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Teoremas del valor medio para integrales 407
cualquiera de dicho intervalo, podemos aplicar el teorema del valor medio a la función derivable
F.x/D
r x
˛ f .t/dt en el intervaloI . Según dicho teorema, para cualquier par de puntosa; b2I
se verifica que hay algún puntoc comprendido entrea y b tal que:
F.b/ � F.a/
b � a D F
0.c/:
Pero esta igualdad es lo mismo que:
1
b � a
bw
a
f .x/dx D f .c/ ”
bw
a
f .x/dx D f .c/.b � a/:
El número 1
b�a
r b
a f .x/dx se llamapromedio integral o media integralde f en Œa; b�. Con
poco esfuerzo podemos obtener un resultado más general.
8.34 Teorema(Primer teorema de la media para integrales). Seanf una función continua
en Œa; b� y g una función positiva e integrable enŒa; b�. Entonces se verifica que hay algún
puntoc 2 Œa; b� tal que:
bw
a
f .x/g.x/dx D f .c/
bw
a
g.x/dx : (8.14)
Demostración. Por el teorema de Weierstrass4.29,la funciónf alcanza un valor mínimo,m,
y un valor máximo,M , enŒa; b�. Comog.x/> 0 para todox 2 Œa; b�, tenemos que:
mg.x/6 f .x/g.x/6 Mg.x/ .para todox 2 Œa; b�/:
La funciónfg es integrable enŒa; b� por ser producto de funciones integrables. Como la integral
conserva el orden entre funciones, se sigue que:
m
bw
a
g.x/dx 6
bw
a
f .x/g.x/dx 6 M
bw
a
g.x/dx :
De esta desigualdad se sigue que si
r b
a g.x/dx D 0, entonces también es
r b
a f .x/g.x/dx D 0
y la igualdad del enunciado se satisface trivialmente para todoc 2 Œa; b�. En otro caso debe ser
r b
a g.x/dx > 0 y deducimos que:
m 6
r b
a f .x/g.x/dx
r b
a g.x/dx
6 M:
Puesto que la imagen porf del intervaloŒa; b� es el intervaloŒm;M �, de la desigualdad anterior
se sigue que hay algúnc 2 Œa; b� tal que:
f .c/D
r b
a f .x/g.x/dx
r b
a g.x/dx
:
Como queríamos probar. 2
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
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Teoremas del valor medio para integrales 408
8.35 Teorema(Segundo teorema de la media para integrales). Sea' una función monótona
y con derivada continua enŒa; b�, y seaf una función continua enŒa; b�. Entonces hay algún
puntoc 2 Œa; b� tal que:
bw
a
f .x/'.x/dx D '.a/
cw
a
f .x/dx C '.b/
bw
c
f .x/dx (8.15)
Demostración. Supongamos que' es decreciente enŒa; b� y '.b/D0. Definamos las funciones
F.x/D
r x
a f .t/dt y H.x/D F.x/'.x/. Tenemos queH 0.x/D F 0.x/'.x/C F.x/' 0.x/D
f .x/'.x/C F.x/' 0.x/. Por la regla de Barrow, obtenemos que:
bw
a
�
f .x/'.x/CF.x/' 0.x/
�
dx DH.b/�H.a/D0÷
bw
a
f .x/'.x/dxD
bw
a
F.x/.�' 0.x//dx :
Como�' 0.x/> 0 para todox 2 Œa; b�, podemos aplicar a la última integral el primer teorema
de la media que asegura que hay algúnc 2 Œa; b� tal que:
bw
a
F.x/.�' 0.x//dx D F.c/
bw
a
.�' 0.x//dx D F.c/'.a/D '.a/
cw
a
f .x/dx :
Hemos probado así que hay unc 2 Œa; b� tal que:
bw
a
f .x/'.x/dx D '.a/
cw
a
f .x/dx : (8.16)
Esta igualdad es un caso particular de la igualdad del enunciado (recuerda que hemos supuesto
que'.b/D0). Consideremos ahora que' es decreciente enŒa; b� (no suponemos que'.b/D0).
Podemos aplicar la igualdad8.16a la función' � '.b/ y obtenemos que hay algúnc 2 Œa; b�
tal que:
bw
a
f .x/.'.x/� '.b//dx D .'.a/� '.b//
cw
a
f .x/dx ÷
bw
a
f .x/'.x/dx D '.a/
cw
a
f .x/dx C '.b/
bw
a
f .x/dx � '.b/
cw
a
f .x/dxD
D '.a/
cw
a
f .x/dx C '.b/
bw
c
f .x/dx :
Esto demuestra el teorema para' decreciente. El caso en que' sea creciente se reduce al
anterior considerando la función�'. 2
El segundo teorema de la media para integrales es muy útil para estudiar la convergencia
no absoluta de integrales impropias pues, en muchos casos, permite probar que se satisface la
condición de Cauchy para la existencia de límite. El teoremasuele enunciarse con hipótesis
mucho más generales, pero las hipótesis con las que lo hemos probado son suficientes para
nosotros.
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Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real 409
8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real
Una función compleja de variable real es una función de la formah.t/Df .t/Cig.t/ donde
f , g son funciones reales definidas en un intervaloI . Se dice quef es la parte real deh y g
es la parte imaginaria, y escribimosf D Re.h/, g D Im.h/. Cuando las funcionesf y g son
derivables, se dice queh es derivable y se define su derivada por la igualdad:
h 0.t/D f 0.t/C ig 0.t/:
Cuando las funcionesf y g son integrables en un intervaloŒa; b� se dice queh es integrable en
Œa; b� y se define la integral deh en Œa; b� por la igualdad:
bw
a
h.t/dt D
bw
a
f .t/dt C i
bw
a
g.t/dt :
Naturalmente, siF y G son, respectivamente, primitivas def y g en un intervaloŒa; b�, enton-
cesH.t/D F.t/C iG.t/ es una primitiva deh en Œa; b� y se verifica la regla de Barrow:
bw
a
h.t/dt D
bw
a
f .t/dt C i
bw
a
g.t/dt D .F.b/ � F.a//C i.G.b/ �G.a//DH.b/ �H.a/:
Análogamente, sif y g son continuas en un intervaloI y elegimos un puntoa2I , la función:
H.x/D
xw
a
h.t/dt D
xw
a
f .t/dt C i
xw
a
g.t/dt
es una primitiva deh enI .
8.36 Ejemplo. Seą C iˇ un número complejo, la función:
h.t/D e.˛Ciˇ/t De˛t eiˇt De˛t cos.ˇt/C i e˛t sen.ˇt/
es derivable y su derivada viene dada por:
h 0.t/D ˛ e˛t cos.ˇt/ � ˇ e˛t sen.ˇt/C i
�
˛ e˛t sen.ˇt/C ˇ e˛t cos.ˇt/
�
D
D e˛t .˛ C iˇ/
�
cos.ˇt/C i sen.ˇt/
�
D .˛ C iˇ/e˛t eiˇt D.˛ C iˇ/h.t/:
Como era de esperar, hemos obtenido que:
d
dt
e.˛Ciˇ/t D.˛ C iˇ/e.˛Ciˇ/t :
En consecuencia: w
e.˛Ciˇ/t dt D 1
˛ C iˇ e
.˛Ciˇ/t (8.17)
�
En algunos de los siguientes ejercicios deberás calcular algunas primitivas muy sencillas,
es un buen momento para que repases las derivadas de las funciones elementales.
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	Integral de Riemann
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