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Los primeros desarrollos en serie 659
Tenemos queh.0/ D f .0/ D �=4 y h es una función derivable en el intervaloŒ0;C1Œ.
Tenemos:
h 0.x/D f 0.x/C 2 e�x2
xw
0
e�t
2
dt D Œt D xu�D f 0.x/C 2 e�x2
1w
0
e�x
2u2 x duD
D f 0.x/C 2x
1w
0
e�x
2.1Cu2/ du D 0:
Luego,h es constante y, por tanto,h.x/D h.0/D �=4 para todox > 0.
d) Tomando límites parax !C1 en la igualdad:
xw
0
e�t
2
dt D
r
�
4
� f .x/
obtenemos que
C1w
0
e�x
2
dx D
p
�
2
. ©
10.6. Los primeros desarrollos en serie
Puede afirmarse que la primera aparición de lo que entendemosen la actualidad como una
serie ocurre en el trabajo de Viéte (1540 - 1603)Variorum de rebus mathematicis responsorum.
Liber VIII (1593), en el que Viète estudia la serie geométrica obteniendo la fórmula para la
suma de la misma y también aparece la expresión para� que se conoce como “fórmula de
Viète”.
2
�
D
r
1
2
s
1
2
C 1
2
r
1
2
p
1
2
C
s
1
2
C 1
2
r
1
2
� � �
Gregory de St. Vincent (1584 - 1667), en suOpus Geometricum(1647) fue el primero en afir-
mar explícitamente que una serie infinita puede representaruna magnitud. También le debemos
el poco afortunado término de “exhausción”, la introducción de las coordenadas polares y el
primer análisis de las paradojas de Zenón usando series. También descubrió que la cuadratura
de la hipérbolaxy D k es la misma enŒa; b� que enŒc;d � cuandoa=b D c=d , resultado fun-
damental para la comprensión de los logaritmos y que llevó aldescubrimiento del logaritmo
natural por Mercator.
En 1668, Nicholas Mercator (1620 - 1687) publicó un libro tituladoLogarithmotechniaen
el que proporcionaba un método para calcular logaritmos basado en el desarrollo en serie del
logaritmo natural
log.1C x/D x � x
2
2
C x
3
3
� x
4
4
C � � � (10.20)
el cual obtuvo usando los resultados de Gregory de St. Vincent.
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Cálculo diferencial e integral
Newton y las series infinitas 660
A su vez, este resultado de Mercator fue mejorado por James Gregory (1638 - 1675) que
obtuvo la expansión:
log
1C x
1 � x D 2x C
2x3
3
C 2x
5
5
C � � �
que converge más rápidamente que la anterior. A James Gregory se debe también la serie del
arcotangente:
arctanx D x � x
3
3
C x
5
5
� x
7
7
C � � � (10.21)
Sustituyendox D 1 resulta
�
4
D 1 � 1
3
C 1
5
� 1
7
C � � �
Mejores representaciones de� se deducen de esta serie haciendo como A. Sahrp (1651 - 1742)
en 1705x D 1=
p
3, con lo que
�
6
D 1p
3
�
1� 1
3 � 3 C
1
32 � 5 �
1
33 � 7 C � � �
�
Con cuya serie calculó� con 72 cifras decimales. Una mejor aproximación de� que evita el
uso de radicales y converge rápidamente, fue obtenida en 1706 por John Machin (1680 - 1752).
La idea es expresar�=4 D arctan1 en función de dos ángulos de tangentes racionales y cada
una de ellas menor que la unidad. La serie de Machin es:
�
4
D 4 arctan1
5
� arctan 1
239
D 4
�
1
5
� 1
3 � 53 C
1
5 � 55 � � � �
�
�
�
1
239
� 1
3 � 2393 C
1
5 � 2395 � � � �
�
Con ella calculó� con 100 cifras decimales.
10.6.1. Newton y las series infinitas
Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en el campo del cálculo infinite-
simal datan de los llamadosAnni Mirabiles1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, en
la que Newton se había graduado comobachelor of artsen 1664, estuvo cerrada por la peste
esos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa de Woolsthorpe y, como él mismo reconoció
cincuenta años después, ése fue el período más creativo de suvida.
A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas.
A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666
el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. En esos dos años
también inició las teorías de los colores y de la gravitaciónuniversal. Newton tenía 24 años,
había nacido el día de Navidad de 1642.
Newton había leído la obra de WallisArithmetica Infinitorum, y siguiendo las ideas de
interpolación allí expuestas, descubrió la serie del binomio que hoy lleva su nombre. Dicha
serie es una generalización del desarrollo del binomio, queera bien conocido para exponentes
naturales, y había sido muy usado por Pascal para resolver una gran variedad de problemas.
Newton, en su intento de calcular la cuadratura del círculo,es decir, de calcular la integral
r 1
0 .1�x2/1=2 dx , consideró dicha cuadratura como un problema de interpolación, relacionán-
dola con las cuadraturas análogas
r 1
0 .1� x2/n dx conocidas para exponentes naturalesn2N.
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Newton y las series infinitas 661
Newton tuvo la ocurrencia de sustituir el límite superior deintegración por un valor genérico
x. De esta forma obtuvo las siguientes cuadraturas (Newton nodisponía de símbolo para la
integral; usamos, claro está, la notación actual).
xw
0
.1� t2/dt D x � 1
3
x3
xw
0
.1 � t2/2 dt D x � 2
3
x3 C 1
5
x5
xw
0
.1 � t2/3 dt D x � 3
3
x3 C 3
5
x5 � 1
7
x7
xw
0
.1 � t2/4 dt D x � 4
3
x3 C 6
5
x5 � 4
7
x7 C 1
9
x9
Newton observó que el primer término de cada expresión esx, quex aumenta en potencias im-
pares, que los signos algebraicos se van alternando, y que los segundos términos1
3
x3; 2
3
x3; 3
3
x3,
4
3
x3 estaban en progresión aritmética. Razonando por analogía,supuso que los dos primeros
términos de
r x
0 .1 � t2/1=2 dt deberían ser
x �
1
2
3
x3
De la misma manera, procediendo por analogía, pudo encontrar algunos términos más:
xw
0
.1 � t2/1=2 dt D x �
1
2
3
x3 �
1
8
5
x5 �
1
16
7
x7 �
1
128
9
x9 � � � �
Representando paranD 0; 1; 2; : : : por Qn.x/ el polinomio
r x
0 .1 � t2/n dt , se tiene que
Qn.x/D
xw
0
.1 � t2/n dt D
nX
kD0
�
n
k
�
.�1/k
2k C 1x
2kC1
Donde �
n
k
�
D n.n � 1/.n� 2/ � � � .n � k C 1/
1 � 2 � 3 � � � k ;
�
n
0
�
D 1
Haciendo ahora enQn.x/, nD 1=2, se obtiene
Q1=2.x/D x �
1
2
3
x3 �
1
8
5
x5 �
1
16
7
x7 �
1
128
9
x9 � � � �
Lo que llevó a Newton a concluir que
xw
0
.1 � t2/1=2 dt DQ1=2.x/
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