PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-6

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A 24- Se considera una circunferencia de centro O y diámetro AB. Por O se traza un radio
cualquiera OM. Por M se traza la perpendicular a OM que corta al diámetro AB en C. Por O se
traza una recta d que forma con el diámetro AB un ángulo mitad del que forma CM con dicho
diámetro. Por C se traza una perpendicular a d, que la corta en P. Hallar el lugar geométrico de
P cuando varía el radio OM.
Solución:
O
M
P
CB
A
d
r1
r2
r3
r4
H
O
M
P
CB
A
d
r1
r2
r3
r4
H
Siendo  el ángulo que forma d con AB, R el radio de O, y PH la distancia de P a AB, se tiene:
OC  Rsin2 
PC
sin 
PH
sincos . Luego PH 
R sincos
sin2 
R
2 . El lugar pedido está
formado por las semirrectas r1, r2, r3 y r4, paralelas a AB y que distan de esta una distancia
igual a R2 .
A 25- Un triángulo rectángulo se mueve de manera que los vértices B y C, correspondientes a los
ángulos agudos, describen respectivamente los lados OX y OY de un ángulo recto. Hallar el
lugar geométrico del vértice A, correspondiente al ángulo recto.
Solución:
O
B
A
C
X
Y
O
B
A
C
X
Y
Siendo rectos los ángulos BAC y BOC, el cuadrilátero ABOC es inscriptible. Los ángulos AOC
y ABC son iguales, luego al ser constante este último, aquel también lo es, por lo que A
describe un segmento de la recta OA, limitado por las posiciones que toma A cuando B y C se
sitúan en O.
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A 26- Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos que son cortados diametralmente
por otros dos dados.
Solución:
O
O’
B’
A’
B
A
r
M
O
O’
B’
A’
B
A
r
M
Sean O y O ′ los círculos dados de radios R y R′, y M el centro del círculo cortado
diametralmente en A y A′ por O, y en B y B′ por O ′, cuyo lugar se pide. Se tiene que
MO2  R2 − MB2 y MO ′2  R′2 − MA2. Como MA  MB, MO2 − MO ′2  R2 − R′2, que es
constante. Luego el lugar pedido es una recta perpendicular a OO ′ (eje radical de O y O ′).
A 27- De un cuadrilátero ABCD, se conoce AB en posición y magnitud, y BC, CD y AC en
magnitud. Hallar el lugar geométrico del punto medio de la diagonal BD.
Solución:
A
D
B CO
M
A
D
B CO
M
Construido el triángulo ABC, el lugar geométrico de D es una circunferencia de centro C y
radio CD. El lugar pedido es la circunferencia homotética de la anterior, con centro de
homotecia B y razón 12 , es decir que su centro O es el punto medio de BC y su radio
CD
2 .
También forma parte del lugar la circunferencia simétrica de O con relación a AB.
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A 28- Sean dos ejes perpendiculares XOX′, YOY ′. Sobre OX se lleva OA  a, y sobre OY ′ se lleva
OB  2a. Siendo M un punto tal que su distancia a OX es MP, y a OY, MQ, cumpliéndose que
2MQ − MP  2a, hállese su lugar geométrico y sus condicionantes.
Solución:
X’ X
Y
Y’
M
A
P
B
O
Q
X’ X
Y
Y’
M
A
P
B
O
Q
El lugar geométrico es la recta AB. Esta recta está en los cuadrantes 1º, 4º y 3º. En el cuadrante
1º se cumple siempre la condición definida. En el 4º cuadrante, MP es negativo, luego la
condición del enunciado se transforma en 2  MQ − −MP  2a, es decir que en vez de restar
la distancia MP, hay que sumarla, cumpliéndose la condición. En el cuadrante 3º, MP y MQ
son negativos, es decir 2−MQ − −MP  2a, por lo que hay que restar la distancia MQ y
sumar la MP, cumpliéndose así la condición del enunciado.
A 29- Se consideran dos rectas secantes XOX′ e YOY ′. Sobra la primera se consideran dos puntos A
y A′. Sobre la segunda, otros dos, B y B′. Los puntos A y B son fijos, mientras que los puntos A′
y B′ se mueven sobre las rectas dadas, permaneciendo del mismo lado de AB, de manera que la
relación AA
′
BB′
 k es constante. Hallar el lugar geométrico de M ′, punto medio de A′B′.
Solución:
O
A A’
B
B’
M
M’
XX’
Y
Y’
X’’
Y’’
C
D
E
GH
F
O
A A’
B
B’
M
M’
XX’
Y
Y’
X’’
Y’’
C
D
E
GH
F
Sean OA  a, OB  b, M el punto medio de AB, AA′  x, BB′  y, siendo x  ky,
OA′  a  ky, OB′  b  y. Trazando por M las paralelas DMX′′ y CMY ′′ a XX′ e YY ′,
respectivamente, se tiene que AC  a2 , BD 
b
2 . Las paralelas por M
′ a las dos rectas dadas,
son M ′EF y M ′GH. Se tiene que M ′E  M ′F − EF  OB
′
2 − OD 
b  y
2 −
b
2 
y
2 .
Análogamente, M ′G  x2 . Por ello se tiene que:
M ′G
M ′E
 xy  k. Por tanto, el lugar pedido es
una recta que pasa por M.
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