Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (67)

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12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
14. Calcula una primitiva de la función f(x) =
3x+ 5
x3 − x2 − x+ 1.
Solución: Es una racional con el grado del numerador menor que el del denominador, y éste se
factoriza como (x− 1)2(x+ 1). Se trata pues de poner la función como suma de fracciones simples
en la forma
3x+ 5
x3 − x2 − x+ 1 =
A
x− 1 +
B
(x− 1)2 +
C
x+ 1
=
A(x− 1)(x+ 1) +B(x+ 1) + C(x− 1)2
(x− 1)2(x+ 1)
Los numeradores han de ser iguales; para x = 1 se tiene 8 = 2B y por tanto B = 4; para x = −1
se tiene 2 = 4C y por tanto C = 1/2; para x = 0 se tiene 5 = −A+B + C y por tanto A = −1/2.
En definitiva f(x) = −12(x− 1)−1 + 4(x− 1)−2 + 12(x+ 1)−1 y una primitiva suya es
−1
2
ln |x− 1| − 4(x− 1)−1 + 1
2
ln |x+ 1| = 1
2
ln
∣
∣
∣
∣
x+ 1
x− 1
∣
∣
∣
∣
− 4
x− 1
o
15. Calcula la primitiva
∫
x4 − 17x
x3 − 3x− 2 dx.
Solución: Es racional, y como el grado del numerador no es menor que el del denominador, hay
que empezar dividiendo con resto:
x4 − 17x = x(x3 − 3x− 2) + (3x2 − 15x) x
4 − 17x
x3 − 3x− 2 = x+
3x2 − 15x
x3 − 3x− 2
Ahora se trata de poner
3x2 − 15x
x3 − 3x− 2 como suma de fracciones simples. Por Ruffini, el denominador
se factoriza como x3− 3x− 2 = (x+1)2(x− 2), luego hemos de buscar constantes A,B,C tales que
3x2 − 15x
(x+ 1)2(x− 2) =
A
x+ 1
+
B
(x+ 1)2
+
C
x− 2
Multiplicando en ambos miembros por (x+ 1)2(x− 2) se tiene
3x2 − 15x = A(x+ 1)(x− 2) +B(x− 2) + C(x+ 1)2
que para los valores x = −1, x = 2 y x = 0 da respectivamente B = −6, C = −2 y A = 5. También
se pueden obtener A,B,C desarrollando la expresión
3x2−15x = A(x+1)(x−2)+B(x−2)+C(x+1)2 = (A+C)x2+(−A+B+2C)x+(−2A−2B+C)
y resolviendo el sistema que se obtiene al igualar coeficientes. Por tanto
∫
x4 − 17x
x3 − 3x− 2 dx =
∫ (
x+
5
x+ 1
− 6
(x+ 1)2
− 2
x− 2
)
dx =
1
2
x2+5 ln(x+1)+6(x+1)−1−2 ln(x−2)+C
o
Matemáticas de 1 , problemas 199 Alberto del Valle Robles
12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
16. Calcula la primitiva
∫
x
x3 + 6x2 + 11x+ 6
dx .
Solución: El denominador se factoriza como (x+1)(x+2)(x+3), luego hay que poner el integrando
como suma de fracciones simples de la forma
x
x3 + 6x2 + 11x+ 6
=
A
(x+ 1)
+
B
(x+ 2)
+
C
(x+ 3)
=
A(x+ 2)(x+ 3) +B(x+ 1)(x+ 3) + C(x+ 1)(x+ 2)
(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)
Igualando numeradores y haciendo sucesivamente x = −1, x = −2 y x = −3 se obtiene A = −1/2,
B = 2 y C = −3/2, luego
∫
x
x3 + 6x2 + 11x+ 6
dx =
∫ (
2
(x+ 2)
− 1/2
(x+ 1)
− 3/2
(x+ 3)
)
dx = 2 ln(x+2)−1
2
ln(x+1)−3
2
ln(x+3)+C
o
17. Calcula una primitiva de f(x) =
3x2 + 4x+ 5
x3 + 3x2 + 7x+ 5
.
Solución: Siguiendo el proceso estándar para primitivas de funciones racionales, empezamos facto-
rizando el denominador, que tiene a −1 por ráız y se expresa como
x3 + 3x2 + 7x+ 5 = (x+ 1)(x2 + 2x+ 5), donde x2 + 2x+ 5 no tiene ráıces reales.
Entonces se trata de encontrar constantes A,B,C con
3x2 + 4x+ 5
x3 + 3x2 + 7x+ 5
=
A
x+ 1
+
Bx+ C
x2 + 2x+ 5
=
A(x2 + 2x+ 5) + (Bx+ C)(x+ 1)
(x+ 1)(x2 + 2x+ 5)
Como los denominadores son iguales, lo son también los numeradores, o sea
3x2 + 4x+ 5 = A(x2 + 2x+ 5) + (Bx+ C)(x+ 1)
Para x = −1 se obtiene 4 = 4A, de donde A = 1. Entonces para x = 0 se obtiene 5 = 5 + C, de
donde C = 0. Finalmente, para x = 1 se tiene 12 = 8 + 2B, de donde B = 2.
Para el sumando
1
x+ 1
tenemos la primitiva inmediata ln(x+ 1).
Para el sumando
2x
x2 + 2x+ 5
, poniendo x2 + 2x+ 5 = (x2 + 2x+ 1) + 4 = (x+ 1)2 + 22, sabemos
que existen constantes M y N tales que
∫
2x
x2 + 2x+ 5
dx = M ln(x2 + 2x+ 5) +N arctan
(
x+ 1
2
)
Derivando en ambos miembros se obtiene
2x
x2 + 2x+ 5
= M
(2x+ 2)
x2 + 2x+ 5
+N
1/2
((x+ 1)/2)2 + 1
=
M(2x+ 2)
x2 + 2x+ 5
+
2N
(x+ 1)2 + 4
Como todos los denominadores son iguales, tenemos la igualdad de polinomios 2x = 2Mx+(2M +
2N). Igualando los coeficientes de x se obtiene M = 1 e igualando entonces los términos indepen-
dientes se obtiene N = −1. Aśı, finalmente:
∫
3x2 + 4x+ 5
x3 + 3x2 + 7x+ 5
dx = ln(x+ 1) + ln(x2 + 2x+ 5)− arctan
(
x+ 1
2
)
o
Matemáticas de 1 , problemas 200 Alberto del Valle Robles
12 UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
18. Calcula una primitiva de f(x) =
4x2 − 2x+ 24
x3 + x2 + 8x− 10.
Solución: Siguiendo el proceso estándar para primitivas de funciones racionales, empezamos facto-
rizando el denominador, que tiene a 1 por ráız y se expresa como
x3 + x2 + 8x− 10 = (x− 1)(x2 + 2x+ 10), donde x2 + 2x+ 10 no tiene ráıces reales.
Entonces se trata de encontrar constantes A,B,C con
4x2 − 2x+ 24
x3 + x2 + 8x− 10 =
A
x− 1 +
Bx+ C
x2 + 2x+ 10
=
A(x2 + 2x+ 10) + (Bx+ C)(x− 1)
(x− 1)(x2 + 2x+ 10)
Como los denominadores son iguales, lo son también los numeradores, o sea
4x2 − 2x+ 24 = A(x2 + 2x+ 10) + (Bx+ C)(x− 1)
Para x = 1 se obtiene 26 = 13A, de donde A = 2. Entonces para x = 0 se obtiene 24 = 10A−C =
20 − C, o sea C = −4. Finalmente, para x = −1 se tiene 30 = 9A − 2(C − B) = 18 + 8 + 2B, de
donde B = 2.
Para el sumando 2
1
x− 1 tenemos la primitiva inmediata 2 ln |x− 1|.
Para el sumando
2x− 4
x2 + 2x+ 10
, poniendo x2+2x+10 = (x2+2x+1)+9 = (x+1)2+32, sabemos
que existen constantes M y N tales que
∫
2x− 4
x2 + 2x+ 10
dx = M ln(x2 + 2x+ 10) +N arctan
(
x+ 1
3
)
Derivando en ambos miembros se obtiene
2x− 4
x2 + 2x+ 10
= M
(2x+ 2)
x2 + 2x+ 10
+N
1/3
((x+ 1)/3)2 + 1
=
M(2x+ 2)
x2 + 2x+ 10
+
3N
(x+ 1)2 + 9
Como todos los denominadores son iguales, tenemos la igualdad de polinomios 2x − 4 = 2Mx +
(2M + 3N). Igualando los coeficientes de x se obtiene M = 1 e igualando entonces los términos
independientes se obtiene N = −2. Aśı, finalmente:
∫
4x2 − 2x+ 24
x3 + x2 + 8x− 10 dx = 2 ln |x− 1|+ ln(x
2 + 2x+ 10)− 2 arctan
(
x+ 1
3
)
o
19. Calcula una primitiva de f(x) =
5x2 − 8x+ 27
x3 − 5x2 + 7x+ 13.
Solución: Siguiendo el proceso estándar para primitivas de funciones racionales, empezamos facto-
rizando el denominador, que tiene a −1 por ráız y se expresa como
x3 − 5x2 + 7x13 = (x+ 1)(x2 − 6x+ 13), donde x2 − 6x+ 13 no tiene ráıces reales.
Matemáticas de 1 , problemas 201 Alberto del Valle Robles