Álgebra Lineal Mora (99)

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Álgebra lineal
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res que se requieren para generar a R2, R3 y en general a Rn? Note que R2 puede ser ge-
nerado por los elementos e1 � (1, 0) y e2 � (0, 1); el espacio R
3 puede ser generado por 
e1 � (1, 0, 0), e2 � (0, 1, 0) y e3 � (0, 0, 1). ¿Qué elementos generan a R
n? Por analogía a 
lo que ocurre en R2 y R3 se tiene que los vectores e 01 :� (0, 0, ..., 0, 1, 0. . . , 0, 0), i � 1, 
2, ..., n generan a Rn. Una vez encontrados los elementos que generan a Rn, surgen 
varias preguntas: ¿cuál es la cantidad mínima de elementos que generan a Rn? ¿Será 
linealmente independiente un conjunto que tiene una cantidad mínima de genera-
dores? Si dos conjuntos S y T generan y son linealmente independientes, ¿tendrán la 
misma cantidad de elementos? En la discusión que sigue responderemos estas pre-
guntas.
Teorema 3.4.2. Sean α1, α2, ..., αl generadores de R
n y β1, β2, ..., βk ∈ R
n elementos li-
nealmente independientes, entonces k � l.
Demostración. Como {α1, α2, ..., αl} genera, el conjunto {β1, α1, α2, ..., αl} también 
genera a Rn (explique) y es linealmente dependiente, por lo que podemos aplicar el 
teorema 3.4.1 y concluir que existe un i � 1 tal que αi se expresa como combinación 
lineal de {β1, α1, ..., αi�1 }. De esto, {β1, α1, α2, ..., αi�1, αi	1, ..., αl} también genera a R
n 
(¿por qué?). Anexando β2 a este conjunto y procediendo como lo hicimos antes, con-
cluimos que {β1, β2, α1, α2, ..., αi�1, αi	1, ..., αl} es linealmente dependiente. Aplicando 
nuevamente el teorema 3.4.1 se tiene que existe j � 1 tal que αj se expresa como com-
binación lineal de {β1, β2, α1, α2, ..., αj�1} por lo que el conjunto {β1, β2, α1, α2, ..., αi�1, 
αi	1, ..., αj�1,αj	1, ..., αl} genera a R
n (mismo argumento que antes). Continuando el 
proceso anterior, es decir, anexando un βi en cada paso y retirando un correspon-
diente αi, se tiene que k � l. 
Corolario 3.4.1. En Rn cualquiera dos conjuntos de generadores que son linealmente 
independientes tienen el mismo número de elementos.
Demostración. Sean {α1, α2, ..., αl} y {β1, β2, ..., βk} conjuntos de elementos en R
n que 
generan y son linealmente independientes. Como el conjunto {α1, α2, ..., αl} genera y 
el conjunto {β1, β2, ..., βk} es linealmente independiente, aplicando el teorema anterior 
se tiene k � l. La hipótesis permite intercambiar papeles, es decir, ahora suponemos 
que {β1, β2, ..., βk} genera y que {α1, α2, ..., αl} es linealmente independiente, entonces 
aplicando nuevamente el teorema anterior se concluye que l � k, con lo que obte-
nemos k � l. 
Sean e1 � (1, 0, 0, ..., 0), e2 � (0, 1, 0, ..., 0), ..., en � (0, 0, 0, ..., 1), elementos de R
n. Un 
argumento sencillo justifi ca que estos elementos generan y son linealmente indepen-
dientes. Aplicando el corolario anterior se tiene que cualquier conjunto de generadores 
que es linealmente independiente, tiene n elementos. A este número le llamaremos la 
dimensión de Rn y la denotaremos por dim (Rn).
Defi nición 3.4.6. A un conjunto de vectores que genera y es linealmente indepen-
diente le llamaremos una base. A la cantidad de elementos que tiene una base le llama-
remos la dimensión del espacio.
Teorema 3.4.3. Sea {β1, β2, ..., βn} un subconjunto de R
n, entonces los siguientes 
enunciados son equivalentes.
 1. El conjunto {β1, β2, ..., βn} es una base.
 2. El conjunto {β1, β2, ..., βn} es linealmente independiente.
 3. El conjunto {β1, β2, ..., βn} genera a R
n.