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Teorema de aproximación de Weierstrass 614
10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass
Muchas funciones continuas no son derivables, es claro que dichas funciones no pueden
representarse por medio de series de potencias. Por otra parte, dado un conjunto finito de puntos
en el plano,f.xk ;yk/ W 1 6 k 6 ng, es fácil construir una función polinómicaP que interpole
dichos puntos, es decir, cuya gráfica pase por todos ellos,P .xk/Dyk para16k 6n. Dada una
función continua en un intervaloŒa; b�, parece intuitivo que si tomamos una partición deŒa; b�
con un número suficientemente grande de puntos,faDx0<x1<x2< � � �<xn�1<xnDbg, y
esP una función polinómica que interpola los correspondientespuntos en la gráfica def , esto
es los puntos del conjuntof.xk ; f .xk// W 1 6 k 6 ng, entonces dicha función polinómicaP
coincide conf en todos los puntosxk y debería ser una buena aproximación de la funciónf
en todo el intervaloŒa; b�.
Aunque las cosas no son exactamente así, un notable resultado debido a Weierstrass afirma
que, efectivamente, es posible aproximar uniformemente enun intervalo cerrado y acotado
una función continua por una función polinómica. Pero no debes hacerte una idea falsa de la
situación. Las cosas no son tan simples como pudieran parecer a primera vista. Ello se debe
a que una función continua puede oscilar demasiado, de hechopuede oscilar tanto que no sea
derivable en ningún punto. El primer ejemplo de una función continua que no es derivable en
ningún punto (¿puedes imaginar la gráfica de una función así?) fue dado por Weierstrass en
1872. Su función era:
f .x/D
1X
nD0
bn cos.an�x/ .x2R/
dondea es un número impar,0 < b < 1 y ab > 1C 3�=2. Observa quef está definida como
la suma de una serie de funciones continuas (¡de claseC 1!) que converge absolutamente y
uniformemente enR (porque para todox2R esjbn cos.an�x/j6 bn y la serie
P
bn converge
por ser0 < b < 1). Por tanto,f es una función continua enR. Weierstrass demostró quef
no es derivable en ningún punto. Te digo esto para que aprecies que el problema de aproximar
una función continua por una función polinómica en todos lospuntos de un intervalo no es un
fácil problema de interpolación.
De las variadas demostraciones que hay del citado resultadode Weierstrass, vamos a expo-
ner la basada en los polinomios de Bernstein porque, además de ser la más elemental, propor-
ciona unos polinomios concretos para realizar la deseada aproximación.
10.38 Definición.Dada una funciónf W Œ0; 1�! R el polinomio de Bernstein de ordenn de
f es la función polinómica:
Bn.f /.x/D
nX
kD0
f
�
k
n
��
n
k
�
xk.1� x/n�k :
Necesitaremos usar algunas identidades que se deducen fácilmente de la igualdad siguiente.
.x C y/n D
nX
kD0
�
n
k
�
xkyn�k :
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Teorema de aproximación de Weierstrass 615
Derivando esta igualdad una vez respecto ax y multiplicando después porx obtenemos:
xn.x C y/n�1 D
nX
kD0
�
n
k
�
kxkyn�k :
Derivando la primera igualdad dos veces respecto ax y multiplicando después porx2 obtene-
mos:
x2n.n � 1/.x C y/n�2 D
nX
kD0
�
n
k
�
k.k � 1/xkyn�k :
Haciendo en las anteriores igualdadesy D 1 � x y definiendo, por comodidad de notación,
bn
k
.x/D
�
n
k
�
xk.1� x/n�k, obtenemos las siguientes igualdades:
1 D
nX
kD0
bnk.x/ (10.12)
nx D
nX
kD0
kbnk.x/ (10.13)
n.n � 1/x2 D
nX
kD0
k.k � 1/bnk .x/ (10.14)
Usando estas igualdades deducimos que:
nX
kD0
.k � nx/2bkn .x/D
nX
kD0
k2bkn .x/� 2nx
nX
kD0
kbkn .x/C n2x2
nX
kD0
bkn .x/D
D
nX
kD0
.k.k � 1/C k/bkn .x/� 2n2x2 C n2x2D
D n.n � 1/x2 C nx � n2x2 D nx.1� x/:
Por tanto:
nX
kD0
.k � nx/2bkn .x/D nx.1 � x/: (10.15)
10.39 Teorema(Weierstrass (1868)). Seaf W Œa; b�! R una función continua. Dado" > 0,
hay una función polinómicaP" que verifica que
jf .x/� P".x/j 6 "
para todox 2 Œa; b�.
Demostración. Haremos primero la demostración en el caso de que el intervalo Œa; b� es el
intervaloŒ0; 1�. Comof es continua yŒ0; 1� es un intervalo cerrado y acotado, sabemos quef
está acotada enŒ0; 1� y es uniformemente continua enŒ0; 1�. SeaM > 0 tal quejf .x/j 6 M
para todox 2 Œ0; 1�. Dado" > 0, por la continuidad uniforme def , existe unı > 0, tal que:
jf .x/� f .y/j6 "
2
para todosx;y 2 Œ0; 1� tales quejx � yj < ı: (10.16)
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Teorema de aproximación de Weierstrass 616
Acotaremos ahora el error que se comete al aproximarf por su polinomio de Bernstein de
ordenn. Tenemos que:
jf .x/ � Bn.f /.x/j D
ˇ̌
ˇ̌
ˇf .x/ �
nX
kD0
f
�
k
n
�
bkn .x/
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
(10.12)D
ˇ̌
ˇ̌
ˇ
nX
kD0
�
f .x/ � f
�
k
n
��
bkn .x/
ˇ̌
ˇ̌
ˇ6
6
nX
kD0
ˇ̌
ˇ̌f .x/� f
�
k
n
�ˇ̌
ˇ̌ bkn .x/: (10.17)
Donde hemos usado quebkn .x/> 0. Acotaremos ahora la diferenciaf .x/� f
�
k
n
�
según que
ˇ̌
ˇ̌x � k
n
ˇ̌
ˇ̌ < ı o
ˇ̌
ˇ̌x � k
n
ˇ̌
ˇ̌> ı. Tenemos que:
ˇ̌
ˇ̌x � k
n
ˇ̌
ˇ̌ < ı(10.16)÷
ˇ̌
ˇ̌f .x/� f
�
k
n
�ˇ̌
ˇ̌ < "
2
:
ˇ̌
ˇ̌x � k
n
ˇ̌
ˇ̌> ı÷ jnx � kj
nı
>1÷
ˇ̌
ˇ̌f .x/� f
�
k
n
�ˇ̌
ˇ̌6
6 jf .x/j C
ˇ̌
ˇ̌f
�
k
n
�ˇ̌
ˇ̌6 2M 6 2M
n2ı2
.nx � k/2
Podemos resumir las dos acotaciones obtenidas en una sola dela forma:
ˇ̌
ˇ̌f .x/ � f
�
k
n
�ˇ̌
ˇ̌6 "
2
C 2M
n2ı2
.nx � k/2: (10.18)
Esta desigualdad es válida para todox 2 Œ0; 1� y para todok D 0; 1; 2; : : : ;n. Usando ahora
(10.17),deducimos que:
jf .x/�Bn.f /.x/j6
nX
kD0
�
"
2
C 2M
n2ı2
.nx�k/2
�
bkn .x/
(10.12)D "
2
C 2M
n2ı2
nX
kD0
.nx�k/2bkn .x/D
(10.15)D "
2
C 2M
n2ı2
nx.1 � x/6 "
2
C 2M
nı2
:
Donde hemos tenido en cuenta que parax 2 Œ0; 1� esx.1 � x/ 6 1. Hemos probado así que
para todox 2 Œ0; 1� se verifica que:
jf .x/� Bn.f /.x/j 6
"
2
C 2M
nı2
:
Tomando ahoran0 2N tal que paran > n0 se verifique que
2M
nı2
6
"
2
, concluimos que para
todon > n0 y para todox 2 Œ0; 1� se verifica que:
jf .x/ � Bn.f /.x/j6
"
2
C "
2
D ":
Podemos tomar como polinomioP" del enunciado cualquier polinomioBn.f / conn > n0.
Observa que hemos probado que la sucesión de polinomios de Bernstein def converge unifor-
memente af en Œ0; 1�.
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	Sucesiones y series de funciones
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