función no acotada, y en el segundo un inter-
valo no acotado.
8.24 Definición. Seaf W Œc; bŒ! R una función continua en el intervaloŒc; bŒ, donde supo-
nemos quec 2R y queb un número real mayor quec o bienb D C∞. Se define la integral
impropia de Riemann def en Œc; bŒ como el límite:
bw
c
f .x/dx D lKım
t!b
tw
c
f .x/dx (8.7)
Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un númeroreal, en cuyo caso se dice también
que la integral def es convergente enŒc; bŒ.
Seaf W�a; c�! R una función continua en el intervalo�a; c�, donde suponemos quec 2R
y quea un número real menor quec o bienaD�∞. Se define la integral impropia de Riemann
def en �a; c� como el límite:
cw
a
f .x/dx D lKım
t!a
cw
t
f .x/dx (8.8)
Supuesto, claro está, que dicho límite exista y sea un númeroreal, en cuyo caso se dice también
que la integral def es convergente en�a; c�.
Cuando el límite (8.7) o (8.8) existe y es igual aC∞ (resp.�∞) se dice que la respectiva
integral es positivamente o negativamente divergente.
Seaf W�a; bŒ! R una función continua en el intervalo�a; bŒ, donde�∞ 6 a < b 6C∞.
Seac 2 R con a < c < b. Se dice que la integral def es convergente en�a; bŒ cuando las
integrales def en �a; c� y en Œc; bŒ son convergentes, en cuyo caso se define:
bw
a
f .x/dx D
cw
a
f .x/dx C
bw
c
f .x/dx (8.9)
8.25 Observación.Como para todou 2�c; bŒ se verifica que:
xw
c
f .t/dt D
uw
c
f .t/dt C
xw
u
f .t/dt ;
se sigue que la convergencia de la integral def enŒc; bŒ equivale a la convergencia de la integral
def en Œu; bŒ.
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