Ejercicios guia resueltos de intervalos de confianza

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Ejercicios guia resueltos de intervalos de confianza 
 
 
1. Suponga que se sabe que la desviación estándar de la vida útil de los lentes de una marca 
especifica de microscopios es σ = 500 horas, pero no se conoce el promedio de vida útil en 
términos generales, se supone que la vida útil de los lentes tiene una distribución 
aproximadamente normal. Para una muestra de n = 15, la vida útil promedio es de X = 8900 
horas. Construya intervalos de confianza para estimar la media de la población. 
 
a) con el 95% 
 
b) con el 90% de confianza. 
 
En este caso puede utilizarse la distribución normal porque la población tiene una 
distribución normal y se conoce σ. 
 . 
Solución. 
 
a.- datos 
 x = 8900 hrs. n = 15 σ = 500 σx = 20.129
87.3
500
15
500

n

 
 
x 

 z σx = 8900 

 1.96 * 129.20 = 8900 

 253.23 
 
Intervalo 8647 a 9153 hrs 
 
b.- 8900 

 1.645 (129.20) = 8900 

 212.53 
Intervalo 8687 a 9113 hrs. 
 
 
2. Con relación al ejemplo anterior, suponga que no puede asumirse que la vida útil de la 
población de los lentes tiene una distribución normal. Sin embargo, la media muestral X = 
8900 hrs se basa en una muestra de n = 35. Construya un intervalo de confianza del 95 % 
para estimar la media de la población. 
 
En este caso, puede utilizarse la distribución normal de probabilidad utilizando el 
Teorema del Límite Central, que señala que cuando n ≥ 30 puede asumirse que la 
distribución muestral tiene una distribución normal, aun cuando no tenga distribución 
normal. 
Solución. 
 
X 

 Z σx = 8900 

 1.96 * 
35
500
 = 8900 

 165.5 Intervalo 8735 a 9066 hrs. 
 
 
 
 
3. La vida útil promedio de una muestra aleatoria de n = 10 focos es X = 4000 horas, con una 
desviación estándar muestral S = 200 horas. Se supone que la vida útil de los focos tiene una 
distribución aproximadamente normal. Estimar la vida útil promedio de la población de los 
focos de la cual se tomó la muestra, utilizando un intervalo de confianza del 95%. 
 
Solución. 
 
4000 ± 2.262 · 
10
200
= 4000 ± 2.262 · 
16.3
200
 = 4000 ± 143.16 
 
 
Limite inferior 4000 - 143.16 = 3857 horas Limite superior = 4000 + 143.16 = 
4143 
 
 
4. El salario diario promedio para una muestra de n = 30 de un laboratorio farmacéutico grande 
es X = $ 28000 con una desviación estándar de S = $ 1400. En otro laboratorio grande, una 
muestra aleatoria de n = 40 empleados tiene un salario promedio diario de $ 27000, con una 
desviación estándar muestral de S = $ 1000. Determinar un intervalo de confianza del 99% 
para estimar la diferencia entre los niveles diarios de salarios en las empresas. 
 
 
 
Solución. 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
zxx tabla  
 
 
 
 
28000 – 27000 ± 2.575 
40
)1000(
30
)1400( 22
 
2800 – 27000 ± 2.575 · 300.55 
 
$ 1000 ± 773.92 
 
$ 226.08 a $ 1773.92 $ 226 a $ 1774 
 
Se puede afirmarse que el salario diario promedio del primer laboratorio es mayor que el 
correspondiente al segundo, en una cantidad que va de $ 226 a $ 1774, con una confianza 
del 99% en esa estimación por intervalos. 
 
 
 
5. La vida útil promedio de una muestra aleatoria de n1 = 10 focos es X = 4600 hrs, con S1 = 
250 horas. Para otra marca de focos, la vida útil promedio y la desviación para una muestra 
de n2 = 8 focos son X = 4000 hrs y S2 = 200 hrs. Se asume que la vida útil de los focos de 
ambas marcas tienen una distribución normal. Determinar el intervalo de confianza del 90% 
para estimar la diferencia entre las vidas útiles promedio de las dos marcas de focos. 
 
Solución 
 
 21 xx  = 4600 – 4000 = 600 
 
t gl = 10 + 8 = 18 – 2 = 16 1. 746 
 
   
2
11
21
2
22
2
112



nn
snsn
sc = 25.52656
2810
)200(7)250(9 22



 
 
2
2
2
1
2
1
n
s
n
s
 = 847.108
8
25.52656
10
25.52656
 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
tglxx tabla  = 600 ± 1.746 ( 108.847 ) = 410 a 790 horas 
Puede afirmarse con una confianza del 90% que la primera marca de focos tiene una vida 
útil promedio mayor que la segunda, en una cantidad de 410 y 790 hrs. 
 
6. Una empresa de investigación de mercados entrevista a una muestra aleatoria de 100 hombres 
de una comunidad grande y encuentra que una proporción muestral de 0,40 de ellos prefieren 
maquinas de afeitar fabricadas por la empresa cliente de los investigadores, y no las demás 
marcas. Determinar el intervalo de confianza del 95% para la proporción de todos los 
hombres en esa comunidad que prefieren las maquinas de afeitar de la empresa cliente de los 
investigadores. 
Solución 
 
Ptabla
szP ˆ
ˆ  
P
s ˆ = 0024.0
100
24.0
100
)60.0)(40.0(
 ~ 0.05 
 
0.40 ± 1.96 (0.05) 
 
0.40 ± 0.098 = 0.40 ± 0.10 = 0.30 a 0.50 
 
Por lo tanto, puede estimarse con una confianza del 95% que la proporción de hombres 
de esa comunidad que prefieren las maquinas de afeitar de la empresa está entre 0.30 y 
0.50. 
 
 
 
7. En el ejemplo anterior se reporto que una proporción de 0.40 hombres de una muestra 
aleatoria de 100 tomada de una comunidad grande, manifestó preferir las hojas de afeitar de 
la empresa cliente de los investigadores y no de las demás marcas. En otra comunidad 
grande, 60 hombres de una muestra aleatoria de 200 prefirieron las máquinas de afeitar de 
la empresa cliente. Determinar el intervalo de confianza del 90% para la proporción de 
hombres de las dos comunidades que prefirieron las maquinas de afeitar de la empresa 
cliente. 
 
Solución 
 
 21 ˆˆ pp  = 0.40 – 0.30 = 0.10 
 
Z = 1.645 
 
11
ˆ1ˆ PQ  = 1 – 0.40 = 0.60 
22
ˆ1ˆ PQ  = 1 – 0.30 = 0.70 
 
2
22
1
11
ˆˆˆˆ
n
QP
n
QP 


 = 
059.000345.000105.00024.0
200
)70.0)(30.0(
100
)60.0)(40.0(
 
 
0.10 ± 1.645(0.059) 
 
0.10 ± 0.097 = 0.003 a 0.197