calculo-diferencial-e-integral-francisco-javier-pérez-gonzález-155

Vista previa del material en texto

Integración de funciones racionales 440
�
w A
x � a dx DA log jx � aj.
� I D
w Bx C C
x2 C bx C c dx .
Donde se supone que el trinomiox2 C bx C c no tiene raíces reales. En general, esta
integral es igual a un logaritmo más un arcotangente aunque,dependiendo de los valores de los
parámetros, puede reducirse a uno de ellos. SiB ¤ 0, lo primero que debemos hacer es lograr
que en el numerador figure la derivada del denominador. Para ello, basta ponerBx C C D
B
2
.2x C b/C C � B
2
b. Con lo que, llamandoK D C � B
2
b, tenemos:
I D B
2
log.x2 C bx C c/CK
w 1
x2 C bx C c dx :
La integral que nos queda es un arcotangente. Para calcularla escribimos el trinomiox2CbxCc
en la formax2 C bx C c D .x � ˛/2 C ˇ2. Esto es muy fácil de hacer, pues la elección de
˛ es obligada ya que debe ser˛ D �b=2, de donde se sigue quěD
p
4c � b2=2. En otros
términos,̨ ˙ iˇ son las raíces complejas del trinomiox2 C bx C c. Tenemos que:
w 1
x2 C bx C c dx D
w 1
.x � ˛/2 C ˇ2 dx D
1
ˇ
w 1
ˇ�
x�˛
ˇ
�2
C 1
dxD
D 1
ˇ
arc tg
�
x � ˛
ˇ
�
:
Por tanto:
I D B
2
log.x2 C bx C c/C 2C � Bbp
4c � b2
arc tg
�
2x C bp
4c � b2
�
:
En el método de los coeficientes indeterminados aparecen también, cuando hay raíces múlti-
ples, otros dos tipos de fracciones elementales:
� Fracciones del tipo A
.x � a/k
dondek 2 N y k > 2, correspondientes a raíces reales
múltiples, las cuales no ofrecen dificultad pues:
w A
.x � a/k
dx D� A
k � 1
1
.x � a/k�1
:
� Fracciones del tipo Bx C C
.x2 C bx C c/k
dondek 2 N y k > 2, correspondientes a raíces
imaginarias múltiples. La integración de de estas fracciones puede hacerse usando la fórmu-
la de reducción8.29. Previamente debe hacerse un pequeño ajuste. Escribamos eltrinomio
x2 C bx C c en la formax2 C bx C c D .x � ˛/2 C ˇ2.
w Bx C C
.x2 C bx C c/k
dx D
w Bx C C
�
.x � ˛/2 C ˇ2
�k dx D
"
x � ˛ D ˇt
dx D ˇ dt
#
D
D 1
ˇ2k
w Bˇt CB˛ C C
.1C t2/k
ˇ dt D B˛ C C
ˇ2k�1
w 1
.1C t2/k
dt C
C B
2ˇ2k�2
1
1� k
1
.1C t2/k�1
:
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Integración de funciones racionales 441
Ahora ya podemos usar la fórmula de reducción8.29para calcular la integral
r
1
.1Ct2/k dt .
8.47 Ejemplo. Se trata de calcular
w x2 � 2
x3.x2 C 1/2 dx . Como hay raíces imaginarias múltiples
aplicaremos el método de Hermite.
x2 � 2
x3.x2 C 1/2 D
A
x
C Bx C C
x2 C 1 C
d
dx
 
ax3 C bx2 C cx C d
x2.x2 C 1/
!
Realizando la derivada y reduciendo a común denominador, obtenemos un sistema de ecuacio-
nes cuya solución es
aD 0; b D 5=2; c D 0; d D 1; AD 5; B D�5; C D 0I
por lo tanto
w x2 � 2
x3.x2 C 1/2 dx D
.5=2/x2 C 1
x2.x2 C 1/ C 5 logx �
5
2
log.x2 C 1/:
�
8.48 Ejemplo. Queremos calcular la integral impropia
C1w
2
x C 1
x.x � 1/.x2 C 1/ dx .
Pongamosf .x/D x C 1
x.x � 1/.x2 C 1/ , Observa quef .x/ > 0 para todox > 2. Además,
se verifica la equivalencia asintótica:
f .x/ � 1
x3
.x !C1/:
Como la integral
r C1
2
1
x3
dx es convergente, se sigue, por el criterio límite de comparación,
que la integral
r C1
2 f .x/dx también es convergente.
Para calcular la integral hallaremos una primitiva def .x/ aplicando el método de los coe-
ficientes indeterminados.
x C 1
x.x � 1/.x2 C 1/ D
A
x
C B
x � 1 C
Cx CD
x2 C 1 :
Reduciendo a común denominador obtenemos:
x C 1
x.x � 1/.x2 C 1/ D
�AC .ACB �D/x C .�A� C CD/x2 C .ACB C C /x3
x.x � 1/.x2 C 1/ :
Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuacioneslineales:
ACB C C D0
�A � C CD D0
ACB �D D1
�A D1
9
>>=
>>;
)
�
AD�1 B D 1
C D 0 D D�1
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 442
Deducimos que:
tw
2
x C 1
x.x � 1/.x2 C 1/ dx D
tw
2
dx
x � 1 �
tw
2
dx
x
�
tw
2
dx
x2 C 1D log
�
2
t � 1
t
�
�arc tgtCarc tg2:
Por tanto:
C1w
2
x C 1
x.x � 1/.x2 C 1/ dx D log2 �
�
2
C arc tg2:
�
8.49 Observación.Cuando se calculan integrales impropias convergentes de funciones racio-
nales, hay que escribir la primitiva obtenida de forma conveniente para que el límite pueda
calcularse fácilmente. Observa cómo hemos escrito la primitiva en el ejemplo anterior: he-
mos agrupado los logaritmos de forma apropiada para calcular el límite. No da igual escribir
log
�
2
t � 1
t
�
, que escribir log.t�1/C log2� log t . En el primer caso, el límite parat !C1
resulta inmediato, mientras que, en el segundo caso, puedesequivocarte y creer que dicho límite
no existe. Este tipo de ajustes hay que hacerlos con frecuencia.
8.6.9. Ejercicios propuestos
399. Calcular las siguientes integrales
a/
w 2 � x2
x3 � 3x2 dx ; b/
w x4 C 6x3 � 7x2 � 4x � 3
x3 � 2x2 C x � 2 dx ; c/
1=2w
�1=2
dx
x4 � 1 dx
d/
C1w
1
x � 1
x3 � 3x2 C x C 5 dx ; e/
C1w
�1
dx
.x2 � 2x C 2/2 dx ; f /
1w
0
dx
1C x4 dx
g/
w x2
.x4 � 1/2 dx ; h/
w dx
x.1C x4/ ; i/
w 3x2 C 30
x4 C 2x2 � 8 dx
8.6.10. Integración por racionalización
Acabamos de ver que la primitiva de una función racional siempre puede expresarse me-
diante funciones elementales. Nos vamos a ocupar ahora de algunos tipos de funciones no
racionales cuyas integrales se pueden transformar, por medio de un cambio de variable, en in-
tegrales de funciones racionales. Se dice entonces que la integral de partida se haracionalizado
y esta técnica se conoce como“integración por racionalización”. Conviene advertir que los
cambios de variable que siguen son los que la práctica ha confirmado como más útiles en ge-
neral, pero que en muchas ocasiones la forma concreta de la función que queremos integrar
sugiere un cambio de variable específico que puede ser más eficaz.
En lo que sigue, representaremos porR D R.x;y/ una función racional de dos variables, es
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Técnicas de cálculo de Primitivas
	Ejercicios propuestos
	Integración por racionalización