PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-5

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A 17- Se da una circunferencia O y un diámetro fijo AB. Desde un punto C variable, situado sobre
la prolongación de AB, se traza una tangente CT y la bisectriz del ángulo ACT. Hallar el lugar
geométrico del pie de la perpendicular trazada desde el centro O sobre esta bisectriz.
Solución:
S L
T
C
P
H
ROA
M
B
S L
T
C
P
H
ROA
M
B
Sean: CP la bisectriz de ACT (P está sobre OS, radio perpendicular a AB), H el pie de la
perpendicular trazada desde O sobre CP, TR la perpendicular desde T a CP, L el punto de
intersección de OH con CT, LR la perpendicular desde L sobre AB. El triángulo COL es
isósceles (CO  CL, HO  HL), siendo sus alturas CH, OT y LR, siendo M su ortocentro. El
triángulo OPM es isósceles (SOL  LOT), luego OP  OM, es decir SP  TM. El triángulo
HTR es isósceles (HRT  HTR), luego HT  HR El triángulo OHR es isósceles
(HOR  HRO), luego HO  HR. Por tanto los triángulos HPS y HMT son iguales. De ello se
deduce que SH  HT  HR  HO. Es decir que, al ser SH  HO, H está sobre la mediatriz de
SO, que es el lugar geométrico pedido.
A 18- En una circunferencia O, está inscrito un cuadrilátero ABCD, en el que AB es fijo y CD
constante en magnitud. Hallar el lugar geométrico del punto de intersección de las diagonales,
así como el del punto de intersección de las rectas que unen los puntos medios de los lados
opuestos.
Solución:
P
Q
C
D
O
O’
M
A B
E
P
Q
C
D
O
O’
M
A B
E
Siendo E el punto de intersección de las diagonales, el ángulo AEB es constante, pues es igual
a la semisuma de los arcos AB y CD que son constantes. Luego el lugar geométrico de E es el
arco capaz de dicho ángulo sobre AB. Uniendo los puntos medios de los lados del ABCD, se
forma un paralelogramo, cuyas diagonales se cortan en M, punto medio de QP, que a su vez,
son los puntos medios de CD y AB. Al ser CD constante en magnitud, el lugar de Q es una
circunferencia de centro O. Como M es punto medio de QP, su lugar geométrico es una
circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia P y razón 12 .
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A 19- Se da una circunferencia O y un diámetro fijo AOB. Siendo C un punto variable de la
circunferencia, se prolonga AC una longitud CD  AC. Hallar el lugar geométrico de M,
intersección de BC y OD.
Solución:
A O O’ B
C
D
M
A O O’ B
C
D
M
En el triángulo ABD, M es su baricentro y OM  OD3 . El punto D recorre la circunferencia
homotética de la dada, con centro de homotecia A y razón 2. El punto M recorre la
circunferencia homotética de la anterior, con centro de homotecia O y razón 13 .
A 20- Hallar el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos isósceles que tienen fijo uno
de sus lados iguales, AB, siendo móvil el otro lado igual, AC.
Solución:
B G
M
C
A
O
B G
M
C
A
O
El vértice C recorre la circunferencia de centro A y radio AB  AC. El punto medio M de AC
recorre la circunferencia concéntrica con la anterior y de radio la mitad de AC. El baricentro G
recorre una circunferencia homotética con la que recorre M, con centro de homotecia B y razón
2
3 .
A 21- Hallar el lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos que tienen un lado BC fijo y
el ángulo A constante.
Solución:
A
H M
N
B C
A
H M
N
B C
Sean BM y CN las alturas trazadas desde B y C sobre los lados opuestos y H el ortocentro. El
ángulo BHC  MHN, es constante e igual a 180º − A. El lugar pedido es el arco capaz de
180º − A trazado sobre BC.
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A 22- Se da una circunferencia O y dos puntos fijos en ella, B y C. Un punto A recorre la
circunferencia. Se llaman A′, B′, C ′ las intersecciones de la circunferencia con las bisectrices
del triángulo ABC. Hallar el lugar geométrico de H, ortocentro del triángulo A′B′C ′.
Solución:
A
B’
H
C
A’
B
C’
O
D
A
B’
H
C
A’
B
C’
O
D
Por ser A constante, A’ es fijo, pues es el punto medio del arco BC. En el triángulo A′DB′,
DB′A′  90º − DA′B′  90º − B  C2 
A
2 , Como BB
′A′  A2 , los puntos B, B
′ y H están
alineados, coincidiendo H con el incentro del ABC. Por ser B′BA′  A  B2  BHA
′, el
triángulo A′BH es isósceles. Luego A′H es constante al ser igual a A′B. El lugar pedido es el
arco de centro A′ y radio A′B, limitado por la circunferencia dada O.
A 23- Se dan dos rectas paralelas. Por un punto O fijo de la primera, se traza una secante variable
que corta a la segunda en B. Se traza BC perpendicular a OB, que corta a la primera paralela en
C. Se forma el ángulo OCM igual al doble del BOC. Por O se traza la perpendicular a CM, que
la corta en M. Hallar el lugar geométrico de M.
Solución:
O
B
C
M
a
O
B
C
M
a
Sea a la distancia entre las dos paralelas. y  el ángulo BOC. Se tiene que
OM  OC  sin2  BCsin sin2 
a
sincos sin2  2a. El lugar pedido es una
circunferencia de centro O y radio 2a.
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