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Integración por racionalización 443
decir, un cociente de funciones polinómicas de dos variables. Te recuerdo que una función
polinómica de dos variables es una función de la formaP .x;y/D
nX
iD0
mX
jD0
cij x
iyj .
8.6.10.1. Integración de funciones del tipoR.senx; cosx/
Las integrales del tipo
w
R.senx; cosx/dx dondeR D R.x;y/ una función racional de
dos variables, se racionalizan con el cambio de variablet D tg.x=2/. Con lo que:
senx D 2t
1C t2 ; cosx D
1� t2
1C t2 ; dx D
2 dt
1C t2 (8.34)
Con ello resulta:
w
R.senx; cosx/dx D
�
t D tg.x=2/
�
D
w
R
 
2t
1C t2 ;
1 � t2
1C t2
!
2 dt
1C t2
8.50 Ejemplo.
w dx
senx � tgx D
w cosx dx
senx cosx � senx D
�
tgx=2D t
�
D � � � D
w t2 � 1
2t3
dt
D 1
4t2
C log t
2
D 1
4 tg2.x=2/
C 1
2
log j tg.x=2/j:
�
Casos particulares
� CuandoR.� senx;� cosx/D R.senx; cosx/ se dice que“ R es par en seno y coseno”.
En este caso es preferible el cambio tgx D t . Con lo que
senx D tp
1C t2
; cosx D 1p
1C t2
; dx D dt
1C t2
En el caso particular de tratarse de una integral del tipo:
w
senn x cosm x dx ;
conn y m números enterospares, es preferible simplificar la integral usando las identidades
cos2x D 1C cos2x
2
sen2x D 1 � cos2x
2
:
� CuandoR.� senx; cosx/ D �R.senx; cosx/ se dice que“ R es impar en seno”y el
cambio cosx D t suele ser eficaz.
� CuandoR.senx;� cosx/ D �R.senx; cosx/ se dice que“ R es impar en coseno”y el
cambio senx D t suele ser eficaz.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Integración por racionalización 444
8.51 Ejemplo. Calcular I D
w
sen2x cos2x dx . Tenemos:
I D
w
.1 � cos2x/ cos2x dx D
w
cos2x dx �
w
cos4 x dxD
D
w 1C cos2x
2
dx �
w �1C cos2x
2
�2
dxD
D x
2
C sen2x
4
� 1
4
w
.1C 2 cos2x C cos2 2x/dxD
D x C sen2x
4
� x
4
� 1
2
w
cos2x dx � 1
4
1C cos4x
2
dxD
D x C sen2x
4
� sen2x
4
� x
8
� sen4x
32
D 1
8
�
x � sen4x
4
�
�
8.52 Ejemplo.
w cos3 x
sen2x
dx D
w .1 � sen2x/ cosx dx
sen2x
D
�
t D senx
dt D cosx dx
�
D
w 1� t2
t2
dt
D �1
t
� t D �1
sent
� sent:
�
8.53 Ejemplo. Sea I D
w sen2x cosx
senx C cosx dx . Se trata de una función par en seno y en coseno.
Haciendo t D tgx, obtenemos:
I D
w t2
.t C 1/.t2 C 1/2 dt
Aplicando el método de Hermite escribimos:
t2
.t C 1/.t2 C 1/2 D
A
t C 1 C
Bt C C
t2 C 1 C
d
dx
�
˛t C ˇ
t2 C 1
�
Haciendo la derivada y reduciendo a común denominador obtenemos:
t2
.t C 1/.t2 C 1/2D
D AC C C ˇ C .B C C � 2˛ C ˇ/t C .2AC B C C � 2˛ � ˇ/t
2 C .B C C � ˇ/t3 C .AC B/t4
.t C 1/.t2 C 1/2
Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuacioneslineales:
AC C C ˇ D0
B C C � 2˛ C ˇ D0
2AC B C C � 2˛ � ˇ D1
B C C � ˇ D0
ACB D0
9
>>>>=
>>>>;
÷
8
<
:
AD 1=4 B D�1=4
C D 0 D D�1
˛ D�1=4 ˇ D�1=4
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Integración por racionalización 445
Deducimos que:
I D 1
4
log jt C 1j � 1
8
log.t2C 1/� 1
4
1C t
1C t2 D
1
4
log j senxC cosxj � 1
4
cosx.senxC cosx/
�
� Cuando la funciónR.senx; cosx/ sea de la forma:
sen.ax C b/ sen.cx C d/; sen.ax C b/ cos.cx C d/; cos.ax C b/ cos.cx C d/
puede resolverse la integral usando las fórmulas:
sen̨ cosˇ D sen.˛ C ˇ/C sen.˛ � ˇ/
2
; sen̨ seň D cos.˛ � ˇ/� cos.˛ C ˇ/
2
cos˛ cosˇ D cos.˛ � ˇ/C sen.˛ C ˇ/
2
8.54 Ejemplo.
w
sen.3x/ cos.2x/dx D 1
2
w
sen.5x/dx C 1
2
w
senx dx D� 1
10
cos.5x/� 1
2
cosx
�
� Integrales de la forma
w
tgn x dx o
r
cotgn x dx . Se reducen a una con grado inferior
separando tg2x o cotg2x y sustituyéndola por sec2x � 1 o cosec2x � 1.
8.55 Ejemplo.
w
tg5x dx D
w
tg3x tg2x dx D
w
tg3x.sec2x � 1/dx D
w
tg3x sec2x dx �
w
tg3x dx
D tg
4x
4
�
w
tg3x dx D tg
4x
4
�
w
tgx tg2x dx D tg
4x
4
�
w
tgx.sec2x � 1/dx
D tg
4x
4
�
w
tgx sec2x dx C
w
tgx dx D tg
4x
4
� 1
2
tg2x C log j cosxj
�
8.6.10.2. Integrales del tipo
w
R
�
x; ŒL.x/�r ; ŒL.x/�s; : : :
�
dx
DondeL.x/D ˛x C ˇ

x C ı ; ˛; ˇ; 
; ı2R con˛ı � ˇ
 ¤ 0 y r; s; : : : son números racionales.
Se racionalizan con el cambiotq D L.x/ dondeq es el mínimo común denominador de
las fraccionesr; s; : : :. Pues entonces tenemos que:
x D ıt
q � ˇ
˛ � 
 tq D r.t/ (8.35)
y la integral se transforma en
w
R.r.t/; trq ; t sq ; : : :/r 0.t/dt
en la que el integrando es una función racional det .
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Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Técnicas de cálculo de Primitivas
	Integración por racionalización
	Integración de funciones del tipo R(senx,cosx)
	Integrales del tipo R(to.x,[L(x)]r,[L(x)]s,…)to.dx