PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-84

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K 4- Circunscribir a una esfera dada, un cono de revolución de volumen mínimo, con la base tangente
a la esfera.
Solución:
Siendo R el radio de la esfera, r el radio de la base del cono, y h su altura, el volumen del cono es:
V  3 
R2h2
h − 2R . Derivando e igualando a cero: 2hh − 2R − h
2  0. De donde h  4R, y
r  R
2  4R
4R − 2R  R 2 . Luego la altura del cono es 4R y el radio de su base R 2 .
K 5- Determinar los elementos del dodecaedro regular, en función de su arista a.
Solución:
O
A
G
B
C
D
E
F
O
A
G
B
C
D
E
F
Diagonal del pentágono de las caras: d 
a 5  1
2 .
Altura del pentágono de las caras: h  d2 − a
2
4 
a 5  2 5
2 .
Distancia  entre dos aristas opuestas:
a2 5  2 5
4 
2
4 
2
4 −
a
2 
a2
4 . De donde,
  a3  5 2 .
Radio de la esfera circunscrita: R  2 
a 3 5  1
4 .
Radio de la esfera tangente a las aristas:   2 
a 3  5
4 .
Diagonal: Δ  a
2
4 3  5
2
 a2 
a 18  6 5
2 
a 3 5  1
2 .
Radio de la esfera inscrita: r  a
2
16 3 6  2 5 −
4a2
10 − 2 5
 a2
25  11 5
10 .
Altura: D  2r  a 25  11 510 .
Ángulo de dos caras: 2arctan 1  52  116º33
′54 ′′2.
Área: S  30a a10 25  10 5  3a
2 25  10 5 .
Volumen: V  S r3 
a3
4 470  210 5 
a3
4 7 5  15 .
250
K 6- Probar que si la distancia desde el vértice de un triedro trirrectángulo al centro de una esfera es
constante, también lo es la suma de las áreas de las secciones producidas en la esfera por las caras
del tetraedro.
Solución:
R d1
d1d2
d3D
R1
R d1
d1d2
d3D
R1
Siendo Ri el radio del círculo que se forma al cortar la esfera por el plano de una cara del triedro, y
di la distancia del centro de la esfera a dicho plano, se tiene:
S  R12  R22  R32  3R2 − d12  d22  d32  3R2 − D2, que es constante.
K 7- Hallar el volumen de una lente esférica biconvexa, en función de su área y de su máximo espesor.
Solución:
O O’
A
B
CHDO O’
A
B
CHD
Se conoce S  s  s ′ y E  e  e ′, siendo s y s ′ las superficies de los casquetes esféricos de las
lentes, y e y e ′ sus espesores (alturas de los casquetes). S  r2  e2  r2  e ′2, siendo r el
radio de la base de los casquetes esféricos. Luego r2  S2 −
e2  e ′2
2 . El volumen de la lente es:
V  v  v ′  2 e r
2  e
2
3 

2 e
′ r2  e
′2
3 . Operando, V 
E
12 3S − E
2.
K 8- Dada una recta r a una distancia d del centro de una esfera, trazar n − 1 planos que pasen por ella,
dividiendo el área de la esfera en n partes equivalentes.
Solución:
PO
A
E
I
B
J
F
K GC
D
L
H
Superficie del casquete ACB: 2R  CD  2Rh. Superficie del casquete EGF:
2R  GH  2  2Rh. Luego GH  2h. Superficie del casquete IKJ: 2R  KL  3  2Rh. Luego
KL  3h, y así sucesivamente, siendo la altura del n − 1 casquete: n − 1h. Luego
4R2 − 2Rn − 1h  2Rh, de donde h  2Rn . Luego han de trazarse n − 1 planos, siendo la
distancia del plano i al centro de la esfera d2 − n − 2in
2
R2 .
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K 9- Hallar el volumen de un romboedro formado por seis rombos, conociendo el lado a de una cara y
la mayor de las diagonales d de una cara.
Solución:
A
B
C A M
P
T
T PA
B
C A M
P
T
T P
El volumen del romboedro es seis veces el del tetraedro TABC, cuya base es un triángulo
equilátero de lado d, y cuya altura es la del triángulo ATP sobre su base AP, siendo P el punto
medio de BC. Por tanto V  6  13 
d2 3
4 
3a2 − d2
3 
d2 3a2 − d2
2 .
K 10- Hallar el volumen del tetraedro circunscrito a una pila de cuatro esferas de radio r, tangentes
entre sí.
Solución:
El lado del tetraedro formado por los centros de las esferas, es 2r, siendo el radio de la esfera
inscrita en este tetraedro r ′  2r  612 
r 6
6 . El radio de la esfera inscrita en el tetraedro del
enunciado es igual a r ′  r  r 66  1 .
Por tanto su lado es: a  12
6
r 66  1  2r 1  6 .
El volumen del tetraedro es V  212 2r 1  6
3
 23 19 2  18 3 r
3.
K 11- Se considera un tronco de cono de bases paralelas y cuya altura mide 8cm. Las áreas de las
bases miden 14 y 25cm2. Trazar dos planos paralelos a las bases que dividan al tronco en tres
partes equivalentes.
Solución: El volumen del tronco de cono es:
V  13 8
14
 
25
 
14  25
 
8 39  5 14
3  153,8888cm
3.
La altura del cono es: H 
8 5

5 − 14


40 5  14
11  31,7878cm.
El volumen del cono es: 13 25  31,7878  264,8987cm
3.
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