Calculo diferencial Universidad-118

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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Por lo tanto en el intervalo (-1, 3) la función es cóncava hacia arriba
En el intervalo (3, ∞) podemos definir c = 5 que está dentro del 
intervalo
Determinamos f ‘’ (c):
f ‘’ (5) = 6(5)+6
f ‘’ (0) = 36
Entonces:
f ‘’ (c) > 0
Por lo tanto en el intervalo (3, ∞) la función es cóncava hacia arriba.
Resumiendo:
Tabla 2 
Intervalos de concavidad ER2
INTERVALO CONCAVIDAD
(-∞, -5) Cóncava hacia abajo
(-5, -1) Cóncava hacia abajo
(-1, 3) Cóncava hacia arriba
(-1, 3) Cóncava hacia arriba
 
4.7.3 Punto de inflexión
Un punto P(b, f(b)) sobre la gráfica de una función f es un punto de inflexión si existe 
un intervalo abierto (a, c), que contiene b, de tal forma que una de las siguientes afir-
maciones se cumple:
f ‘’ (b) > 0 si a < x < b y f ‘’ (c) < 0 si b < x < c; o
f ‘’ (b) < 0 si a < x < b y f ‘’ (c) > 0 si b < x < c
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Figura 19 
Punto de inflexión
EjErcicios rEsuEltos
ER3 Determinar el punto de inflexión y los intervalos de concavi-
dades de la siguiente función f(x) = x³ - 3x² +4
El punto de inflexión o punto en donde cambia la concavidad se 
determina partir de la segunda derivada es decir:
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f ‘ (x) = 3x2-6x
f ‘’ (x) = 6x-6
Ahora igualamos a 0 la segunda derivada para obtener el punto 
crítico de la segunda derivada llamado punto de inflexión.
6x -6 = 0
Determinamos para que valor de x la segunda derivada es 0, des-
pejando x
x=1
Lo que nos indica que en x = 1 está el punto de inflexión (donde 
cambia el sentido de la concavidad); para determinar su valor en el eje y, 
evaluamos este resultado en la función original f(1) = (1)3- 3(1)2+4 = 2
El punto de inflexión tiene coordenadas I(1,2)
Ahora determinamos los intervalos generados a partir del punto 
de inflexión, tenemos dos intervalos (-∞,1) y (1,∞). Procedemos como 
en el ER2 a evaluar la segunda derivada para determinar la concavidad 
en cada intervalo.
Para el primer intervalo ocupamos un c = 0
f ‘’ (0) = -6 lo que indica que hay una concavidad hacia abajo
Para el segundo intervalo ocupamos un c = 3
f ‘’ (2) = 6(3) -6 =12 lo que indica que hay una concavidad hacia arriba
Tabla 3 
Intervalos de concavidad ER3
INTERVALO CONCAVIDAD
(-∞,1) Cóncava hacia abajo 
(1,∞) Cóncava hacia arriba