Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (29)

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3 GEOMETRÍA
El punto (1, 2, 3) del enunciado no sirve para nada, porque del plano solo nos interesa su dirección.
(b) Es independiente de (a). Si la recta es paralela a la que se da, su vector director es el mismo, o sea
(2, 1, 3). Como pasa por (4, 4, b) las ecuaciones continuas son
x− 4
2
=
y − 4
1
=
z − b
3
(de nuevo el
punto (1, 2, 3) no se usa) y, “cruzando” las continuas, se obtienen las impĺıcitas
{
x− 2y = −4
3y − z = 12− b
(c) Si se cruzan, algún punto de la primera, o sea de la forma (λ, 2λ− 1, 2λ) para algún λ, satisface
las impĺıcitas anteriores. Como satisface la primera se tiene λ − 2(2λ − 1) = −4 y por tanto debe
ser λ = 2 y el punto de corte solo puede ser entonces (2, 3, 4). Pero este punto debe satisfacer la
segunda de las impĺıcitas, lo que obliga a 3 · 3− 4 = 12− b y por tanto es b = 7.
Alternativamente, se puede usar que dos rectas P+λ~v y Q+µ~w se cortan si y solo si el determinante
det(
−−→
PQ,~v, ~w) vale 0, lo que en este caso lleva a
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 4
2 1 5
2 3 b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3(b− 7) ⇒ b = 7
o
19. En R2 se consideran la recta ax− 2y = 4 y la recta
{
x = 2− λ
y = b+ 3λ
(λ ∈ R).
¿Para qué valores de a y b son las rectas perpendiculares? ¿Para cuáles son paralelas? ¿Para cuáles
son la misma recta? ¿Para cuáles se cortan en un punto, y cuál es ese punto?
Solución: Las ecuaciones nos dan directamente un vector director de la segunda recta, ~v = (−1, 3),
y un vector normal a la primera, el (a,−2), por lo que un un vector director es ~w = (2, a).
Las rectas son perpendiculares cuando los vectores ~v y ~w son ortogonales, o sea cuando su producto
escalar ~v · ~w = −2 + 3a es nulo, o sea cuando a = 2/3 (independientemente del valor de b).
[Todo lo que sigue se puede hacer también discutiendo en función de los parámetros el sistema
formado por las ecuaciones impĺıcitas ax − 2y = 4 y 3x + y = b + 6; las rectas son iguales cuando
el sistema es compatible indeterminado, son paralelas distintas cuando es incompatible y se cortan
cuando es compatible determinado, en cuyo caso la solución se puede obtener con la regla de
Cramer].
Las rectas son paralelas cuando los vectores directores ~v = (−1, 3) y ~w = (2, a) son proporcionales,
o sea cuando a = −6 (independientemente del valor de b).
Dentro de este caso paralelo (a = −6), las dos rectas son la misma cuando tienen un punto en común,
o sea cuando el punto (2, b) de la segunda satisface la ecuación −6x− 2y = 4 (ó 3x+ y+ 2 = 0) de
la primera, o sea cuando 6 + b+ 2 = 0, o sea cuando b = −8 (y a = −6).
Finalmente, se cortan en un punto cuando no son paralelas, o sea cuando a 6= −6 (para cualquier
b), y ese punto tiene la forma (2− λ , b+3λ) y satisface la ecuación de la primera recta, por lo que
se tiene
4 = a(2− λ)− 2(b+ 3λ) = 2(a− b)− (a+ 6)λ
Por tanto en el punto de corte ha de ser λ =
2a− 2b− 4
a+ 6
y el punto es el
(
2b+ 16
a+ 6
,
ab+ 6a− 12
a+ 6
)
.
o
Matemáticas de 1 , problemas 85 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
20. ¿Para qué valores de a y b se cortan perpendicularmente las siguientes rectas de R3?
ℓ ≡ x− 1
3
=
y − 1
2
= z ℓ′ ≡ x− 8
b
= y − 9 = z − a
Solución: Deben cortarse y ser perpendiculares. Empezamos por la condición más fácil, que es
la perpendicularidad: Los vectores directores respectivos, (3, 2, 1) y (b, 1, 1), deben ser ortogonales;
por tanto 0 = (3, 2, 1) · (b, 1, 1) = 3b+ 3, o sea b = −1.
Para este valor, se cortarán cuando el sistema formado al juntar las ecuaciones de ambas rectas sea
compatible; el sistema y su matriz son:







x− 1 = 3z
y − 1 = 2z
x− 8 = 9− y
x− 8 = a− z







 




1 0 −3 1
0 1 −2 1
1 1 0 17
1 0 1 8 + a




F3−F1−F2−−−−−−−→
F4−F1




1 0 −3 1
0 1 −2 1
0 0 5 15
0 0 4 7 + a




Haciendo ahora 5F4−4F3 la última fila queda (0 0 0 | 5a−25), y el sistema será compatible cuando
sea 5a− 25 = 0, o sea cuando a = 5.
también se puede usar que dos rectas se cortan cuando el vector que une puntos por los que pasa
cada una, en nuestro caso (1, 1, 0) y (8, 9, a), es linealmente dependiente de sus vectores directores,
lo que en este caso lleva igualmente a
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 2 1
−1 1 1
7 8 a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 5 4
−1 0 0
7 15 7 + a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 35 + 5a− 60 = 5a− 25 a = 5
o
21. Encuentra la recta de R3 que pasa por el punto P = (2, 0, 0) y corta a las dos rectas siguientes:
ℓ ≡ x
3
=
y + 2
2
= z + 1 ℓ′ ≡ x− 2 = y − 2
2
=
z − 3
3
Solución: Una opción consiste en buscar el plano π que contiene a P y a ℓ y hallar luego el punto
Q en el que π corta a ℓ′. La recta que une P con Q es la que buscamos, pues al estar en el plano π
cortará también a ℓ.
La ecuación de π es y = 2z y por tanto su corte con ℓ′ es el punto (1, 0, 0), por lo que la recta que
buscamos es la recta y = 0 = z (o sea, el eje OX). Comprobemos que cumple las tres condiciones:
contiene a P = (2, 0, 0), corta a ℓ en (3, 0, 0) y corta a ℓ′ en (1, 0, 0).
o
22. En R3 se consideran el punto P = (7, 4, 4), la recta r1 de ecuaciones impĺıcitas
{
x = y
x+ z = 5
}
, y
la recta r2 de ecuación continua
x− 2
2
=
y + 1
1
=
z
3
. Calcula:
a) La ecuación impĺıcita del plano π que contiene a P y a r1.
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P y corta a r1 y a r2.
Matemáticas de 1 , problemas 86 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
c) Un punto P1 en r1 y un punto P2 en r2 tales que P , P1 y P2 están alineados.
Solución: a) Los planos que contienen a r1 son los de la forma α(x−y)+β(x+z−5) = 0 para ciertos
α y β (haz de planos). El que pasa por P = (7, 4, 4) debe verificar 0 = (7−4)α+(7+4−5)β = 3α+6β,
para lo que basta con tomar α = 2 y β = −1 para obtener el plano x− 2y − z + 5 = 0.
b) Calculemos el punto P2 donde se cortan r2 y π. Las ecuaciones paramétricas de r2 son (x, y, z) =
(2λ+2, λ−1, 3λ), por lo que su corte con π se produce cuando 0 = (2λ+2)−2(λ−1)−3λ+5 = 9−3λ,
o sea cuando λ = 3. Por tanto el punto de intersección buscado es P2 = (8, 2, 9).
La recta r pedida es la que une P con P2, con vector director
−−→
PP2 = (1,−2, 5) y ecuaciones
paramétricas (x, y, z) = (7 + µ, 4 − 2µ, 4 + 5µ). En efecto, por su construcción r pasa por P y
corta a r2 en P2, y además corta a r1 pues ambas están en el plano π y no son paralelas, ya que−−→
PP2 = (1,−2, 5) no satisface la ecuación homogeneizada de r1.
c) Basta con calcular el punto P1 en el que se cortan r1 y r, pues entonces P , P1 y P2 estarán
alineados al estar los tres en r. Sustituyendo las paramétricas de r en las impĺıcitas de r1 se tiene
{
7 + µ = 4− 2µ
7 + µ+ 4 + 5µ = 5
}
, por lo que µ = −1 y por tanto P1 = (6, 6,−1).
o
23. En R3 se consideran el punto P = (4, 4, 3), la recta ℓ1 de ecuaciones impĺıcitas
{
x+ y = 5
x− z = 2
}
y la recta ℓ2 de ecuaciones continuas
x− 2
1
=
y − 4
1
=
z + 1
2
. Calcula:
a) Una ecuación impĺıcita del plano π1 que contiene a P y a ℓ1.
b) Unas ecuaciones paramétricas de la recta ℓ que pasa por P y corta a ℓ1 y a ℓ2.
c) Puntos P1 en ℓ1 y P2 en ℓ2 tales que P , P1 y P2 estén alineados.
Solución: a) Los planos que contienen a ℓ1 son los de la forma α(x+y−5)+β(x−z−2) = 0 para
ciertos α y β (haz de planos). El que pasa por P = (4, 4, 3) debe verificar 0 = (4+4−5)α+(4−3−
2)β = 3α− β, para lo que basta con tomar α = 1 y β = 3 para obtener el plano 4x+ y − 3z = 11.
Alternativamente, se puede ver a ojo que ℓ1 pasa (por ejemplo) por el punto Q1 = (2, 3, 0) con
vector director ~v1(1,−1, 1), de modo que el plano buscado pasa por Q1 y tiene la dirección marcada
por los vectores ~v1 y
−−→
Q1P = (2, 1, 3), de donde se obtiene del modo usual la ecuación impĺıcita.
b) Calculemos el punto P2 donde se cortan ℓ2 y π1. Las ecuaciones paramétricas de ℓ2 se obtienen
directamente de las continuas, y son (x, y, z) = (2 + λ, 4 + λ,−1 + 2λ), por lo que su corte con π1
se produce cuando 4(2 + λ) + (4 + λ) − 3(−1 + 2λ) = 11, o sea cuando λ = 4. Por tanto el punto
de intersección buscado es P2 = (6, 8, 7).
La rectaℓ pedida es la que une P = (4, 4, 3) con P2 = (6, 8, 7), con vector director
−−→
PP2 = (2, 4, 4), o
mejor su mitad ~v = (1, 2, 2), y ecuaciones paramétricas (x, y, z) = (4+µ, 4+2µ, 3+2µ). En efecto,
por su construcción ℓ pasa por P y corta a ℓ2 en P2. Para ver que ℓ también corta a ℓ1 sirve un
argumento teórico (ambas rectas están en el plano π1 y no son paralelas, ya que ~v = (1, 2, 2) no
satisface la ecuación homogeneizada de ℓ1) o las cuentas concretas del siguiente apartado.
c) Basta con calcular el punto P1 en el que se cortan ℓ1 y ℓ, pues entonces P , P1 y P2 estarán
alineados al estar los tres en ℓ. Sustituyendo las paramétricas de ℓ en las impĺıcitas de ℓ1 se tiene
{
(4 + µ) + (4 + 2µ) = 5
(4 + µ)− (3 + 2µ) = 2
}
; ambas ecuaciones llevan a µ = −1 y por tanto P1 = (3, 2, 1).
Matemáticas de 1 , problemas 87 Alberto del Valle Robles