Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (27)

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3 GEOMETRÍA
11. Se consideran rectas y planos en R3, y se pide:
a) Calcula el punto de intersección del plano de ecuación 3x+ 5y + 2z = 8 con la recta que pasa
por los puntos P = (4, 1, 1) y Q = (6, 5,−1).
b) Calcula el valor que debe tener b para que el punto P = (b, 4, 8) esté en el plano que pasa por
los puntos A = (1, 1, 1), B = (−1, 5, 2) y C = (5,−1, 3).
Solución: a) Como vector director de la recta podemos tomar
−−→
PQ = (2, 4,−2), o mejor su mitad
~v = (1, 2,−1). Entonces un punto genérico de la recta tiene la forma P +λ~v = (4+λ, 1+2λ, 1−λ)
para cierto λ, y si está también en el plano entonces debe cumplirse 3(4+λ)+5(1+2λ)+2(1−λ) = 8,
o sea 11λ = −11 y por tanto 1lk = −1, por lo que el punto pedido es (3,−1, 2).
b) Como
−−→
AB = (−2, 4, 1) y −→AC = (4,−2, 2), la ecuación del plano es 0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2 4 x− 1
4 −2 y − 1
1 2 z − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, que
calculando y simplificando se queda en 5x+ 4y − 6z = 3 (conviene comprobar que, efectivamente,
los tres puntos A, B y C la satisfacen). El punto P está en el plano cuando satisface esa ecuación,
o sea cuando 5b+ 16− 48 = 3, lo que nos da b = 7.
o
12. En R3 se consideran la recta ℓ de ecuaciones
{
3x− y = 2a− 1
z = 1− a
}
y la recta ℓ′ que pasa por los
puntos (3, 3,−3) y (4, b+ 4, b− 5).
Determina su posición relativa en función de a y de b. O sea, decide si son coincidentes, si son
paralelas, si se cortan o si se cruzan.
Solución:
Opción 1: Hagamos primero un análisis general de la posición relativa de dos rectas r y s con
paramétricas P + α~v y Q + β ~w, respectivamente. Considerando la matriz (A|B) = (~v ~w | −−→PQ), se
tiene:
Si rg(A) = 1 los vectores directores son proporcionales, luego las rectas son paraleles, y serán
coincidentes precisamente cuando r pase por Q, o sea cuando se tenga Q = P +α~v para cierto
α, o sea cuando Q−P = −−→PQ sea proporcional a ~v, o sea cuando también se tenga rg(A|B) = 1.
Cuando se tenga rg(A|B) = 2 serán paralelas “de verdad” (no coincidentes).
Si rg(A) = 2 los vectores directores no son proporcionales, luego las rectas no son paraleles y
sólo pueden cortarse o cruzarse. Se cortarán cuando existen α y β con P + α~v = Q + β ~w, o
sea con α~v − β ~w = Q− P = −−→PQ, o sea cuando el sistema con matriz (A|B) sea compatible, o
sea cuando también se tenga rg(A|B) = 2. Cuando se tenga rg(A|B) = 3 se cruzarán.
Nuestro caso concreto: Para ℓ, un punto con x = 0 es trivialmente P = (0, 1 − 2a, 1 − a), y un
vector director es una solución del sistema homogeneizado, por ejemplo ~v = (1, 3, 0). Para ℓ′ se tiene
directamente Q = (3, 3,−3), y el vector es el que une los dos puntos que se dan: ~w = (1, b+1, b−2).
La matriz cuyos rangos debemos considerar es pues:
(A|B) =


1 1 3
3 b+ 1 2 + 2a
0 b− 2 a− 4


F2−3F1−−−−−→


1 1 3
0 b− 2 2a− 7
0 b− 2 a− 4


F3−3F2−−−−−→


1 1 3
0 b− 2 2a− 7
0 0 3− a


Matemáticas de 1 , problemas 79 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
Para b = 2 se tiene rg(A) = 1 y rg(A|B) = 2, pues las dos entradas 2a − 7 y 3 − a no pueden
anularse a la vez. Para b 6= 2 se tiene rg(A) = 2, y entonces rg(A|B) vale 2 ó 3 según si a = 3 ó
a 6= 3.
En definitiva, para b = 2 las rectas son paralelas no coincidentes, para b 6= 2 y a = 3 se cortan, y
para b 6= 2 y a 6= 3 se cruzan.
Opción 2: Las rectas serán paralelas cuando sus vectores directores sean proporcionales. El de ℓ es
una solución del sistema homogeneizado, por ejemplo (1, 3, 0). El de ℓ′ es el que une sus puntos, o
sea (1, b+ 1, b− 2). Son proporcionales si y sólo si b = 2.
Dentro de este caso, serán coincidentes si y sólo si el punto (3, 3,−3) satisface la ecuación de ℓ, lo
que nos lleva a
{
9− 3 = 2a− 1
−3 = 1− a
}
ó a
{
7 = 2a
a = 4
}
, por lo que no lo son para ningún valor de a.
Cuando no son paralelas (b 6= 2), calculemos su intersección sustituyendo las paramétricas de ℓ′:


x
y
z

 =


3
3
−3

+ λ


1
b+ 1
b− 2


en las impĺıcitas de ℓ, lo que nos da
{
3(3 + λ)− (3 + (b+ 1)λ) = 2a− 1
(−3 + (b− 2)λ) = 1− a
}
o
{
7− 2a = (b− 2)λ
(b− 2)λ = 4− a
}
que sólo tiene solución cuando 7− 2a = 4− a, o sea cuando a = 3.
En este caso el punto de corte P se obtiene cuando λ = 1/(b− 2) y sus coordenadas son
x = 3+
1
b− 2 =
3b− 5
b− 2 y = 3+
b+ 1
b− 2 =
4b− 5
b− 2 z = −3+1 = −2 P =
(
3b− 5
b− 2 ,
4b− 5
b− 2 , −2
)
En definitiva, para b = 2 son paralelas no coincidentes, para b 6= 2 y a = 3 se cortan en el punto P
y para b 6= 2 y a 6= 3 se cruzan.
Opción 3: Calculamos las ecuaciones impĺıcitas de ℓ′ a partir de su ecuación continua:
x− 3
1
=
y − 3
1− b =
z + 3
b− 2 
{
(1 + b)(x− 3) = y − 3
(b− 2)(x− 3) = z + 3
}
o
{
(1 + b)x− y = 3b
(b− 2)x− z = 3b− 3
}
Ahora las juntamos con las de ℓ para encontrar la intersección. La matriz del sistema conjunto es
la siguiente, que manipulamos tomando pivotes en las columnas más cómodas (también se pueden
escribir las incógnitas en el orden y, z, x, o sea se puede pasar la primera columna al tercer lugar);
haciendo primero F3 − F1 y F4 + F2 y después F4 − F3 se tiene:




3 −1 0 2a− 1
0 0 1 1− a
1 + b −1 0 3b
b− 2 0 −1 3b− 3




→




3 −1 0 2a− 1
0 0 1 1− a
b− 2 0 0 3b− 2a+ 1
b− 2 0 0 3b− a− 2




→




3 −1 0 2a− 1
0 0 1 1− a
b− 2 0 0 3b− 2a+ 1
0 0 0 a− 3




Para b = 2 el rango de la matriz de coeficientes es 2, lo que significa que las homogéneas de ℓ′
“desaparecen” al juntarlas con las de ℓ y por tanto las rectas son paralelas. En este caso, las dos
últimas filas son 0 = 7− 2a y 0 = a− 3, por lo que no son coincidentes para ningún valor de a.
Matemáticas de 1 , problemas 80 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
Para b 6= 2 el rango de la matriz de coeficientes es 3, por lo que no son paralelas y se cortarán (en
un punto) cuando el sistema sea compatible, o sea cuando no haya pivotes en la 4 columna, o sea
cuando sea a = 3. Para a 6= 3 (y b 6= 2) ni son paraleles ni se cortan, por lo que se cruzan.
Cuando se cortan (a = 3, b 6= 2), el punto de corte P se obtiene resolviendo el sistema:
z = 1−a x = 3b− 5
b− 2 y = 3x−5 =
9b− 15− 5b+ 10
b− 2 =
4b− 5
b− 2 P =
(
3b− 5
b− 2 ,
4b− 5
b− 2 , −2
)
o
13. En R3 se considera la recta ℓ con ecuaciones impĺıcitas
{
x+ y + z = 4
x+ 2y + 3z = 8
}
. Calcula:
a) Los valores de b y c para los que ℓ está contenida en el plano de ecuación 2x− y + bz = c.
b) La ecuación impĺıcita del plano que contiene a ℓ y al punto P = (0, 1, 0).
Solución: (a) El plano contiene a la recta ℓ cuando la intersección de ambos es ℓ, o sea cuando la
ecuación del plano “sobra” al juntarla con las de ℓ. Usando la matriz del sistema tenemos:


1 1 1 4
1 2 3 8
2 −1 b c

→


1 1 1 4
0 1 2 4
0 −3 b− 2 c− 8

→


1 1 1 4
0 1 2 4
0 0 b+ 4 c+ 4


y por tanto la condición pedida (que la última fila sobre) se da cuando b = −4 y c = −4.
(b) Los planos que contienen a ℓ son los de la forma siguiente (“haz de planos”):
α(x+ y + z − 4) + β(x+ 2y + 3z − 8) = 0
De ellos, el que contiene a P = (0, 1, 0) debe cumplir 0 = α(1 − 4) + β(2 − 8) = −3α − 6β, lo que
se tiene por ejemplo tomando α = 2 y β = −1. Por tanto el plano buscado tiene ecuación
2(x+ y + z − 4)− (x+ 2y + 3z − 8) = 0 o sea x− z = 0
o
14. En R3 se considera la recta ℓ con ecuaciones impĺıcitas
{
x+ 3y − z = 6
2x+ 5y + 3z = 2
}
. Calcula:
a) Los valores de p y q para los que ℓ está contenida en el plano de ecuación 3x+ 5y + pz = q.
b) La ecuación impĺıcita del plano que contiene a ℓ y al punto P = (0, 1, 1).
c) La ecuación impĺıcita del plano perpendicular a ℓ por el punto P = (0, 1, 1).
Matemáticas de 1 , problemas 81 Alberto del Valle Robles