Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (45)

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7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
24. Calcula el valor de la derivada en x = 0 de la función f(x) = (Ax+ e)Bx+2.
Solución: Para derivar esa función hay que hacer derivación logaŕıtmica:
ln(f(x)) = (Bx+ 2) ln(Ax+ e) ⇒ f
′(x)
f(x)
=
Bx+ 2
Ax+ e
A+B ln(Ax+ e)
Para x = 0 se tiene f(0) = e2 y por tanto f ′(0) = e2(2A/e+B) = 2Ae+Be2.
o
25. Halla la derivada de la función y =
x
2
√
a2 − x2 + a
2
2
arc sen
(x
a
)
y simplifica el resultado.
Solución:
y′ =
1
2
(a2 − x2)1/2 + x
2
1
2
(a2 − x2)−1/2(−2x) + a
2
2
1/a
√
1− (x/a)2
=
1
2
(a2 − x2)1/2 − 1
2
x2(a2 − x2)−1/2 + a
2
2
1√
a2 − x2
=
1
2
(a2 − x2)−1/2
[
(a2 − x2)− x2 + a2
]
=
1
2
(a2 − x2)−1/22(a2 − x2) = (a2 − x2)1/2 =
√
a2 − x2
o
26. Calcula, simplificándola cuanto puedas, la derivada de f(x) = arctan
(
1 + x
1− x
)
.
Solución: Usando que la derivada de arctan(z) es 1/(1 + z2) y la regla de la cadena, se tiene
f ′(x) =
1
1 +
(
1+x
1−x
)2
(1− x)− (1 + x)(−1)
(1− x)2 =
1− x+ 1 + x
(1− x)2 + (1 + x)2 =
2
2 + 2x2
=
1
1 + x2
o
27. Se define y =
sen(x)
1 + cos(x)
. Comprueba que se verifican:







(a) y′ = y/ sen(x)
(b) 2y′ = y2 + 1
(c) y′′ = y2/ sen(x)
Solución: Calculemos la derivada
y′ =
cosx(1 + cosx)− senx(− senx)
(1 + cosx)2
=
cosx+ cos2 x+ sen2 x
(1 + cosx)2
=
1 + cosx
(1 + cosx)2
=
1
1 + cosx
Entonces (a) es obvio, y para ver (b) calculamos
y2 + 1 =
sen2(x)
(1 + cos(x))2
+ 1 =
sen2(x) + 1 + 2 cos(x) + cos2(x)
(1 + cos(x))2
=
2 + 2 cos(x)
(1 + cos(x))2
=
2
1 + cos(x)
= 2y′
Matemáticas de 1 , problemas 133 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
Para ver (c) basta con calcular la derivada segunda
y′′ =
[
(1 + cosx)−1
]′
= −(1 + cosx)−2(− senx) = senx
(1 + cosx)2
pues es claro que multiplicando por sen(x) se obtiene y2.
o
28. Encuentra el dominio y los puntos cŕıticos de la función f(x) =
√
x2 − 1 +
√
9− x2.
Solución: Para que exista la primera ráız debe ser x2 ≥ 1, y para que exista la segunda x2 ≤ 9.
Lo podemos reescribir como 1 ≤ x2 ≤ 9 y tomando ráıces queda 1 ≤ |x| ≤ 3. Por tanto el dominio
lo forman los intervalos [−3,−1] y [1, 3] (su unión).
Los puntos cŕıticos son los ceros de la derivada
f ′(x) =
2x
2
√
x2 − 1
+
−2x√
9− x2
= x
(
1√
x2 − 1
− 1√
9− x2
)
Como es x 6= 0 (el 0 no está en el dominio), se tiene
f ′(x) = 0 ⇔ 1√
x2 − 1
− 1√
9− x2
= 0 ⇔ 1√
x2 − 1
=
1√
9− x2
⇔
√
x2 − 1 =
√
9− x2
⇔ x2 − 1 = 9− x2 ⇔ 2x2 = 10 ⇔ x = ±
√
5
y por tanto los puntos cŕıticos son
√
5 y −
√
5.
o
29. Encuentra el dominio y los puntos cŕıticos de la función f(x) = 3
√
x2 − 12 + 3
√
6− x2.
Solución: El dominio es todo R, pues todos los números reales tienen ráız cúbica.
Los puntos cŕıticos son los ceros de la derivada de f(x) = (x2 − 12)1/3 + (6− x2)1/3. Derivamos:
f ′(x) =
1
3
(x2 − 12)−2/32x+ 1
3
(6− x2)−2/3(−2x) = 2
3
x
[
(x2 − 12)−2/3 − (6− x2)−2/3
]
Por tanto el 0 es un punto cŕıtico, y otros puntos cŕıticos deben cumplir (x2−12)−2/3 = (6−x2)−2/3.
Elevando al cubo se tiene (x2 − 12)−2 = (6 − x2)−2, y tomando inversos (x2 − 12)2 = (6 − x2)2.
Esto da dos opciones: O bien x2 − 12 = 6 − x2, de donde 2x2 = 18 y por tanto x = ±3. O bien
x2 − 12 = −(6− x2) = x2 − 6, que es imposible. En definitiva, los puntos cŕıticos son 0, 3 y −3.
Observación: Si de (x2 − 12)2 = (6− x2)2 se deduce directamente x2 − 12 = 6− x2, sin considerar
la opción de que sean opuestos, se obtiene el resultado correcto pero con un error, pues en general
de a2 = b2 no se deduce que a = b, sino que a = ±b. También se pueden desarrollar los cuadrados
obteniendo x4 − 24x2 + 144 = 36− 12x2 + x4 y por tanto 108 = 12x2, o sea x2 = 9 y aśı x = ±3.
o
Matemáticas de 1 , problemas 134 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
30. Dada la función f(x) =
ln(x)
x
, encuentra su dominio y los puntos x para los que f ′′(x) > 0.
Solución: Para que exista el logaritmo, x debe estar en el intervalo (0,+∞); como en él no se
anula el denominador, ése es el dominio. Las derivadas primera y segunda son
f ′(x) =
1
x x− ln(x)
x2
=
1− ln(x)
x2
f ′′(x) =
− 1x x2 − (1− ln(x))2x
x4
=
2 ln(x)− 3
x3
Alternativamente, si ponemos f(x) = x−1 ln(x), el cálculo de las derivadas puede hacerse aśı:
f ′(x) = −x−2 ln(x) + x−1x−1 = x−2(1− ln(x))
f ′′(x) = −2x−3(1− ln(x)) + x−2(−x−1) = x−3(2 ln(x)− 3)
En cualquier caso, como sólo tratamos con x > 0, la condición f ′′(x) > 0 equivale a 2 ln(x)− 3 > 0,
o sea a ln(x) > 3/2, y tomando exponenciales esto equivale finalmente a x > e3/2.
o
31. Dada la función f(x) =
ln(x)
x2
, describe su dominio, encuentra su único punto cŕıtico y determina
si en él se alcanza un máximo o un mı́nimo relativo.
Solución: Para que exista el logaritmo, x debe estar en el intervalo (0,+∞); como en él no se
anula el denominador, ése es el dominio. Las derivadas primera y segunda son
f ′(x) =
x− 2x ln(x)
x4
=
1− 2 ln(x)
x3
f ′′(x) =
−2 1x x3 − (1− 2 ln(x))3x2
x6
=
6 ln(x)− 5
x4
Alternativamente, si ponemos f(x) = x−1 ln(x), el cálculo de las derivadas puede hacerse aśı:
f ′(x) = −2x−3 ln(x) + x−2x−1 = x−3(1− 2 ln(x))
f ′′(x) = −3x−4(1− 2 ln(x))− 2x−3x−1 = x−4(6 ln(x)− 5)
La derivada primera se anula cuando ln(x) = 1/2, o sea cuando x = e1/2 =
√
e, que es el único
punto cŕıtico. En él la derivada segunda vale e−2(3 − 5) < 0 y por tanto se trata de un máximo
relativo.
o
32. Para la función f(x) = arctan(x)+arctan(x−1), se pide: a) Determina su dominio. b) Determina si
es par, impar o ninguna de las dos cosas. c) Comprueba que f ′(x) = 0 para cualquier x del dominio.
d) Esboza la gráfica de y = f(x). e) ¿Es posible definir f(0) para que f(x) sea continua en x = 0?
Solución: a) La función arctan(x) está definida para cualquier x, por lo que el único problema de
definición aparece al dividir por 0 en x−1; por tanto el dominio es R \ {0}.
b) Como arctan(x) es impar, se tiene f(−x) = arctan(−x) + arctan(−x−1) = − arctan(x) −
arctan(x−1) = −f(x), por lo que f(x) es impar.
Matemáticas de 1 , problemas 135 Alberto del Valle Robles