Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (3)

Vista previa del material en texto

1 SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES
19. Encuentra el único valor de a tal que ~u =


a
2
a

 es combinación lineal de ~v =


4
1
3

 y ~w =


−2
2
1

. Para ese valor de a, expresa ~u como combinación lineal de ~v y ~w.
Solución: ~u es combinación lineal de ~v y ~w si y sólo si el sistema con matriz ampliada [~v ~w|~u] es
compatible. Hacemos operaciones elementales:


4 −2 a
1 2 2
3 1 a

→


1 2 2
4 −2 a
3 1 a

→


1 2 2
0 −10 a− 8
0 −5 a− 6

→


1 2 2
0 5 6− a
0 0 4− a


Por tanto, el valor pedido es a = 4. Los coeficientes de la combinación lineal son las soluciones del
sistema; para hallarlas seguimos transformando la matriz con ese valor de a:
(
1 2 2
0 5 2
)
→
(
1 2 2
0 1 2/5
)
→
(
1 0 6/5
0 1 2/5
)
Por tanto ~u =
6
5
~v +
2
5
~w.
o
20. Discute y resuelve el sistema de ecuaciones lineales







x + 2y − 3z + t = 2
2x − y − z − t = 1
−x + y + 2z − t = 0
3x + 2y − 4z − 3t = 1







Solución: Se puede observar que el determinante de la matriz de coeficientes no es cero y aplicar
el método de Kramer, pero esto obliga a calcular 5 determinantes de tamaño 4×4. Se hacen menos
cuentas con el método de Gauss:




1 2 −3 1 2
2 −1 −1 −1 1
−1 1 2 −1 0
3 2 −4 −3 1




→




1 2 −3 1 2
0 −5 5 −3 −3
0 3 −1 0 2
0 −4 5 −6 −5




→




1 2 −3 1 2
0 1 0 −3 −2
0 −5 5 −3 −3
0 3 −1 0 2




→




1 2 −3 1 2
0 1 0 −3 −2
0 0 5 −18 −13
0 0 −1 9 8




→




1 2 −3 1 2
0 1 0 −3 −2
0 0 1 −9 −8
0 0 0 27 27




→




1 2 −3 1 2
0 1 0 −3 −2
0 0 1 −9 −8
0 0 0 1 1




→
por tanto el sistema es compatible determinado, y ahora resolviendo de abajo hacia arriba o llegando
a la forma escalonada reducida se obtiene la solución única x = 2, y = 1, z = 1, t = 1.
o
Matemáticas de 1 , problemas 7 Alberto del Valle Robles
1 SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES
21. Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:



2x+ z = y + 2t+ 7
3x = 4y + z + 8t+ 3
5x = 7y + 2z + 14t+ 4



Solución: La matriz del sistema con incógnitas x, y, z, t es


2 −1 1 −2 7
3 −4 −1 −8 3
5 −7 −2 −14 4

.
Podemos manipularla de diversas formas para resolver el sistema. Veamos dos opciones (hay bas-
tantes más igual de razonables y que requieren un trabajo similar en cuanto a cuentas):
Opción 1: Ponemos un 1 en la primera columna haciendo F2 − F1 y a partir de ah́ı hacemos un
proceso estándar de Gauss-Jordan:


2 −1 1 −2 7
3 −4 −1 −8 3
5 −7 −2 −14 4

→


2 −1 1 −2 7
1 −3 −2 −6 −4
5 −7 −2 −14 4

→


1 −3 −2 −6 −4
2 −1 1 −2 7
5 −7 −2 −14 4

→


1 −3 −2 −6 −4
0 5 5 10 15
0 8 8 16 24

→
(
1 −3 −2 −6 −4
0 1 1 2 3
)
→
(
1 0 1 0 5
0 1 1 2 3
)
El sistema es pues compatible indeterminado con dos grados de libertad, y se resuelve asignando
parámetros a las incógnitas sin pivote: con z = α y t = β se obtiene x = 5 − α e y = 3 − α − 2β,
por lo que la solución general la podemos expresar como




x
y
z
t




=




5
3
0
0




+ α




−1
−1
1
0




+ β




0
−2
0
1




Opción 2: Como la tercera columna es especialmente cómoda, podemos reorganizar las incógnitas
como z, x, y, t, reescribir la matriz con ese orden y hacer un proceso estándar de Gauss-Jordan:


1 2 −1 −2 7
−1 3 −4 −8 3
−2 5 −7 −14 4

→


1 2 −1 −2 7
0 5 −5 −10 10
0 9 −9 −18 18

→
(
1 2 −1 −2 7
0 1 −1 −2 2
)
→
(
1 0 1 2 3
0 1 −1 −2 2
)
Al resolver hay que recordar el cambio de orden: asignamos parámetros a y = α y t = β, y en
función de ellos despejamos z = 3− α− 2β y x = 2 + α+ 2β, por lo que la solución general es




x
y
z
t




=




2
0
3
0




+ α




1
1
−1
0




+ β




2
0
−2
1




o
Matemáticas de 1 , problemas 8 Alberto del Valle Robles
1 SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES
22. Discute y resuelve el sistema de ecuaciones lineales



2x+ y + 4t = 4− z
5x+ 8y + 10t = 3z − 1
3x+ 2y + z + 6t = 5



Muestra tres soluciones que sean puntos no alineados.
¿Existe alguna solución en la que la tercera coordenada sea el doble de la segunda?
Solución: La matriz del sistema con incógnitas x, y, z, t es


2 1 1 4 4
5 8 −3 10 −1
3 2 1 6 5

.
Hay muchas formas de manipular la matriz para obtener una forma escalonada. Por ejemplo,
podemos poner un 1 a la izquierda haciendo F3 − F1, y entonces pasamos esa tercera fila arriba
para obtener:


1 1 0 2 1
2 1 1 4 4
5 8 −3 10 −1

→


1 1 0 2 1
0 −1 1 0 2
0 3 −3 0 6


Eliminando la última fila hemos llegado a una forma escalonada en la que vemos que el rango es
2 y no hay pivotes en la columna de términos independientes, por lo que el sistema es compatible
con 2 grados de libertad (número de incógnitas menos rango).
Para resolverlo, vemos que en la columna de x y en la de z hay “unos que están solos” (marcados en
negrita), lo que permite despejar directamente esas incógnitas en términios de las otras. Por tanto
asignamos parámetros a esas otras, y = α y t = β y tenemos x = 1 − α − 2β y z = 2 + α, por lo
que la solución general es




x
y
z
t




=




1
0
2
0




+ α




−1
1
1
0




+ β




−2
0
0
1




α, β ∈ R
Para mostrar tres soluciones no alineadas basta con particularizar los parámetros (α, β) por ejem-
plo a los valores (0, 0), (1, 0) y (0, 1) para obtener los puntos P = (1, 0, 2, 0), Q = (0, 1, 3, 0) y
R = (−1, 0, 2, 1), que no están alineados pues −−→PQ = (−1, 1, 1, 0) y −→PR = (−2, 0, 0, 1) no son
proporcionales.
Finalmente, se pide una solución con z = 2y, o sea con 2 + α = 2α, lo que equivale a α = 2; como
la condición no afecta a β, tomamos por ejemplo β = 0 para obtener el punto (−1, 2, 4, 0).
o
23. ¿Para qué valores de b es posible expresar de varias formas distintas el vector


b+ 1
1
4

 como
combinación lineal de los vectores


1
−1
b

,


b
2
1

 y


2
b
−2

?
Solución: Se trata de ver cuándo es compatible indeterminado el sistema con matriz ampliada
(A |B) =


1 b 2 b+ 1
−1 2 b 1
b 1 −2 4


Matemáticas de 1 , problemas 9 Alberto del Valle Robles