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Ejercicios resueltos 425
es continua enR y derivable en todo puntox¤0 con derivadaf 0.x/Dsen.1=x/. Queda
probar quef es derivable en0 conf 0.0/D 0. La derivada def en0 viene dada por el
límite:
lKım
x!0
r x
0 sen.1=t/dt
x
:
Dicho límite es una indeterminación del tipo0
0
(siempre es así cuando calculamos la
derivada de una función continua). No puede aplicarse L’Hôpital para calcular dicho
límite porque el cociente de las derivadas es justamente sen.1=x/ que no tiene límite en
0. Como queremos probar que dicho límite es0 el camino obligado es tratar de acotar la
integral. Para ello, vamos a hacer primero un cambio de variable. Suponemos en lo que
sigue quex > 0.
xw
0
sen.1=t/dt D
�
t D 1=s; dt D� ds
s2
t D x; s D 1=x; t D 0; s DC1
�
D
C1w
1
x
sens
s2
dsD lKım
u!C1
uw
1
x
sens
s2
ds
Seau > 1=x. Podemos aplicar el segundo teorema de la media para obtenerque hay
algún puntoc 2 Œ1=x;u� tal que:
uw
1
x
sens
s2
ds D x2
cw
1
x
sens ds C 1
u2
uw
c
sens ds :
Teniendo ahora en cuenta que
ˇ̌
ˇ
r b
a sens ds
ˇ̌
ˇ D jcosb � cosaj 6 2, deducimos que para
todou > 1=x se verifica que:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
uw
1
x
sens
s2
ds
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
6 2x2 C 2
u2
÷
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
C1w
1
x
sens
s2
ds
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
D lKım
u!C1
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
uw
1
x
sens
s2
ds
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
6 2x2 ÷
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
r x
0 sen.1=t/dt
x
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6 2x ÷ lKımx!0
x > 0
r x
0 sen.1=t/dt
x
D 0:
Hemos probado así quef es derivable por la derecha en0 con derivada por la derecha
en0 igual a0. El mismo razonamiento prueba quef es derivable por la izquierda en0
con derivada por la izquierda en0 igual a0 (alternativamente, puedes usar quef es una
función par). Por tanto,f es derivable en0 y f 0.0/D 0. ©
Ejercicio resuelto 196 Seaf WRCo ! R la función definida porf .0/D 0, f .1/D log2 y
f .x/D
x2w
x
1
log t
dt .0¤ x ¤ 1/:
a) Prueba que lKım
x!1
f .x/D log2 y justifica quef es de claseC 1.
Aplicación. Calcula la integral
1w
0
t � 1
log t
dt .
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 426
Sugerencia: Seag.t/D t � 1
log t
. Utiliza el primer teorema de la media para integrales para
obtener que si0 < x ¤ 1 hay algún puntoc D c.x/ comprendido entrex y x2 tal que:
f .x/D g.c/
x2w
x
1
t � 1 dt :
Solución.Definamosg.1/D 1. Con ello, la funcióng es continua enRCo . Puesto que:
f .x/D
x2w
x
g.t/
dt
t � 1 ;
el primer teorema de la media implica que hay algún puntoc D c.x/ comprendido entre
x y x2 tal que:
f .x/Dg.c/
x2w
x
dt
t � 1Dg.c/.logjx
2� 1j�logjx � 1j/Dg.c/ log
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
x2� 1
x � 1
ˇ̌
ˇ̌
ˇDg.c/ log.xC1/:
Puesto que, claramente se verifica quex ! 1 ) cD c.x/! 1 ) g.c/! g.1/D 1,
de la igualdad anterior deducimos que lKım
x!1
f .x/ D log2. Por otra parte es claro que
lKım
x!0
f .x/D 0D f .0/ (observa que podemos definir la funciónt 7! 1log t igual a0 para
t D 0, con lo que es continua en0). Resulta así quef es continua enRCo . Tenemos
también que para0¤ x ¤ 1 es:
f .x/D�
xw
0
1
log t
dt C
x2w
0
1
log t
dt÷f 0.x/D� 1
logx
C 2x
log.x2/
D x � 1
logx
D g.x/:
Como lKımx!0 f 0.x/D0 y lKımx!1 f 0.x/Dg.1/D1, deducimos por la proposición6.19
quef es derivable en todoRCo , conf
0.0/ D 0, f 0.1/ D 1 y f 0 es continua enRCo , es
decir,f es de claseC 1.
Finalmente, comof ha resultado ser una primitiva deg enRCo , tenemos que:
1w
0
t � 1
log t
dt D
1w
0
g.t/dt D f .1/ � f .0/D log2:
©
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Cálculo diferencial e integral
Técnicas de cálculo de Primitivas 427
8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas
8.6.1. Calcular una primitiva...¿Para qué?
Para calcular
r b
a f .x/dx dondef es una función continua, hay que calcular una primitiva
def , evaluarla ena y enb y hacer la diferencia. Pero, ¿para qué calcular una primitiva? ¿no
sabemos ya que una primitiva def es la funciónF.x/D
r x
a f .t/dt ? Y, naturalmente, cualquier
otra será de la formaF.x/CC dondeC es una constante. ¿Qué interés tiene entonces el cálculo
de primitivas de funciones continuas? Respuesta: desde un punto de vista teórico ninguno.
Ahora, si lo que queremos es aplicar la regla de Barrow para calcular el número
r b
a f .x/dx ,
entonces la primitivaF.x/ D
r x
a f .t/dt no nos sirve para nada porque si la evaluamos en
a y enb y hacemos la diferencia obtenemos una identidad perfectamente inútil para nuestros
propósitos. Lo que necesitamos es conocer una primitiva def que sea realmente evaluable, es
decir que al evaluarla ena y enb proporcione valores numéricos.
En otros términos,el problema del cálculo de primitivas consiste en tratar de expresar la
“primitiva trivial” F.x/D
r x
a f .t/dt por medio de funciones elementales
4 que permitan una
evaluación efectiva de la integral. Para eso sirven las técnicas de cálculo de primitivas.
Pero no hay que olvidar que, si bien la derivada de una funciónelemental también es una
función elemental, es frecuente que una función elemental no tenga primitivas que puedan ex-
presarse por medio de funciones elementales. Esto ocurre, por ejemplo, con las funciones e�x
2
,
senx
x
, sen.x2/,
p
x3 C 1, y muchas más. En tales casos la forma más sencilla de representar
una primitiva def es justamente mediante la funciónF.x/D
r x
a f .t/dt y, para obtener valores
concretos de dicha función hay que recurrir a métodos numéricos de cálculo de integrales.
En lo que sigue vamos a considerar algunos tipos de funcioneselementales cuyas primi-
tivas también pueden expresarse por medio de funciones elementales y pueden calcularse con
procedimientos más o menos sistemáticos.
Para leer lo que sigue necesitas tener papel y un bolígrafo a mano para ir haciendo los
ejercicios que se proponen. A calcular primitivas se aprende practicando; la imprescindible
agilidad en los cálculos la lograrás haciendo decenas de ejercicios. Fíjate que, en la mayoría de
los casos, se trata de ejercicios en los que tan sólo tienes que aplicar una técnica general a un
caso particular. Esto es tan“fácil” que lo saben hacer los programas de cálculo simbólico, como
Mathematica, Derive, Mappley otros. Cuando se logre fabricar una calculadora de bolsillo que
pueda ejecutar estos programas quizás ya no sea imprescindible aprender a calcular primitivas,
pero hasta que llegue ese momento sigue siendo necesario queaprendas a calcular primitivas
con agilidad. Sería lamentable que, por no saber calcular una primitiva, no puedas resolver una
sencilla ecuación diferencial, ni calcular una probabilidad, ni el área de una superficie,: : : Las
aplicaciones del cálculo integral son tan variadas, que el tiempo que dediques a la práctica del
cálculo de primitivas será más rentable de lo que ahora puedas imaginar.
Con cada técnica de cálculo de primitivas, se incluyen ejemplos y se proponen ejercicios
sencillos para que compruebes si sabes aplicarla. Encontrarás al final una sección de ejercicios
resueltos de cálculo de primitivas en la que se dan soluciones detalladas de algunos de los
4Las funciones que se obtienen por medio de sumas, productos,cocientes y composiciones a partir de las fun-
ciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas, se llaman funciones elementales.
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	Integral de Riemann
	Técnicas de cálculo de Primitivas
	Calcular una primitiva...¿Para qué?